2020北師大版數(shù)學(xué)必修4課時作業(yè)：第二章 章末檢測卷 Word版含解析

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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 第二章 章末檢測卷 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．在梯形ABCD中，AB∥CD，且||＝λ||，設(shè)＝a，＝b，則等于(　　) A．λa＋b　　　B．a(chǎn)＋λb C.a＋b D．a(chǎn)＋b 解析：＝＋＝b＋＝b＋a，故選C. 答案：C 2．設(shè)向量a，b均為單位向量，且|a＋b|＝1，則a與b的夾角θ為(　　) A. B. C. D. 解析：因為|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cosθ＝－.又θ∈[0

2、，π]，所以θ＝. 答案：C 3．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三點共線，則x的值為(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：∥，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，選B. 答案：B 4．設(shè)向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，則(a＋b)·c＝(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 解析：因為a＋c＝(3,3m)，(a＋c)⊥b，所以(a＋c)·b＝3(m＋1)＋3m＝0，得m＝－，故a＝(1，－1)，b＝，c＝，所以a＋b＝，(a＋b)·c＝&#

3、183;＝3，故選C. 答案：C 5．在△ABC中，已知D是邊AB上一點，若＝2，＝＋λ，則λ＝(　　) A. B. C. D. 解析：由已知得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因此λ＝，故選B. 答案：B 6．(2016·山東)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，則實數(shù)t的值為(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 解析：方法一：由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝－＝－3×＝－3×＝－4. 方法二：由4|m|＝3|n|，可設(shè)

4、|m|＝3k，|n|＝4k(k>0)，又n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n＝t|m|·|n|·cos〈m，n〉＋|n|2＝t×3k×4k×＋(4k)2＝4tk2＋16k2＝0，所以t＝－4. 答案：B 7．若四邊形ABCD滿足＋＝0，(－)·＝0，則該四邊形一定是(　　) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形 解析：由＋＝0即＝可得四邊形ABCD為平行四邊形，由(－)·＝0即·＝0可得⊥，所以四邊形一定是菱形．故選C. 答案：C

5、 8．已知O為坐標原點，點A的坐標為(2,1)，向量＝(－1,1)，則(＋)·(－)等于(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．2 解析：因為O為坐標原點，點A的坐標為(2,1)， 向量＝(－1,1)， 所以＝＋ ＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)， 所以(＋)·(－) ＝2－2＝(22＋12)－(12＋22) ＝5－5＝0.故選C. 答案：C 9．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，則＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：由向量的平行四邊形法則，知當|＋|＝||時，∠A＝90°.又||＝

6、1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－. 答案：B 10．在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，D是邊BC上的一點，且·＝·，則·的值等于(　　) A．－4 B．0 C．4 D．8 解析：∵·＝·， ∴·(－)＝0， ∴·＝0，即AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中，∠ABD＝30°， ∴AD＝AB＝2，∠BAD＝60°， ∴·＝||||cos60°＝2×4&

7、#215;＝4. 答案：C 11．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定義新運算?：m?n＝(ac＋bd，ad＋bc)．如果對于任意向量m，都有m?p＝m成立，則p＝(　　) A．(1,0) B．(－1,0) C．(0,1) D．(0，－1) 解析：∵m?p＝m，∴(a，b)?(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)， ∴即∵對任意m＝(a，b)，都有(a，b)?(x，y)＝(a，b)成立， ∴解得∴p＝(1,0)． 答案：A 12．在邊長為1的正方形ABCD中，點M為BC的中點，點E在線段AB上運動，則·的取值范圍是(　　) A

8、. B. C. D．[0,1] 解析：如圖，以AB、AD所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，進而可得C(1,1)，M，設(shè)E(x,0)(0≤x≤1)， ∴＝(1－x,1)，＝， ∴·＝(1－x)(1－x)＋1×＝x2－2x＋. ∵0≤x≤1， ∴當x＝1時，(·)min＝； 當x＝0時，(·)max＝. 答案：C 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________. 解析：∵λa＋b與a＋2b平行， ∴λa＋b＝

9、t(a＋2b)＝ta＋2tb ∴∴ 答案： 14．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，則||＝________. 解析：法一：設(shè)＝(x，y)，由||＝||知＝，又·＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.當x＝3，y＝1時，||＝2；當x＝－3，y＝－1時，||＝2.故||＝2. 法二：由幾何意義知，||就是以，為鄰邊的正方形的對角線長，又||＝，所以||＝×＝2. 答案：2 15．已知非零向量a，b，c，滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為________． 解析

