高中數(shù)學 第1章 4簡單計數(shù)問題課時作業(yè) 北師大版選修23

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1、 2019版數(shù)學精品資料（北師大版） 【成才之路】高中數(shù)學 第1章 4簡單計數(shù)問題課時作業(yè) 北師大版選修2-3 一、選擇題 1．4位同學參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一道作答，選甲答對得100分，答錯得－100分；選乙答對得90分，答錯得－90分．若4位同學的總分為0，則這4位同學不同得分情況的種數(shù)是(　　) A．48種 B．36種 C．24種 D．18種 [答案]　B [解析]　本題是考查排列組合及相關分類的問題． ①設4人中兩人答甲題，兩人答乙題，且各題有1人答錯，則有A＝24(種)． ②設4人都答甲題或都答乙題，且兩人答對，兩人

2、答錯，則有2CC＝12(種)． ∴4位同學得總分為0分的不同情況有 24＋12＝36(種)．故選B. 2．將5個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有(　　) A．15種 B．20種 C．25種 D．32種 [答案]　C [解析]　就編號為1的盒子中所放的球的個數(shù)分類：第一類，當編號為1的盒子中放入一個球時，相應的放法數(shù)有C種；第二類，當編號為1的盒中放入2個球時，相應的放法數(shù)有C＝10種；第三類，當編號為1的盒子中放入3個球時，相應的放法數(shù)有C＝10種．根據分類加法計數(shù)原理可知，滿足題意的放法種數(shù)是5

3、＋10＋10＝25. 3．(2014秦安縣西川中學高二期中)某城市的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數(shù)字組成，其中4個數(shù)字互不相同英文字母可以相同的牌照號碼共有(　　) A．(C)2A個 B．AA個 C．(C)2104個 D．A104個 [答案]　A [解析]　∵前兩位英文字母可以重復，∴有(C)2種排法，又∵后四位數(shù)字互不相同，∴有A種排法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有不同牌照號碼(C)2A個． 4．甲、乙、丙、丁四名同學在一次聯(lián)歡會上合唱一首歌曲，他們商議：前四句歌詞每人唱一句，其中甲和乙唱相鄰的兩句且甲不能唱第一句，第五句歌詞由兩人合唱，第六句歌詞由另外兩人合唱，歌曲的余下部

4、分由四人合唱，則四人唱完這首歌曲的不同唱法的種數(shù)是(　　) A．24 B．36 C．48 D．60 [答案]　D [解析]　由題意，對甲的前4句唱哪句進行分類：①甲唱第2句：CA；②甲唱第3句：CA；③甲唱第4句：CA；共有CA＋CA＋CA＝10種唱法．然后第5句有C種唱法，第6句有C種唱法，故共有10CC＝60種唱法． 5．有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位．現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是(　　) A．234　 B．346　 C．350　 D．363 [答案]　B [解析]　∵前排中間3個座位不能坐， ∴實

5、際可坐的位置前排8個，后排12個． (1)兩人一個前排，一個后排，排法數(shù)為CCA； (2)兩人均在后排，共A種，需排除兩個相鄰的情況：AA，即A－AA； (3)兩人均在前排，又分兩類：①兩人一左一右，為CCA，②兩人同左或同右時，有2(A－AA)種． 綜上，不同排法的種數(shù)為CCA＋(A－AA)＋CCA＋2(A－AA)＝346. 二、填空題 6．將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會的三個不同場館服務，不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答) [答案]　90種 [解析]　本題考查了排列組合中的平均分組分配問題，先分組，再把三組分配乘以A得：A＝90種

6、． 7．將數(shù)字1、2、3、4、5、6排成一列，記第i個數(shù)為ai(i＝1,2，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1

7、12條直線中，異面直線共有________對(用數(shù)字作答)． [解析]　方法一：第一步：從6條側棱中任取一條，有C種方法． 第二步：從與該側棱不相交的4條底邊中任取一條，有C種方法． 根據乘法原理，異面直線有CC＝24種． 方法二：從12條直線中任取2條組成C對直線，求其中異面直線的對數(shù)，只需從中減去2條直線共面的情況． 2條直線共面的情況有三類： 第一類：任取2條側棱所在的直線，顯然是共面的，有C種取法． 第二類：任取1條側棱所在的直線，再取與它有交點的底邊所在直線，有62種取法． 第三類：任取2條底邊所在的直線，顯然是共面的，有C種取法． 所以異面直線共有C－C－62－C

8、＝24對． 三、解答題 9．男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1人，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)男3名，女2名； (2)隊長至少有1人參加； (3)至少有1名女運動員； (4)既要有隊長，又要有女運動員． [分析]　此題中選的5人與順序無關，是組合問題． [解析]　(1)CC＝120種不同的選派方法． (2)分為兩類：僅1名隊長參加和兩人都參加： 共CC＋C＝196種不同的選派方法． (3)全部選法中排除無女運動員的情況： 共C－C＝246種不同的選法． (4)分三類：①僅女隊長：C； ②僅男隊長：C－C； ③兩名隊長：C；

9、 ∴共C＋C－C＋C＝191種不同的選派方法． [反思總結]　本題涉及所取元素“至少”問題，一般有兩種考慮方法：直接法：“至少”中包含分類，間接法就是從總數(shù)中去掉“至少”之外的情況，“至多”也可這樣考慮． 10.某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2,3張為不同花色的A，他有5次出牌機會，每次只能出一種點數(shù)的牌，但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？ [解析]　出牌的方法可分為以下幾類： (1)5張牌全部開出，有A種方法； (2)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法； (3)2張2一起出，3張A分開出，有A種方法； (4)2張2一起出，3張A分兩次出，有CA種方法；

