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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料
【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 4簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-3
一、選擇題
1．4位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一道作答，選甲答對(duì)得100分，答錯(cuò)得－100分；選乙答對(duì)得90分，答錯(cuò)得－90分．若4位同學(xué)的總分為0，則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是( )
A．48種 B．36種
C．24種 D．18種
[答案] B
[解析] 本題是考查排列組合及相關(guān)分類的問題．
①設(shè)4人中兩人答甲題，兩人答乙題，且各題有1人答錯(cuò)，則有A＝24(種)．
②設(shè)4人都答甲題或都答乙題，且兩人答對(duì)，
2、兩人答錯(cuò)，則有2CC＝12(種)．
∴4位同學(xué)得總分為0分的不同情況有
24＋12＝36(種)．故選B.
2．將5個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有( )
A．15種 B．20種
C．25種 D．32種
[答案] C
[解析] 就編號(hào)為1的盒子中所放的球的個(gè)數(shù)分類：第一類，當(dāng)編號(hào)為1的盒子中放入一個(gè)球時(shí)，相應(yīng)的放法數(shù)有C種；第二類，當(dāng)編號(hào)為1的盒中放入2個(gè)球時(shí)，相應(yīng)的放法數(shù)有C＝10種；第三類，當(dāng)編號(hào)為1的盒子中放入3個(gè)球時(shí)，相應(yīng)的放法數(shù)有C＝10種．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，滿足題意的放法種數(shù)
3、是5＋10＋10＝25.
3．(2014秦安縣西川中學(xué)高二期中)某城市的汽車牌照號(hào)碼由2個(gè)英文字母后接4個(gè)數(shù)字組成，其中4個(gè)數(shù)字互不相同英文字母可以相同的牌照號(hào)碼共有( )
A．(C)2A個(gè) B．AA個(gè)
C．(C)2104個(gè) D．A104個(gè)
[答案] A
[解析] ∵前兩位英文字母可以重復(fù)，∴有(C)2種排法，又∵后四位數(shù)字互不相同，∴有A種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有不同牌照號(hào)碼(C)2A個(gè)．
4．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在一次聯(lián)歡會(huì)上合唱一首歌曲，他們商議：前四句歌詞每人唱一句，其中甲和乙唱相鄰的兩句且甲不能唱第一句，第五句歌詞由兩人合唱，第六句歌詞由另外兩人合唱，歌曲的余
4、下部分由四人合唱，則四人唱完這首歌曲的不同唱法的種數(shù)是( )
A．24 B．36
C．48 D．60
[答案] D
[解析] 由題意，對(duì)甲的前4句唱哪句進(jìn)行分類：①甲唱第2句：CA；②甲唱第3句：CA；③甲唱第4句：CA；共有CA＋CA＋CA＝10種唱法．然后第5句有C種唱法，第6句有C種唱法，故共有10CC＝60種唱法．
5．有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位．現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是( )
A．234 B．346
C．350 D．363
[答案] B
[解析] ∵前排中間3個(gè)座位不能坐，
5、∴實(shí)際可坐的位置前排8個(gè)，后排12個(gè)．
(1)兩人一個(gè)前排，一個(gè)后排，排法數(shù)為CCA；
(2)兩人均在后排，共A種，需排除兩個(gè)相鄰的情況：AA，即A－AA；
(3)兩人均在前排，又分兩類：①兩人一左一右，為CCA，②兩人同左或同右時(shí)，有2(A－AA)種．
綜上，不同排法的種數(shù)為CCA＋(A－AA)＋CCA＋2(A－AA)＝346.