10、：由題意可畫出圖形， 在△OAB中， 因為∠OAB＝60°，|b|＝2|a|， 所以∠ABO＝30°，OA⊥OB， 即向量a與c的夾角為90°. 答案：90° 16．給出以下命題：①若|a·b|＝|a||b|，則a∥b； ②向量a＝(－1,1)在b＝(3,4)方向上的投影為；③若非零向量a，b滿足|a＋b|＝|b|，則|2b|>|a＋2b|.其中正確命題的序號為________． 解析：由|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，得cos〈a，b〉＝±1，即〈a，b〉＝0或〈a，b

11、〉＝π，所以a∥b，①正確；向量a在b方向上的投影為|a|cos〈a，b〉＝＝＝，②正確；由|a＋b|＝|b|，得a2＋2a·b＝0，即2a·b＝－a2，若|2b|>|a＋2b|，則有4b2>a2＋4a·b＋4b2，即a2＋4a·b＝a2－2a2＝－a2<0，該式顯然成立，③正確．綜上，正確命題的序號為①②③. 答案：①②③ 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(10分)已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，當實數(shù)k為何

12、值時， (1)c∥d；(2)c⊥d. 解析：由題意得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×＝3. (1)當c∥d，c＝λd，則5a＋3b＝λ(3a＋kb)． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝. (2)當c⊥d時，c·d＝0，則(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0. ∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0， ∴k＝－. 18．(12分)已知向量a＝(1,3)，b＝(m,2)，c＝(3,4)，且(a－3b)⊥c. (1)求實數(shù)m的值； (2)求向量a與b的夾角θ. 解析：(1)因為a＝(1,3)，b＝

13、(m,2)，c＝(3,4)， 所以a－3b＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m，－3)． 因為(a－3b)⊥c， 所以(a－3b)·c＝(1－3m，－3)·(3,4) ＝3(1－3m)＋(－3)×4 ＝－9m－9＝0， 解得m＝－1. (2)由(1)知a＝(1,3)，b＝(－1,2)， 所以a·b＝5， 所以cosθ＝＝＝. 因為θ∈[0，π]， 所以θ＝. 19．(12分)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)． (1)若點A，B，C不能構(gòu)成三角形，求x，y應(yīng)滿足的條件； (2)若＝2，求x，y的值

14、． 解析：(1)因為點A，B，C不能構(gòu)成三角形，則A，B，C三點共線． 由＝(3，－4)，＝(6，－3)， ＝(5－x，－3－y)得 ＝(3,1)，＝(2－x,1－y)， 所以3(1－y)＝2－x. 所以x，y滿足的條件為x－3y＋1＝0. (2)＝(－x－1，－y)， 由＝2得 (2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)， 所以解得 20．(12分)已知A，B，C三點的坐標分別為(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，且＝，＝. (1)求E，F(xiàn)的坐標； (2)判斷與是否共線． 解析：(1)設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)．依題意得＝(2,2)，＝(－2,3)．

15、 由＝可知(x1＋1，y1)＝(2,2)，即解得 ∴E的坐標為. 由＝可知(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)， 即解得 ∴F的坐標為. 故E點的坐標為，F(xiàn)點的坐標為. (2)由(1)可知＝－＝，又＝(4，－1)，∴＝(4，－1)＝，故與共線． 21．(12分)已知e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三點共線． (1)求實數(shù)λ的值； (2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐標； (3)已知點D(3,5)，在(2)的條件下，若A，B，C，D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點A的坐標． 解析：(

16、1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2. ∵A，E，C三點共線，∴存在實數(shù)k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2. ∵e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量， ∴解得k＝－，λ＝－. (2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)． (3)∵A，B，C，D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，∴＝.設(shè)A(x，y)，則＝(3－x,5－y)．∵＝(－7，－2)，∴ 解得即點A的坐標為(10,7)． 22．(12分)在△ABC中，滿足⊥，M是BC的中點． (1)若||＝||，

17、求向量＋2與向量2＋的夾角的余弦值； (2)若O是線段AM上任意一點，且||＝||＝，求·＋·的最小值． 解析：(1)設(shè)向量＋2與向量2＋的夾角為θ，||＝||＝a， ∵⊥，∴·＝0， ∴(＋2)·(2＋)＝22＋5·＋22＝4a2， |＋2|＝＝ ＝a， 同理可得|2＋|＝a， ∴cosθ＝＝＝. (2)∵⊥，||＝||＝，∴||＝1. 設(shè)||＝x(0≤x≤1)，則||＝1－x，而＋＝2， ∴·＋·＝·(＋)＝2·＝2||·||·cosπ＝－2x(1－x)＝2x2－2x＝22－， 當且僅當x＝時，·＋·取得最小值－.