精編高中數學北師大版選修22教案：第4章 拓展資料：定積分問題的常見題型解析

《精編高中數學北師大版選修22教案：第4章 拓展資料：定積分問題的常見題型解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《精編高中數學北師大版選修22教案：第4章 拓展資料：定積分問題的常見題型解析（4頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、精編北師大版數學資料 有關定積分問題的常見題型解析 定積分是高中課程中新增加的內容，對函數進行積分運算這類題目占有非常重要的地位，它能解決很多實際應用問題。在解題時也會出現很多問題，下面研究一下有關定積分的問題的常見題型及注意的一些問題。 題型一 用定義求定積分 例1、用定義求。 分析：利用定義求定積分可分為四步：分割，近似代替，求和，取極限，按步驟求解 。 解：（1）分割[0，1]：。 （2）作和　。（因為x連續(xù)，所以可隨意取而不影響極限，故我們此處將取為[x，x]的右端點也無妨。） （3）取極限 。（此處用到了求和公式 。） 因此＝。 評注：求定積分四個步驟：

2、分割、近似代替、求和、取極限，關鍵環(huán)節(jié)是求和。體現的基本思想就是先分后合，化曲為直，通過取極限，形成整體圖形的面積。 題型二 利用微積分基本定理求積分 例2、求下列定積分： （1） （2） 分析：根據求導數與求原函數互為逆運算，找到被積函數得一個原函數，利用微積分基本公式代入求值。 解：（1）因為， 所以==。 （2）因為，， 所以 =。 評注：利用微積分基本定理求定積分的關鍵是找出的函數。通常我們可以運用基本初等函數的求導公式和導數的四則運算法則從反方向上求出，即正確運用求導運算與求原函數運算互為逆運算的關系。 題型三 利用定積分求平面圖形的面積 例3　如

3、圖　，求直線y=2x+3與拋物線y=x所圍成的圖形面積。 分析：從圖形可以看出，所求圖形的面積可以轉化為一個梯形與一個曲邊梯形面積的差，進而可以用定積分求出面積。為了確定出被積函數和積分和上、下限，我們需要求出兩條曲線的交點的橫坐標。 解：由方程組，可得。故所求圖形面積為： S＝－＝（x＋3x）。 評注：求平面圖形的面積的一般步驟：⑴畫圖，并將圖形分割成若干曲邊梯形；⑵對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分上、下限；⑶確定被積函數；⑷求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值之和。 關鍵環(huán)節(jié)：①認定曲邊梯形，選定積分變量；②確定被積函數和積分上下限。 知識小結：幾種典型的曲

4、邊梯形面積的計算方法： （1）由三條直線x=a、x=b（a＜b）、x軸，一條曲線y=（≥0）圍成的曲邊梯形的面積： S＝，如圖1。 （2）由三條直線x=a、x=b（a＜b）、x軸，一條曲線y=（≤0）圍成的曲邊梯形的面積： S＝，如圖2。 （3）由兩條直線x=a、x=b（a＜b）、兩條曲線y=、y=（）圍成的平面圖形的面積：S＝，如圖3。 題型四 解決綜合性問題 例4、在曲線（x≥0）上某一點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍的面積為。試求：（1）切點A的坐標；（2）過切點A的切線方程。 分析：設出切點A的坐標，利用導數的幾何意義，寫出切線方程，然后利用定積分求出所圍成平面圖形的面積，從而確定切點A的坐標，使問題解決。 解：如圖， 設切點A（），由＝2x，過A點的切線方程為 y－y＝2x（x－x）,即y＝2xx－x。 令y＝0,得x=。即C（，0）。 設由曲線和過A點的切線及x軸所圍成圖形的面積為S，S＝S－S。 S＝，　 S＝｜BC｜·｜AB｜＝（x－）·x＝x， 即：S＝x－x＝x＝。 所以x=1，從而切點A（1,1）,切線方程為y=2x－1。 評注：本題將導數與定積分聯系起來，解題的關鍵是求出曲線三角形AOC的面積。