二、填空題
6．將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會(huì)的三個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)
[答案] 90種
[解析] 本題考查了排列組合中的平均分組分配問題，先分組，再把三組分配乘以A得：A＝9
6、0種．
7．將數(shù)字1、2、3、4、5、6排成一列，記第i個(gè)數(shù)為ai(i＝1,2，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1
7、在的12條直線中，異面直線共有________對(duì)(用數(shù)字作答)．
[解析] 方法一：第一步：從6條側(cè)棱中任取一條，有C種方法．
第二步：從與該側(cè)棱不相交的4條底邊中任取一條，有C種方法．
根據(jù)乘法原理，異面直線有CC＝24種．
方法二：從12條直線中任取2條組成C對(duì)直線，求其中異面直線的對(duì)數(shù)，只需從中減去2條直線共面的情況．
2條直線共面的情況有三類：
第一類：任取2條側(cè)棱所在的直線，顯然是共面的，有C種取法．
第二類：任取1條側(cè)棱所在的直線，再取與它有交點(diǎn)的底邊所在直線，有62種取法．
第三類：任取2條底邊所在的直線，顯然是共面的，有C種取法．
所以異面直線共有C－C－62
8、－C＝24對(duì)．
三、解答題
9．男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男、女隊(duì)長各1人，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？
(1)男3名，女2名；
(2)隊(duì)長至少有1人參加；
(3)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；
(4)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員．
[分析] 此題中選的5人與順序無關(guān)，是組合問題．
[解析] (1)CC＝120種不同的選派方法．
(2)分為兩類：僅1名隊(duì)長參加和兩人都參加：
共CC＋C＝196種不同的選派方法．
(3)全部選法中排除無女運(yùn)動(dòng)員的情況：
共C－C＝246種不同的選法．
(4)分三類：①僅女隊(duì)長：C；
②僅男隊(duì)長：C－C；
③兩名隊(duì)長：
9、C；
∴共C＋C－C＋C＝191種不同的選派方法．
[反思總結(jié)] 本題涉及所取元素“至少”問題，一般有兩種考慮方法：直接法：“至少”中包含分類，間接法就是從總數(shù)中去掉“至少”之外的情況，“至多”也可這樣考慮．
10.某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2,3張為不同花色的A，他有5次出牌機(jī)會(huì)，每次只能出一種點(diǎn)數(shù)的牌，但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？
[解析] 出牌的方法可分為以下幾類：
(1)5張牌全部開出，有A種方法；
(2)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法；
(3)2張2一起出，3張A分開出，有A種方法；
(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有CA種方法
10、；
(5)2張2分開出，3張A一起出，有A種方法；
(6)2張2分開出，3張A分兩次出，有CA種方法．
因此共有不同的出牌方法A＋A＋A＋CA＋A＋CA＝860種．
[反思總結(jié)] 全面細(xì)致地分類是解決本題的關(guān)鍵．若按出牌次數(shù)分類，方法數(shù)為A＋(1＋C)A＋(1＋C)A＋A＝860種．
一、選擇題
1．某旅游團(tuán)組織的旅游路線有省內(nèi)和省外兩種，且省內(nèi)路線有4條，省外路線有5條，則參加該旅游團(tuán)的游客的旅游方案有( )
A．4種 B．5種
C．9種 D．20種
[答案] C
[解析] 游客的旅游方案分為兩類：第一類：選省內(nèi)路線，有4種方法．第二類：選省外路線，有5種方法
11、．由加法原理可知，游客的旅游方案有4＋5＝9種．
2．(2014重慶理，9)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( )
A．72 B．120
C．144 D．168
[答案] B
[解析] 分兩類：(1)先排歌舞類有A ＝6種排法，再將其余的三個(gè)節(jié)目插空，如圖所示▼▽▼▽▼▽，或者▽▼▽▼▽▼，此時(shí)有2AA ＝72；(2)先排歌舞類有A＝6種排法，其余的兩個(gè)小品與歌舞排法如圖▼▽△▼▽▼，或者▼▽▼▽△▼，有4AC ＝48.所以共有72＋48＝120種不同的排法．解決不相鄰的排列問題，一般是運(yùn)用插空法，解決本題
12、容易忽略了第二類，導(dǎo)致出差．
3．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為( )
A．232 B．252
C．472 D．484
[答案] C
[解析] 本題考查了利用組合知識(shí)來解決實(shí)際問題．
C－4C－CC＝－16－72＝560－88＝472.
