新教材【課堂坐標】高中數(shù)學(xué)北師大版必修三學(xué)業(yè)分層測評：第1章 8 最小二乘估計 Word版含解析

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 學(xué)業(yè)分層測評 (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達標] 一、選擇題 1．(2014·重慶高考)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是(　　) A.＝0.4x＋2.3　　　　 B.＝2x－2.4 C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4 【解析】　線性回歸方程一定經(jīng)過樣本點的中心(，)，將(，)逐個代入驗證只有A項符合． 【答案】　A 2．(2015·湖北高考)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1 x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是(　　) A．

2、x與y負相關(guān)，x與z負相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) C．x與y正相關(guān)，x與z負相關(guān) D．x與y負相關(guān)，x與z正相關(guān) 【解析】　因為變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1 x＋1，其中－0.1＜0，所以x與y成負相關(guān)；又因為變量y與z正相關(guān)，不妨設(shè)z＝ky＋b(k＞0)，則將y＝－0.1x＋1代入即可得到： z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1 kx＋(k＋b)，所以－0.1 k＜0，所以x與z負相關(guān)，綜上可知，應(yīng)選A. 【答案】　A 3．在一次試驗中，測得(x，y)的四組值分別為(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，則y與x之間的線性回歸方程為(　　) A．y＝x＋

3、1 B．y＝x＋2 C．y＝2x＋1 D．y＝x－1 【解析】　＝＝2.5，＝＝3.5，因為回歸方程過樣本中心(，)，故A正確． 【答案】　A 4．(2016·廣州高一檢測)已知x，y的取值如下表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若y與x線性相關(guān)，且y＝0.95x＋a，則a＝(　　) A．2.2　　　 B．2.9　　　 C．2.8　　　 D．2.6 【解析】?。剑?， ＝＝4.5， 又回歸直線經(jīng)過(，)， 所以4.5＝0.95×2＋a，a＝2.6. 【答案】　D 5．有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x

4、(單位：℃)與某取暖商品的銷售額y(單位：萬元)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表： 平均氣溫x(℃) －2 －3 －5 －6 銷售額y(萬元) 20 23 27 30 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用線性回歸的方法，求得銷售額y與平均氣溫x之間的線性回歸方程y＝a＋bx的系數(shù)b＝－2.4.則預(yù)測平均氣溫為－8 ℃時，該商品的銷售額為(　　) A．34.6萬元　　　　 B．35.6萬元 C．36.6萬元 D．37.6萬元 【解析】　由已知，得＝＝－4， ＝＝25， 所以a＝－b＝25＋2.4×(－4)＝15.4， 即線性回歸方程為y＝15.4－2.4 x， 當x＝－8時，y＝34.

5、6. 【答案】　A 二、填空題 6．(2016·濰坊高一檢測)某地區(qū)近10年居民的年收入x與支出y之間的關(guān)系大致符合y＝0.8x＋0.1(單位：億元)，預(yù)計今年該地區(qū)居民收入為15億元，則年支出估計是________億元． 【解析】　由題意知，y＝0.8×15＋0.1＝12.1(億元)， 即年支出估計是12.1億元． 【答案】　12.1 7．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：y＝0.254x＋0.321.由線性回歸方程可知，家庭年收入每

6、增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． 【解析】　[0.254(x＋1)＋0.321]－[0.254x＋0.321]＝0.254(萬元)． 【答案】　0.254 8．對一質(zhì)點的運動過程觀測了4次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，則刻畫y與x的關(guān)系的線性回歸方程為________． x 1 2 3 4 y 1 3 5 6 【解析】?。?.5，＝3.75，xiyi＝46，x＝30， b＝＝1.7，a＝－b＝－0.5. 所以所求的線性回歸方程為y＝1.7x－0.5. 【答案】　y＝1.7x－0.5 三、解答題 9．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維

7、修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系．試求： 【導(dǎo)學(xué)號：63580016】 (1)線性回歸方程y＝bx＋a； (2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少？ 【解】　(1)制表如下： i 1 2 3 4 5 合計 xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x 4 9 16 2

