新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修三教學(xué)案：第一章167;8 最小二乘估計(jì) Word版含答案

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1、新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 [核心必知] 1．回歸直線 如果兩個(gè)變量散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線． 2．最小二乘法 求線性回歸方程y＝bx＋a時(shí)，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方法叫作最小二乘法．其中a，b的值由以下公式給出： a，b是線性回歸方程的系數(shù)． [問題思考] 1．任給一組數(shù)據(jù)，我們都可以由最小二乘法得出線性回歸方程嗎？ 提示：用最小二乘法求回歸直線的方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系(可利用散點(diǎn)圖判斷)．否則求出的線性回歸方程是無意義的． 2．線性回歸方程是否經(jīng)

2、過一定點(diǎn)？ 提示：線性回歸方程恒過定點(diǎn)(，)． 講一講 1.下表是某旅游區(qū)游客數(shù)量與平均氣溫的對(duì)比表： 平均氣溫(℃) －1 4 10 13 18 26 數(shù)量(百個(gè)) 20 24 34 38 50 64 若已知游客數(shù)量與平均氣溫是線性相關(guān)的，求線性回歸方程． [嘗試解答]?。剑?，＝＝， x＋x＋…＋x＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286， x1y1＋x2y2＋…＋x6y6＝－20＋96＋340＋1338＋1850＋2664＝3 474. b＝＝≈1.68， a＝－b≈18.73， 即所求的線性回歸方程為y＝1.6

3、8x＋18.73. 求線性回歸方程的步驟 (1)畫出散點(diǎn)圖，判斷其具有相關(guān)關(guān)系； (2)計(jì)算，，x＝x＋x＋…＋x， xiyi＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn. (3)代入公式b＝，a＝－b； (4)寫出線性回歸方程y＝bx＋a. 練一練 1．某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 已知記憶力x和判斷力y是線性相關(guān)的，求線性回歸方程． 解：＝＝9，＝＝4， a＝－b＝4－0.79＝－2.3. 則所求的線性回歸方程為y＝0.7x－2.3. 講一講 2.某種產(chǎn)品

4、的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)畫出散點(diǎn)圖； (2)求線性回歸方程； (3)預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)支出為7百萬元時(shí)的銷售額． [嘗試解答]　(1) (2)從散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，利用計(jì)算器求得： ＝5，＝50，x＝145，xiyi＝1 380， 設(shè)回歸方程為y＝bx＋a，則 b＝＝＝6.5， a＝－b＝50－6.55＝17.5，故所求線性回歸方程為y＝6.5x＋17.5. (3)當(dāng)x＝7時(shí)，y＝6.57＋17.5＝63. 所

5、以，當(dāng)廣告費(fèi)支出為7百萬元時(shí)，銷售額約為6 300萬元． 用線性回歸方程估計(jì)總體的一般步驟： (1)作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線附近； (2)如果散點(diǎn)在一條直線附近，用公式求出a、b并寫出線性回歸方程； (3)根據(jù)線性回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)． 練一練 2．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(單位：萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料： 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求： (1)回歸方程y＝bx＋a的系數(shù)a，b； (2)使用年限為10年時(shí)，試估計(jì)維修費(fèi)用是多少

6、． 解：(1)列表如下： I 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x 4 9 16 25 36 ＝4，＝5，x＝90，xiyi＝112.3 b＝＝＝1.23， a＝－b＝5－1.234＝0.08. (2)回歸方程是y＝1.23x＋0.08， 當(dāng)x＝10時(shí)，y＝1.2310＋0.08＝12.38(萬元)， 即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬元. 【解題高手】【易錯(cuò)題】 有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市

7、某一年的人均國(guó)民生產(chǎn)總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)量，如下表： 人均GDP(萬元) 10 8 6 4 3 1 患白血病的兒童數(shù) 351 312 207 175 132 180 (1)畫出散點(diǎn)圖，并判定兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系； (2)通過計(jì)算可得兩個(gè)變量的線性回歸方程為y＝23.25x＋102.25，假如一個(gè)城市的人均GDP為12萬元，那么可以斷言，這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過380人，請(qǐng)問這個(gè)斷言是否正確？ [錯(cuò)解]　(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖，如圖所示，從圖可以看出，雖然后5個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，但第一個(gè)點(diǎn)離這條直線太遠(yuǎn)，