另解：CC－3C＋CC＝－12＋4＝220＋264－12＝472.
解題時(shí)要注意直接求解與反面求解相結(jié)合，做到不漏不重
4.如圖A，B，C，D為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)小島連接起來，則不同的建橋方案共有( )
13、
A．8種 B．12種
C．16種 D．20種
[答案] C
[解析] 如圖，構(gòu)造三棱錐A－BCD；四個(gè)頂點(diǎn)表示四個(gè)小島，六條棱表示連接任意兩島的橋梁．由題意，只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法．這可由間接法完成：從六條棱中任取三條棱的不同取法有C種，任取三條共面棱的不同取法有4種，所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法有C－4＝16種．故不同的建橋方案共有16種．
[反思總結(jié)] 此例通過構(gòu)造幾何圖形使組合問題借助于幾何圖形展現(xiàn)出來也蘊(yùn)函著轉(zhuǎn)化思想．
二、填空題
5．有4張分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的藍(lán)色卡片，從這8
14、張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答)．
[答案] 432
[解析] 因?yàn)?0＝1＋2＋3＋4＝2＋2＋3＋3＝1＋1＋4＋4，即數(shù)字之和為10的情況有4,4,1,1；4,3,2,1；3,3,2,2，共三種．
若為1,2,3,4，先選出標(biāo)有數(shù)字的卡片，有2222種可能，然后再排列它們，每一種可能有A種排法，根據(jù)乘法原理，滿足題意的排法有2222A＝384種；
若為2,2,3,3，先選出標(biāo)有數(shù)字的卡片，方法是唯一的，再排列它們有A種排法；
若為1,4,1,4也有A種排法．
所以共有384＋A＋A＝432種
15、不同的排法．
6．今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，若同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列共有________種不同的方法(用數(shù)字作答)．
[答案] 1260
[解析] 方法一：只需找到不同顏色的球所在的位置即可，共有CCC＝1260種方法．
方法二：同色球不加以區(qū)分(即屬相同元素排列的消序問題)，先全排列，再消去各自的順序即可，則將這9個(gè)球排成一列共有＝1260種不同的方法．
三、解答題
7．有四個(gè)不同的數(shù)字1、4、5、x(x≠0)組成沒有重復(fù)數(shù)字的所有的四位數(shù)的各位數(shù)字之和為288，求x的值．
[解析] 因?yàn)?、4、5、x四個(gè)數(shù)字不同，排成的四位數(shù)中1在千位上、百位上、十位上
16、、個(gè)位上分別有A個(gè)，所有的1的和共為4A＝24.
同理，排成的四位數(shù)中4在千位上、百位上、十位上、個(gè)位上分別有A個(gè)，所以，所有的4的和共為44A＝96.
所有的5的和共為54A＝120.
所有的x的和為x4A＝24x.
即24x＋120＋96＋24＝288，解得：x＝2.
8.“抗震救災(zāi)，眾志成城”在舟曲的救災(zāi)中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴災(zāi)區(qū)救災(zāi)，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問：
(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？
(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？
(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？
[解析] (1)分步
17、：首先從4名外科專家中任選2名，有C種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有C種選法，
所以共有CC＝90種抽調(diào)方法．
(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法，
方法一(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類：
①選2名外科專家，
共有CC種選法；
②選3名外科專家，共有CC種選法；
③選4名外科專家，共有CC種選法；
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有
CC＋CC＋CC＝185種抽調(diào)方法．
方法二(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有C種選法，考慮選取1名外科專家參加，有CC種選法；沒有外科專家參加，有C種選法，所以共有：
C－CC－C＝185種抽調(diào)方法．
(3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”、“有2名”三種情況，分類解答．
①?zèng)]有外科專家參加，有C種選法；
②有1名外科專家參加，有CC種選法；
③有2名外科專家參加，有CC種選法．
所以共有C＋CC＋CC＝115種抽調(diào)方法．
精編高中數(shù)學(xué) 第1章 4簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題課時(shí)作業(yè) 北師大版選修23
