高三數(shù)學 理33個黃金考點總動員 考點02 命題及其關系、充分條件與必要條件解析版 Word版含解析

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1、 高三數(shù)學33個黃金考點總動員 【考點剖析】 1.最新考試說明： （1）了解命題的概念，會分析原命題及其逆命題、否命題與逆否命題這四種命題的相互關系． （2）理解必要條件、充分條件與充要條件的意義. 2.命題方向預測： （1）四種命題的概念及其相互關系、四種命題真假的判斷、充分要條件的判定及其應用是高考的熱點. (2)題型主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)． （3）本節(jié)知識常與集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列、立體幾何中的直線、平面間的位置關系、復數(shù)等知識結(jié)合，在復習是要加強對集合、函數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎知識理解與掌握. 3.課本結(jié)論總結(jié)： （1）命題的概念 在數(shù)學中用語

2、言、符號或式子表達的，可以判定真假的陳述句叫做命題.其中，判定為真的命題叫真命題，判定為假的命題叫假命題. （2）四種命題及其關系 ①四種命題及其關系 ②四種命題的真假關系 逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個命題同真假，互逆或互否的兩個命題，它們的真假沒有關系. (3)充分條件與必要條件 ①若，則是充分條件，是的必要條件. ②若，且，則是充要條件 4.名師二級結(jié)論： (1) 常見結(jié)論的否定形式 結(jié)論 是 都是 大于 小于 至少一個 至多一個 至少個 至多有個 對所有，成立 或 且 對任何，不成立 否定 不是 不都是 不大于

3、不小于 一個也沒有 至少兩個 至多有（）個 至少有（）個 存在某，不成立 且 或 存在某，成立 (2)充要條件判定方法 ①定義法：若，則是充分條件；若，則是必要條件；若，且，則是充要條件. ②集合法：若滿足條件的集合為A，滿足條件的集合為B，若AB，則是的充分不必要條件；若BA，則是必要不充分條件；若A=B則，是 充要條件。 對充要條件判定問題，一定要分清誰是條件，誰是結(jié)論，若條件、結(jié)論滿足的條件易求，常用集合法. ③利用原命題與逆命題的真假判斷 若原命題為“若則”，則有如下結(jié)論： （1）若原命題為真逆命題為假，則是的充分不必要條件； （2）若原命題

4、為假逆命題為真，則是的必要不充分條件； （3）若原命題與逆命題都為真，則是的充要條件； （4）若原命題與逆命題都為假，則是的既不充分也不必要條件 5.課本經(jīng)典習題： (1)新課標A版第8 頁習題1.1A組，第2題 【經(jīng)典理由】本題考查了命題的四種形式及其真假的判定，特別是都是的否定是一個難點，也是一個常考點. (2)新課標A版第12頁習題1.2A組第3題 【經(jīng)典理由】本題主要考查了充要條件的三種判定方法，具有代表性. 6.考點交匯展示： (1)與集合交匯 例1【20xx高考湖南，理2】.設，是兩個集合，則“”是 “”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不

5、充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】C. 【解析】 由題意得，，反之，，故為充要條件，選C. (2)與不等式交匯 例2【20xx高考天津，理4】設 ，則“ ”是“ ”的( ) （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】,或，所以 “ ”是“ ”的充分不必要條件，故選A. （3）與函數(shù)交匯 例3 【20xx高考一輪配套特供】 “10a>10b”是“l(fā)ga>lgb”的(

6、　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】由10a>10b得a>b，由lga>lgb得a>b>0，所以“10a>10b”是“l(fā)ga>lgb”的必要不充分條件，選B. （4）與平面向量結(jié)合 例4【20xx北京西城區(qū)二?！吭O平面向量，，均為非零向量，則“”是“”的（ ） （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】由得，，得；反之不成立，故是的必要而不充分條件． （5）與復數(shù)交匯

7、 例5【20xx浙江理 2】已知是虛數(shù)單位，，則“”是“”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A. 【解析】(a+bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，于是a2－b2＝0，2ab＝2解得a＝b＝1或a＝b＝－1 ,故選A. （6）與立體幾何交匯 例6 【陜西高考前30天保溫訓練17】已知直線a，b，平面α，β，則a∥α的一個充分條件是（　　） A．a(chǎn)⊥b，b⊥α B．a(chǎn)∥β，β∥α C．bα，a∥b D．a(chǎn)∥b，b∥α，aα 【答案】D

8、 (7)與數(shù)列交匯 例7【20xx高考湖北，理5】設，. 若p：成等比數(shù)列； q：，則（ ） A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件 B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件 C．p是q的充分必要條件 D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 【答案】A 【解析】對命題p：成等比數(shù)列，則公比且； 對命題，①當時，成立； ②當時，根據(jù)柯西不等式，等式成立， 則，所以成等比數(shù)列，所以是的充分條件，但不是的必要條件. 【考點分類】 熱點一 命題及其關系 1. 【20xx

9、陜西高考理第8題】原命題為“若互為共軛復數(shù)，則”，關于逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ） （A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假 【答案】 為真；故選. 2. 【20xx高考天津（理）】已知下列三個命題: ①若一個球的半徑縮小到原來的, 則其體積縮小到原來的; ②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等, 則它們的標準差也相等; ③直線x + y + 1 = 0與圓相切. 其中真命題的序號是: （ ） (A) ①②③ (B) ①② (C) ①③

10、 (D) ②③ 【答案】C 【解析】由球的體積公式可知：①正確；對③,圓心(0,0)到直線x + y + 1 = 0的距離為,等于圓的半徑,故正確；而②是錯誤的，故選C. 【方法規(guī)律】 1.判斷一個命題的真假有兩種方法，法一：直接法，用直接法判定命題為真命題，需要嚴格的推理、考慮各種情況由命題條件推出結(jié)論正確，要判定一個命題為假命題，只要舉出一個反例就行；法二：等價值法，若不易直接判斷它的真假，利用原命題與其逆否命題同真假轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。 2.正確的命題要有充分的依據(jù)，不一定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數(shù)學思維方式，也是兩種不同的解題方向，有時舉出反例可能比進行推理

11、論證更困難，二者同樣重要． 3. 在書寫命題的四種形式時，首先要將命題轉(zhuǎn)化成“若p，則q”的形式，然后嚴格按定義書寫，注意正確應用常見詞語的否定. 4.在判斷四種形式的命題真假時，先判斷原命題的真假，再判斷逆命題的真假，然后根據(jù)等價關系確定否命題和逆否命題的真假． 【解題技巧】 1.當一個命題有大前提而要寫出其他三個命題時，必須保留大前提且不作改換． 2.在判斷命題的真假時，如果不易直接判斷它的真假，可以轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假． 3.在書寫否命題題與您否命題時，要特別注意條件的否定和結(jié)論的否定即為條件的反面和結(jié)論的反面. 【易錯點睛】 1.區(qū)分否命題與命題：①否命題是將原命

12、題的條件否定作為條件，將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造的一個新的命題；②命題的否定只是否定命題的結(jié)論，常用于反證法． 2.特別要注意含有邏輯連結(jié)詞的否定形式. 例 寫出命題“若，則，全為0”的否命題. 【錯解】若，則，全不為0. 【錯因分析】①將命題否定與否命題混淆；②命題結(jié)論否定錯誤, “，全為0”的否定應為“，不全為0”，而不是“，全為0”. 【預防措施】①要正確區(qū)分命題的否定與否命題：寫一個命題的否命題，既要否定條件又要否定結(jié)論，只否定結(jié)論，得到的命題是命題的否定；②對條件和結(jié)論的否定要正確，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，條件和結(jié)論的否定就是分別找條件和結(jié)論的對

13、立面，抓住這一點就可以避免類似的錯誤. 【正解】若，則，不全為0. 熱點二 充分條件與必要條件 1. 【20xx高考重慶，理4】“”是“”的（　　 ） A、充要條件 B、充分不必要條件 C、必要不充分條件 D、既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】，因此選B. 2.【20xx高考福建卷理第6題】直線與圓相交于兩點，則是“的面積為”的（ ） 充分而不必要條件 必要而不充分條件 充分必要

14、條件 既不充分又不必要條件 【答案】A 3.【20xx高考湖北卷理第3題】設為全集，是集合，則“存在集合使得是“”的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】①當，，且，則，反之當，必有. ②當，，且，則，反之，若，則， ，所以. ③當，則；反之，，. 綜上所述，“存在集合使得是“”的充要條件. 4. 【20xx北京理5】設是公比為的等比數(shù)列，則是為遞增數(shù)列的（ ） 充分且不必要

15、條件 必要且不充分條件 充分必要條件 既不充分也不必要條件 【答案】D. 【解析】當a1<0，q>1時，數(shù)列{an}遞減；當a1<0，數(shù)列{an}遞增時，0

16、C）充分必要條件 （D）既非充分又非必要條件 【答案】B 【解析】若，則，但當時也有，故本題就選B． 【方法規(guī)律】 1.在進行充分條件、必要條件的判斷時，首先要明確哪個論斷是條件，哪個論斷是結(jié)論，再從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q，二是由條件q能否推得條件p，結(jié)合定義即可做出判斷. 2.充分條件、必要條件的三種判斷方法，要注意靈活應用.利用集合法進行判斷時，借助數(shù)軸能直觀顯示兩個集合的關系，從而命題易于求解．對于條件或結(jié)論是否定形式的充分條件、必要條件的判斷，要善于利用等價命題進行判斷． 【解題技巧】 1.在進行充要條件判斷時，在明確條件、結(jié)論的基礎上，將條件進行

17、適當?shù)幕喖昂侠淼谋硎緱l件間的推出關系是解決問題的關鍵． 2.在利用集合法進行充要條件判斷時，常借助數(shù)軸直觀顯示兩個集合的關系，從而使問題易于求解. 3.在利用命題法判定充要條件時，對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題． 【易錯點睛】 在判斷充要條件時，因條件與結(jié)論分不清或因考慮不全面導致致錯誤. 例 已知：“向量與向量的夾角為鈍角”是：“＜0”的 條件. 【錯解】若向量與向量的夾角為鈍角，則＜0，即＜0，故是的充要條件. 【錯因分析】判斷條件與

18、結(jié)論之間的關系時要從兩個方向判斷，而上面之判定了一個方向就下結(jié)論，忽視了對“＜0”成立時能否導出“向量與向量的夾角為鈍角”的判斷. 【防范措施】判斷充要條件時要注意兩點：首項要分清哪個是條件，哪個是條件；其次要從兩個方向進行判斷，即條件能否導出結(jié)論與結(jié)論能否導出條件. 【正解】若向量與向量的夾角為鈍角，則＜0，即＜0，即； 當＜0，即＜0，因為，所以，故向量與向量的夾角為鈍角或平角，即，故是的充分不必要條件. 【熱點預測】 1. 【20xx高考安徽，理3】設，則是成立的（ ） （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不

19、充分也不必要條件 【答案】A 2.以下四個命題中，真命題的個數(shù)為 ( ) ①集合的真子集的個數(shù)為； ②平面內(nèi)兩條直線的夾角等于它們的方向向量的夾角； ③設，若，則且； ④設無窮數(shù)列的前項和為，若是等差數(shù)列，則一定是常數(shù)列． (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 【解析】對于①，集合的真子集的個數(shù)為24-1=15，∴①對； 對于②，平面內(nèi)兩條直線的夾角不大于直角，而方向向量的夾角可以為鈍角，故②錯； 對于③，∵12+i2=0但1與i都不為0，故③錯； 對于④，若是等差數(shù)列，可設Sn=S1+(n-1)d，a

20、1=S1，當n≥2時，an=Sn-Sn-1= d， 當且僅當S1=d時是常數(shù)列，故④錯. 3. 【20xx高考安徽卷理第2題】“”是“”的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】因為，所以，即，因而“”是“”的必要而不充分條件 4.【福建福州三中考前模擬】原命題 ：“設＞”以及它的逆命題，否命題、逆否命題中，真命題共有（?。﹤€． A．0　　 　B．1　　 　 C．2　 　　　D．4 【答

21、案】C 5.【安徽“江南十?！倍！俊啊笔恰爸本€與直線平行”的（ ） A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】當時，直線與直線可能平行或重合；若直線與直線平行，則故選 6.【20xx河北“五個一名校聯(lián)盟”質(zhì)監(jiān)（一）3】已知，如果是的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由得，，即，解得或，由是的充分不必要條件

22、知，，故選B. 7.【20xx湖北武漢9月調(diào)研測試2】已知集合，，則是的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A. 【解析】若：則有，若：則或，∴是充分不必要條件. 8. 【山東東營市4月質(zhì)量檢測】“實數(shù)”是“復數(shù)（為虛數(shù)單位）的模為”的（ ） A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分條件又不必要條件 【答案】 9. 【湖南長沙二?！恐?，角的對邊分別為，則“”是“是等腰三角形”的（ ） A．充分不必要條件

23、 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】當時，由余弦定理得，，故，即，所以是等腰三角形，反之，當是等腰三角形時，不一定有，故“”是“是等腰三角形”的充分不必要條件． 10.【安徽皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考】若且，則“”是“”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 11. “”是“直線和直線互相垂直”的 （ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

24、C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】因為時，兩直線分別是直線和直線兩直線的斜率分別是1和-1.所以兩直線垂直，所以充分性成立；當直線和直線互相垂直則.所以必要性成立.故選C. 12.【20xx上海交大附中上期高三數(shù)學摸底考試】集合，．若“a＝1”是“”的充分條件，則實數(shù)b的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】“a＝1”是“”的充分條件的意思是說當時，，現(xiàn)在，，由得或，即或，所以的范圍是. 13.設,則是的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】因為知，知顯然，反之不成立，選B. 14.【安徽“江南十?！倍！肯铝薪Y(jié)論中正確的是(填上所有正確結(jié)論得序號) ①對于函數(shù)，若，使得，則函數(shù)關于直線對稱； ②函數(shù)有2個零點； ③若關于的不等式的解集為，則； ④已知隨機變量服從正態(tài)分布且，則； ⑤等比數(shù)列的前項和為，已知，則 【答案】③④⑤