8、5 36 90 ＝4，＝5，x＝90，xiyi＝112.3 于是有b＝＝＝1.23. a＝－b＝5－1.23×4＝0.08. 故線性回歸方程是y＝1.23x＋0.08. (2)根據(jù)線性回歸方程是y＝1.23x＋0.08， 當x＝10(年)時，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(萬元)， 即估計使用年限為10年時，維修費用是12.38萬元． 10．從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x＝720. (1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線

9、性回歸方程＝bx＋a； (2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負相關(guān)； (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄． 附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b， 其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為＝x＋. 【解】　(1)由題意知，n＝10，＝xi＝＝8， ＝y(tǒng)i＝＝2， 又lxx＝x－n2＝720－10×82＝80， lxy＝xiyi－n ＝184－10×8×2＝24， 由此得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4. 故所求回歸方程為y＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(

10、b＝0.3＞0)，故x與y之間是正相關(guān)． (3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． [能力提升] 1．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x(萬元) 2 3 4 5 銷售額y(萬元) 26 39 49 54 根據(jù)上表可得回歸方程y＝bx＋a中的b為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為(　　) A．63.6萬元　　 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 【解析】　∵＝＝，＝＝42. ∴42＝9.4×＋a，∴a＝9.1， ∴回歸方程為y＝9.4x

11、＋9.1， 當x＝6時，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(萬元)． 【答案】　B 2．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y＝bx＋a.若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是 (　　) A．b＞b′，a＞a′ B．b＞b′，a＜a′ C．b＜b′，a＞a′ D．b＜b′，a＜a′ 【解析】　b′＝＝2，a′＝0－2×1＝－2， xiyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24

12、＝58，＝3.5，＝. x＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， ∴b＝＝. a＝－×3.5＝－＝－. ∴b＜b′，a＞a′. 【答案】　C 3．期中考試后，某校高三(9)班對全班65名學(xué)生的成績進行分析，得到數(shù)學(xué)成績y對總成績x的回歸直線方程為y＝6＋0.4x.由此可以估計：若兩個同學(xué)的總成績相差50分，則他們的數(shù)學(xué)成績大約相差________分． 【解析】　令兩人的總成績分別為x1、x2，則對應(yīng)的數(shù)學(xué)成績估計為y1＝6＋0.4x1，y2＝6＋0.4x2，所以|y1－y2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20. 【答案】　20 4．研究某設(shè)備的

13、使用年限x與維修費用y之間的關(guān)系，測得一組數(shù)據(jù)如下(y值為觀察值)： 年限x(年) 2 3 4 5 6 維修費用y(萬元) 3 4.4 5 5.6 6.2 由數(shù)據(jù)可知y與x有明顯的線性相關(guān)關(guān)系，可以用一條直線l的方程來反映這種關(guān)系． (1)將表中的數(shù)據(jù)畫成散點圖； (2)如果直線l過散點圖中的最左側(cè)點和最右側(cè)點，求出直線l的方程； (3)如果直線l過散點圖中的中間點(即點(4,5))，且使維修費用的每一個觀察值與直線l上對應(yīng)點的縱坐標的差的絕對值之和最小，求出直線l的方程． 圖1­8­1 【解】　(1)如下圖所示． (2)因為散點圖中的最左側(cè)點和最右側(cè)點分別是(2,3)，(6,6.2)， 所以直線l的方程是＝， 即4x－5y＋7＝0. (3)由題意可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)＋5. 則維修費用的每一個觀察值與直線l上對應(yīng)點的縱坐標的差的絕對值之和 S(k)＝|3－(－2k＋5)|＋|4.4－(－k＋5)|＋|5.6－(k＋5)|＋|6.2－(2k＋5)|＝2|k－1|＋4|k－0.6| ＝ 因為函數(shù)S(k)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0.6，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0.6)，所以當k＝0.6時，S(k)取得最小值0.8，此時直線l的方程是3x－5y＋13＝0.