8、所以這兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)將x＝12代入y＝23.25x＋102.25，得y＝23.2512＋102.25＝381.25>380，所以上述斷言是正確的． [錯(cuò)因]　在第(1)問中，是否具有線性相關(guān)關(guān)系，要看大部分點(diǎn)、主流點(diǎn)是否分布在一條直線附近，個(gè)別點(diǎn)是不影響“大局”的，所以可斷定這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系．在第(2)問中，381.25只是一個(gè)估計(jì)值，由它不能斷言這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過380人．如果這個(gè)城市的污染很嚴(yán)重，有可能人數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過380，若這個(gè)城市的環(huán)境保護(hù)的很好，則人數(shù)就有可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于380. [正解]　(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖，如錯(cuò)解圖所示，從圖

9、可以看出，在6個(gè)點(diǎn)中，雖然第一個(gè)點(diǎn)離這條直線較遠(yuǎn)，但其余5個(gè)點(diǎn)大致分布在這條直線的附近，所以這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)將x＝12代入y＝23.25x＋102.25，得y＝23.2512＋102.25＝381.25>380，即便如此，但因381.25只是一個(gè)估計(jì)值，會(huì)受其他情況的影響，所以不能斷言這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過380人． 1．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 則y與x的線性回歸方程y＝bx＋a必過點(diǎn)(　　) A．(2,2)　　B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4) 解析：選

10、D ＝＝1.5，＝＝4. 2．工人工資y(元)隨勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)變化的回歸直線方程為y＝80x＋50，則下列判斷正確的是(　　) A．勞動(dòng)生產(chǎn)率為1 000元時(shí)，工資為130元 B．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工資約提高80元 C．勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工資約提高130元 D．當(dāng)月工資210元時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2 000元 解析：選B 回歸直線的斜率為80，所以x每增加1個(gè)單位，y約增加80，即勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1 000元時(shí)，工資提高約80元． 3．(福建高考改編)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1

11、 3 3 4 假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y＝bx＋a，若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是(　　) A．b>b′，a>a′ B．b>b′，aa′ D．ba′. 4．某商店統(tǒng)計(jì)了最近6個(gè)月某商品的進(jìn)價(jià)x與售價(jià)y(單位：元)的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下： x 3 5 2

12、 8 9 12 y 4 6 3 9 12 14 則＝________，＝________，＝________， ＝________，回歸方程為________． 解析：根據(jù)公式代入即可求得，也可以利用計(jì)算器求得＝6.5，＝8，＝327，＝396， 回歸方程為y＝1.14x＋0.59. 答案：6.5　8　327　396　y＝1.14x＋0.59 5．某單位為了了解用電量y度與氣溫x℃之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表： 氣溫(℃) 18 13 10 －1 用電量(度) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程

13、y＝bx＋a中b＝－2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－4 ℃時(shí)，用電量的度數(shù)約為________． 解析：＝＝10，＝＝40，則a＝－b ＝40＋210＝60，則y＝－2x＋60，則當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝－2(－4)＋60＝68. 答案：68 6．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請(qǐng)畫出上表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)

14、煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤．(參考數(shù)值：32.5＋43＋54＋64.5＝66.5) 解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示． (2)由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得： x＝86，＝＝4.5，＝＝3.5. 又已知xiyi＝66.5， ∴b＝＝＝0.7， a＝－b＝3.5－0.74.5＝0.35. ∴所求的線性回歸方程為y＝0.7x＋0.35. (3)90－(0.7100＋0.35)＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)， 故預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低約19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤． 一、選擇題 1．設(shè)有一個(gè)回歸方程y＝2－1.5x，當(dāng)