10、 (5)2張2分開出，3張A一起出，有A種方法； (6)2張2分開出，3張A分兩次出，有CA種方法． 因此共有不同的出牌方法A＋A＋A＋CA＋A＋CA＝860種． [反思總結]　全面細致地分類是解決本題的關鍵．若按出牌次數(shù)分類，方法數(shù)為A＋(1＋C)A＋(1＋C)A＋A＝860種． 一、選擇題 1．某旅游團組織的旅游路線有省內和省外兩種，且省內路線有4條，省外路線有5條，則參加該旅游團的游客的旅游方案有(　　) A．4種　 B．5種　 C．9種　 D．20種 [答案]　C [解析]　游客的旅游方案分為兩類：第一類：選省內路線，有4種方法．第二類：選省外路線，有5種方法．由

11、加法原理可知，游客的旅游方案有4＋5＝9種． 2．(2014重慶理，9)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(　　) A．72　 B．120　 C．144　 D．168 [答案]　B [解析]　分兩類：(1)先排歌舞類有A ＝6種排法，再將其余的三個節(jié)目插空，如圖所示▼▽▼▽▼▽，或者▽▼▽▼▽▼，此時有2AA ＝72；(2)先排歌舞類有A＝6種排法，其余的兩個小品與歌舞排法如圖▼▽△▼▽▼，或者▼▽▼▽△▼，有4AC ＝48.所以共有72＋48＝120種不同的排法．解決不相鄰的排列問題，一般是運用插空法，解決本題容易

12、忽略了第二類，導致出差． 3．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為(　　) A．232　 B．252　 C．472　 D．484 [答案]　C [解析]　本題考查了利用組合知識來解決實際問題． C－4C－CC＝－16－72＝560－88＝472. 另解：CC－3C＋CC＝－12＋4＝220＋264－12＝472. 解題時要注意直接求解與反面求解相結合，做到不漏不重 4.如圖A，B，C，D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方案共有(　　)

13、 A．8種 B．12種 C．16種 D．20種 [答案]　C [解析]　如圖，構造三棱錐A－BCD；四個頂點表示四個小島，六條棱表示連接任意兩島的橋梁．由題意，只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法．這可由間接法完成：從六條棱中任取三條棱的不同取法有C種，任取三條共面棱的不同取法有4種，所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法有C－4＝16種．故不同的建橋方案共有16種． [反思總結]　此例通過構造幾何圖形使組合問題借助于幾何圖形展現(xiàn)出來也蘊函著轉化思想． 二、填空題 5．有4張分別標有數(shù)字1、2、3、4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1、2、3、4的藍色卡片，從這8張卡

14、片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答)． [答案]　432 [解析]　因為10＝1＋2＋3＋4＝2＋2＋3＋3＝1＋1＋4＋4，即數(shù)字之和為10的情況有4,4,1,1；4,3,2,1；3,3,2,2，共三種． 若為1,2,3,4，先選出標有數(shù)字的卡片，有2222種可能，然后再排列它們，每一種可能有A種排法，根據乘法原理，滿足題意的排法有2222A＝384種； 若為2,2,3,3，先選出標有數(shù)字的卡片，方法是唯一的，再排列它們有A種排法； 若為1,4,1,4也有A種排法． 所以共有384＋A＋A＝432種不同

15、的排法． 6．今有2個紅球、3個黃球、4個白球，若同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列共有________種不同的方法(用數(shù)字作答)． [答案]　1260 [解析]　方法一：只需找到不同顏色的球所在的位置即可，共有CCC＝1260種方法． 方法二：同色球不加以區(qū)分(即屬相同元素排列的消序問題)，先全排列，再消去各自的順序即可，則將這9個球排成一列共有＝1260種不同的方法． 三、解答題 7．有四個不同的數(shù)字1、4、5、x(x≠0)組成沒有重復數(shù)字的所有的四位數(shù)的各位數(shù)字之和為288，求x的值． [解析]　因為1、4、5、x四個數(shù)字不同，排成的四位數(shù)中1在千位上、百位上、十位上、個

16、位上分別有A個，所有的1的和共為4A＝24. 同理，排成的四位數(shù)中4在千位上、百位上、十位上、個位上分別有A個，所以，所有的4的和共為44A＝96. 所有的5的和共為54A＝120. 所有的x的和為x4A＝24x. 即24x＋120＋96＋24＝288，解得：x＝2. 8.“抗震救災，眾志成城”在舟曲的救災中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調6名奔赴災區(qū)救災，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問： (1)抽調的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調方法有多少種？ (2)至少有2名外科專家的抽調方法有多少種？ (3)至多有2名外科專家的抽調方法有多少種？ [解析]　(1)分步：首

17、先從4名外科專家中任選2名，有C種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有C種選法， 所以共有CC＝90種抽調方法． (2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法， 方法一(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類： ①選2名外科專家， 共有CC種選法； ②選3名外科專家，共有CC種選法； ③選4名外科專家，共有CC種選法； 根據分類加法計數(shù)原理，共有 CC＋CC＋CC＝185種抽調方法． 方法二(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有C種選法，考慮選取1名外科專家參加，有CC種選法；沒有外科專家參加，有C種選法，所以共有： C－CC－C＝185種抽調方法． (3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”、“有2名”三種情況，分類解答． ①沒有外科專家參加，有C種選法； ②有1名外科專家參加，有CC種選法； ③有2名外科專家參加，有CC種選法． 所以共有C＋CC＋CC＝115種抽調方法．