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1、2019學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)精品資料
復(fù)數(shù)與平行四邊形家族
菱形、矩形、正方形等特殊的平面幾何圖形與某些復(fù)數(shù)式之間存在某種聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的途徑．在求解復(fù)數(shù)問題時(shí)，要善于考察條件中給定的或者是通過推理所得的復(fù)數(shù)形式的結(jié)構(gòu)特征，往往能獲得簡捷明快、生動(dòng)活潑的解決方法．下面略舉幾例，以供參考．
一、復(fù)數(shù)式與長方形的轉(zhuǎn)化
例1 復(fù)數(shù)，滿足，，證明：．
解析：設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，，由知，以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，，故可設(shè)，所以．
例2 已知復(fù)數(shù)，滿足，，且，求與的值．
解析：設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，，由于，故，
故以，為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而，則
2、；．
二、復(fù)數(shù)式與正方形的轉(zhuǎn)化
例3 已知復(fù)數(shù)滿足，且，求證：．
證明：設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，，由條件知，以，為鄰邊的平行四邊形為正方形，而在復(fù)平面上對應(yīng)的向量為正方形的一條對角線，所以．
點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系賦予了復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)加法幾何意義的運(yùn)用是本題考查的重點(diǎn)．
三、復(fù)數(shù)式與菱形的轉(zhuǎn)化
例4 已知，，，求．
解析：設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，，，考慮到時(shí)，；時(shí)，無意義，故使為純虛數(shù)的充要條件是，且，．
復(fù)數(shù)的加減法符合平行四邊形法則，是復(fù)數(shù)與平行四邊形家族聯(lián)姻的前提．通過本文我們發(fā)現(xiàn)深入抓住復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的本質(zhì)，可使我們求解復(fù)數(shù)問題的思路更加廣闊，方法也更加靈活．
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