15、x增加1個(gè)單位時(shí)(　　) A．y平均增加1.5個(gè)單位 B．y平均減少1.5個(gè)單位 C．y平均增加2個(gè)單位 D．y平均減少2個(gè)單位 解析：選B y′＝2－1.5(x＋1)＝2－1.5x－1.5＝y(tǒng)－1.5，即x增加1個(gè)單位，y平均減少1.5個(gè)單位． 2．對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量建立的線性回歸方程y＝a＋bx中，回歸系數(shù)b(　　) A．可以小于0 B．只能大于0 C．只能等于0 D．只能小于0 解析：選A ∵b＝，∴b的取值是任意的． 3．由一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到線性回歸方程y＝bx＋a，那么下面說法不正確的是(　　)

16、 A．直線y＝bx＋a必經(jīng)過點(diǎn)(，) B．直線y＝bx＋a至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn) C．直線y＝bx＋a的斜率為 D．直線y＝bx＋a與各點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的接近程度[yi－(bxi＋a)]2是該坐標(biāo)平面上所有直線與這些點(diǎn)的最接近的直線 解析：選B 直線y＝bx＋a一定過點(diǎn)(，)，但不一定要過樣本點(diǎn)． 4．(湖南高考)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.85x－85.71，則下列

17、結(jié)論中不正確的是(　　) A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(，) C．若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg 解析：選D 當(dāng)x＝170時(shí)，＝0.85170－85.71＝58.79，體重的估計(jì)值為58.79 kg，故D不正確． 5．(山東高考)某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 廣告費(fèi)用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程y＝bx＋a中的b為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬

18、元時(shí)銷售額為(　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 解析：選B 容易計(jì)算得＝3.5，＝42，故a＝－b＝42－9.43.5＝9.1，所以當(dāng)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為9.46＋9.1＝65.5(萬元)． 二、填空題 6．(遼寧高考改編)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)．調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程：y＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． 解析：由回歸直線方程的意義知，

19、x每增加1萬元，y平均增加0.254萬元． 答案：0.254 7．對(duì)一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程觀測(cè)了4次，得到如表所示的數(shù)據(jù)，則刻畫y與x的關(guān)系的線性回歸方程為________. x 1 2 3 4 y 1 3 5 6 解析：＝2.5，＝3.75，xiyi＝46，x＝30， b＝＝1.7，a＝－b＝－0.5， 所以所求的線性回歸方程為：y＝1.7x－0.5. 答案：y＝1.7x－0.5 8．(廣東高考)為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x(單位：小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系： 時(shí)間x 1 2

20、 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李這5天的平均投籃命中率為________；用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為________． 解析：小李這5天的平均投籃命中率為(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)5＝0.5. 又＝3，＝0.5， 由表中數(shù)據(jù)，得b＝0.01， a＝－b＝0.47， 故回歸直線方程為y＝0.01x＋0.47. 令x＝6，則有y＝0.016＋0.47＝0.53. 答案：0.5　0.53 三、解答題 9．在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上進(jìn)行施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量(單位：千

21、克)影響的試驗(yàn)，得到如下一組數(shù)據(jù)： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量 330 345 365 405 445 450 455 (1)作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)由(1)分析兩變量關(guān)系得出什么結(jié)論？ (3)求出回歸直線方程． 解：(1)如圖所示． (2)由(1)可看出，各點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，為正相關(guān)，也可以說在適量限制范圍內(nèi)水稻產(chǎn)量隨施肥量的增大而增大，但不是直線遞增． (3)用科學(xué)計(jì)算器可求得＝30，＝399.3，x＝7 000，xiyi＝87 175.于是b＝＝ ≈4.75.a＝－b＝399.3

22、－4.7530≈257.因此所求回歸直線方程為y＝4.75x＋257. 10．(福建高考改編)某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià)x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b； (2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤(rùn)＝銷售收入－成本) 解：(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5， ＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80. 所以a＝－b＝80＋（－20）8.5＝250，從而回歸直線方程為y＝－20x＋250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1 000 ＝－20(x－)2＋361.25. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時(shí)，L取得最大值． 故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn).