高中數(shù)學(xué) 課本典例改編之必修二、三：專題三 直線與圓的方程 Word版含解析

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1、 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識 1．直線的傾斜角 (1)定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角．當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為0． (2)傾斜角的范圍為[0,π)． 2．直線的斜率 (1)定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k＝tan α,傾斜角是90的直線沒有斜率． (2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝＝. 3．直線方程 名稱 幾何條件 方程 局限性 點(diǎn)斜式 過點(diǎn)(x0,y0),斜率為k y－y0＝k(

2、x－x0) 不含垂直于x軸的直線 斜截式 斜率為k,縱截距為b y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 過兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2) ＝ 不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線 截距式 在x軸、y軸上的截距分別為a,b(a,b≠0) ＋＝1 不包括垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0(A,B不全為0) 4.兩直線的平行、垂直與其斜率的關(guān)系 條件 兩直線位置關(guān)系 斜率的關(guān)系 兩條不重合的直線l1,l2,斜率分別為k1, k2 平行 k1＝k2 k1與k2都不存在 垂直 k1k2＝－1 k

3、1與k2一個(gè)為零、另一個(gè)不存在 5.兩條直線的交點(diǎn) 6．三種距離 點(diǎn)點(diǎn)距 點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離 |P1P2|＝ 點(diǎn)線距 點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 線線距 兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 7．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心：(a,b),半徑：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圓心：(－,－), 半徑： 8.

4、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M (x0,y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系： (1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2． (2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2． (3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2． 9．直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0), 圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0), d為圓心(a,b)到直線l的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ. 方法 位置關(guān)系 幾何法 代數(shù)法 相交 d

5、 Δ>0 相切 d＝r Δ＝0 相離 d>r Δ<0 10.圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0), 圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置關(guān)系 幾何法：圓心距d與r1,r2的關(guān)系 代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況 外離 d>r1＋r2 無解 外切 d＝r1＋r2 一組實(shí)數(shù)解 相交 |r1－r2|

6、巧 1.直線的傾斜角和斜率的關(guān)系,可借助k＝tanα的圖象(如圖)來解決.這里,α∈[0,π),k的范圍是兩個(gè)不連續(xù)的區(qū)間.在求直線方程時(shí),若不能確定直線的斜率是否存在,則應(yīng)對斜率存在或不存在分類進(jìn)行討論. 2.直線在坐標(biāo)軸上的截距是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo),它不是距離. 直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正,可負(fù),也可為0,直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,直線方程可以理解為,但不要忘記當(dāng)a=0時(shí),直線y=kx在兩條坐標(biāo)軸上的截距都是0,也是截距相等. 3.在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的直角三角形的面積、周長等問題時(shí),應(yīng)用截距式方程比較簡單. 4. 直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截矩式、一般式

7、．注意各種形式的局限性,如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線,所以設(shè)方程的點(diǎn)斜式或斜截式時(shí),就應(yīng)該先考慮斜率不存在的情形.例如：一條直線經(jīng)過點(diǎn),且被圓截得的弦長為8,求此弦所在直線的方程.該題就要注意,不要漏掉x+3=0這一解.） 5.求直線方程的方法主要有以下兩種： (1)直接法：根據(jù)已知條件,選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式,求出直線方程； (2)待定系數(shù)法：先設(shè)出直線方程,再根據(jù)已知條件求出待定系數(shù),從而寫出直線方程. 6..無論是判斷兩條直線平行還是垂直,都是從兩方面來討論的,即兩條直線斜率都存在的情況和兩條直線至少有一條斜率不存在的情況. 7.兩條直線平行或垂直時(shí)求直線方程中的參數(shù),需分

8、類討論及數(shù)形結(jié)合. 8..如果能推導(dǎo)出用直線方程一般式表示的兩條直線平行、重合或垂直的條件(一般式系數(shù)之間的關(guān)系),并記住結(jié)論,往往會使問題更易于解決. 9.求兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的方法就是解方程組,利用解方程組也可以判斷兩條直線的位置關(guān)系,即將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題. 10..運(yùn)用公式d＝求兩平行直線間的距離時(shí),一定要將兩條直線方程中x,y的系數(shù)化成相等的系數(shù),求兩平行直線間的距離也可化歸為點(diǎn)到直線的距離,即在一條直線上任取一點(diǎn),求該點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩平行直線間的距離.這一方法體現(xiàn)了化歸思想的應(yīng)用. 11.點(diǎn)(x0,y0)到直線y＝kx＋b(即y－kx－b＝0)的距離公式d＝記憶

9、容易,對于知d求k,b很方便. 12.對稱主要分為中心對稱和軸對稱兩種,中心對稱僅用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可,軸對稱因?qū)ΨQ點(diǎn)連線的中垂線就是對稱軸,所以根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩條直線垂直的條件即可解決. 13. 注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)解題 圓的圖形優(yōu)美,定理、性質(zhì)豐富,在學(xué)此節(jié)時(shí),重溫圓的幾何性質(zhì)很有必要,因?yàn)槭褂脦缀涡再|(zhì),能簡化代數(shù)運(yùn)算的過程,拓展解題思路. 14.圓的方程的確定 15由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程,可以看出方程中都含有三個(gè)參變數(shù),因此必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件,才能確定一個(gè)圓,求圓的方程時(shí),若能根據(jù)已知條件找出圓心和半徑,則可用直接法寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,否則可用待定系數(shù)法. 1

10、6.求圓的方程的方法 (1)幾何法：即通過研究圓的性質(zhì),以及點(diǎn)和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系,求得圓的基本量(圓心坐標(biāo)和半徑長),進(jìn)而求得圓的方程. (2)代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程,其一般步驟是：①根據(jù)題意選擇方程的形式；②利用條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組；③解②中的方程組,求得a,b,r或D,E,F的對應(yīng)值,代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程. 17.在解決直線和圓的位置關(guān)系問題時(shí),一定要聯(lián)系圓的幾何性質(zhì),利用有關(guān)圖形的幾何特征以簡化運(yùn)算；討論直線與圓的位置關(guān)系時(shí),一般不討論Δ>0,Δ＝0,Δ<0,而用圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系,即d

11、r,分別確定相交、相切、相離. 18.要特別注意利用圓的性質(zhì),如“垂直于弦的直徑必平分弦”,“圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑”,“兩圓相切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線”等等.可以說,適時(shí)運(yùn)用圓的幾何性質(zhì),將明顯減少代數(shù)運(yùn)算量,請同學(xué)們切記. 19.涉及圓的切線時(shí),要考慮過切點(diǎn)與切線垂直的半徑,過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一點(diǎn)M(x0,y0)引圓的切線,T為切點(diǎn),切線長公式為＝. 20.計(jì)算弦長時(shí),要利用半徑、弦心距(圓心到弦所在直線的距離)、半弦長構(gòu)成的直角三角形.當(dāng)然,不失一般性,圓錐曲線的弦長公式＝(A(x1,y1),B(x2,y2)為弦的兩個(gè)端點(diǎn))也應(yīng)重視. 21.已知 ⊙O

12、1：x2＋y2＝r2； ⊙O2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ⊙O3：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 若點(diǎn)M(x0,y0)在圓上,則過M的切線方程分別為 x0x＋y0y＝r2； (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2； x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0. 若點(diǎn)M(x0,y0)在圓外,過點(diǎn)M引圓的兩條切線,切點(diǎn)為M1,M2,則切點(diǎn)弦(兩切點(diǎn)的連線段)所在直線的方程分別為 x0x＋y0y＝r2； (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2； x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0. 圓x2＋y2＝r2的斜率為k的兩條切線方程分別為y＝kxr.掌握這些結(jié)論

13、,對解題很有幫助. 22.研究兩圓的位置關(guān)系時(shí),要靈活運(yùn)用平面幾何法、坐標(biāo)法.兩圓相交時(shí)可由兩圓的方程消去二次項(xiàng)求得兩圓公共弦所在的直線方程. 23.對涉及過直線與圓、圓與圓的交點(diǎn)的圓的問題,可考慮利用過交點(diǎn)的圓系方程解決問題,它在運(yùn)算上往往比較簡便. 24.平面上到兩定點(diǎn)距離的比為定值(>0且1)的點(diǎn)的軌跡是圓. 25.兩圓相交所得公共弦方程是兩圓方程相減消去二次項(xiàng)所得.x0x+y0y=r2 表示過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)（x0,y0）的切線,若點(diǎn)（x0,y0）在已知圓外,x0x+y0y=r2 表示什么？（切點(diǎn)弦） 三、題之變：課本典例改編 1.原題（必修2第132頁習(xí)題4.2

14、A組第三題）求以為圓心,并且與直線相切的圓的方程. 改編1 （重慶卷）過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】A. 【解析】設(shè)直線方程為,即.∵圓方程可化為,∴圓心為（2,-1）,半徑為.依題意有,解得或,∴直線方程為或,故選（A）. 改編2 （湖北卷）已知直線與圓相切,則的值為 . 【解析】∵圓的圓心為（1,0）,半徑為1,∴,解得或. 改編3 求經(jīng)過點(diǎn),且與直線和都相切的圓的方程. 2.原題（必修2第132頁練習(xí)第三題）某圓拱橋的水面跨度20,拱高4.現(xiàn)有一船寬10,水面以上高3,這條船能

15、否從橋下通過？ 改編 某圓拱橋的水面跨度是20,拱高為4.現(xiàn)有一船寬9,在水面以上部分高3,故通行無阻.近日水位暴漲了1.5,為此,必須加重船載,降低船身.當(dāng)船身至少應(yīng)降低 時(shí),船才能通過橋洞.（結(jié)果精確到0.01）. 【解析】建立直角坐標(biāo)系,設(shè)圓拱所在圓的方程為. ∵圓經(jīng)過點(diǎn)（10,0）,（0,4）,∴,解得. ∴圓的方程是. 令,得. 故當(dāng)水位暴漲1.5后,船身至少應(yīng)降低,船才能通過橋洞. 3.原題（必修2第133頁習(xí)題4.2A組第九題）求圓與圓的公共弦的長. 改編 兩圓C1 ：x2+ y2-1=0和C2：x2+ y2-8x+12=0的公切線長為______

16、_. 【解析】 C1 ：x2+ y2=1,C2：（x-4）2+ y2 = 4, |C1 C2|=4 圖（1）：|AB|==；圖（2）：|AB|==,即公切線長和. 4.原題（必修2第133頁習(xí)題4.2B組第2題）已知點(diǎn),點(diǎn)在圓上運(yùn)動,求的最大值和最小值. 改編1 已知點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)滿足,求的最大值和最小值. 改編2 已知,,點(diǎn)在圓上運(yùn)動,則的最小值是 . 【解析】設(shè),則.設(shè)圓心為,則,∴的最小值為. 5.原題（必修2第133頁習(xí)題4.2B組第3題）已知圓x2+y2=4,直線l: y=x+b.當(dāng)b為何值時(shí),圓x2+y2=4上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1.

17、 改編 已知圓x2+y2=4, 直線l: y=x+b. 圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都是1,則b 的取值范圍是_____. 【解析】 6.原題（必修2第144頁復(fù)習(xí)參考題B組第2題）已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn),距離的比是一個(gè)正數(shù),求點(diǎn)的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形（考慮和兩種情形）. 改編1 已知兩定點(diǎn),,如果動點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由,得,化簡得 ,∴點(diǎn)的軌跡是以（2,0）為圓心,2為半徑的圓,∴所求面積為

18、,故選B. 改編2 由動點(diǎn)向圓引兩條切線、,切點(diǎn)分別為、,=600,則動點(diǎn)的軌跡方程是 . 改編3 （四川卷）已知兩定點(diǎn),,如果動點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由,得,化簡得 ,∴點(diǎn)的軌跡是以（2,0）為圓心,2為半徑的圓,∴所求面積為,故選（B）. 改編4（2003年北京春季卷）設(shè)為兩定點(diǎn),動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為定值,求點(diǎn)的軌跡. 7.原題（必修2第144頁復(fù)習(xí)參考題B組第3題）求由曲線圍成的圖形的面積. 改編 由曲線圍成的圖形的面積為_______. 【解析】圍成的圖形如圖,面積為.