高三理科數(shù)學(xué) 一輪總復(fù)習(xí)第七章　不等式教師用書(shū)

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1、 第七章　不等式 高考導(dǎo)航 考試要求 重難點(diǎn)擊 命題展望 　　1.不等關(guān)系 了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景. 2.一元二次不等式 (1)會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型； (2)通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系； (3)會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖. 3.二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 (1)會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組； (2)了解二元一次不等式組的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組； (3)會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的

2、二元線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決. 4.基本不等式：≥ (a，b≥0) (1)了解基本不等式的證明過(guò)程； (2)會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題. 本章重點(diǎn)：1.用不等式的性質(zhì)比較大??；2.簡(jiǎn)單不等式的解法；3.二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題；4.基本不等式的應(yīng)用. 本章難點(diǎn)：1.含有參數(shù)不等式的解法；2.不等式的應(yīng)用；3.線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用. 　　不等式具有應(yīng)用廣泛、知識(shí)綜合、能力復(fù)合等特點(diǎn).高考考查時(shí)更多的是與函數(shù)、方程、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何及實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題相互交叉和綜合，將不等式及其性質(zhì)的運(yùn)用滲透到這些問(wèn)題的求解過(guò)程中進(jìn)行考查. 線(xiàn)性規(guī)劃是數(shù)學(xué)應(yīng)用的

3、重要內(nèi)容，高考中除考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的求解與應(yīng)用外，也考查線(xiàn)性規(guī)劃方法的遷移. 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 　7.1　不等式的性質(zhì) 典例精析 題型一　比較大小 【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga(a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，試比較P與Q的大小. 【解析】因?yàn)閍3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)， 當(dāng)a＞1時(shí)，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q； 綜上所述，a＞0，a≠1時(shí)，P＞Q. 【點(diǎn)撥】作差比較法是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的重要方法之一，其解題步驟為：①作差； ②變形；③判斷符號(hào)；④得出

4、結(jié)論. 【變式訓(xùn)練1】已知m＝a＋(a＞2)，n＝x－2(x≥)，則m，n之間的大小關(guān)系為(　　) A.m＜n B.m＞n C.m≥n D.m≤n 【解析】選C.本題是不等式的綜合問(wèn)題，解決的關(guān)鍵是找中間媒介傳遞. m＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤()－2＝4. 題型二　確定取值范圍 【例2】已知－≤α＜β≤，求，的取值范圍. 【解析】因?yàn)椋堞粒鸡隆?，所以－≤＜，－＜≤? 兩式相加得－＜＜. 又－≤＜，所以－≤＜， 又因?yàn)棣粒鸡?，所以?，所以－≤＜0， 綜上－＜＜，－≤＜0為所求范圍. 【點(diǎn)撥】求含字母的數(shù)(式)的取值范圍，一定

5、要注意題設(shè)的條件，否則易出錯(cuò)，同時(shí)在變換過(guò)程中，要注意準(zhǔn)確利用不等式的性質(zhì). 【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍. 【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5. 令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)， 所以 故f(3)＝－(a－c)＋(4a－c)∈[－1,20]. 題型三　開(kāi)放性問(wèn)題 【例3】已知三個(gè)不等式：①ab＞0；② ＞；③bc＞ad.以其中兩個(gè)作條件，余下的一個(gè)作結(jié)論，則能組成多少個(gè)正確命題？ 【解析】能組成3個(gè)正確命題.對(duì)不等式②作等價(jià)變形:＞?＞0.

6、 (1)由ab＞0，bc＞ad?＞0，即①③?②； (2)由ab＞0，＞0?bc－ad＞0?bc＞ad，即①②?③； (3)由bc－ad＞0，＞0?ab＞0，即②③?①. 故可組成3個(gè)正確命題. 【點(diǎn)撥】這是一類(lèi)開(kāi)放性問(wèn)題，要求熟練掌握不等式的相關(guān)性質(zhì)，并能對(duì)題目條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牡葍r(jià)變形. 【變式訓(xùn)練3】a、b、c、d均為實(shí)數(shù)，使不等式＞＞0和ad＜bc都成立的一組值(a，b，c，d)是_______________(只要寫(xiě)出符合條件的一組即可). 【解析】寫(xiě)出一個(gè)等比式子，如＝＞0.此時(shí)內(nèi)項(xiàng)的積和外項(xiàng)的積相等，減小的分子，把上式變成不等式＞＞0，此時(shí)不符合ad＜bc的條件，進(jìn)行

7、變換可得＞＞0，此時(shí)2 (－2)＜1(－3).故(2,1，－3，－2)是符合要求的一組值. 總結(jié)提高 1.不等式中有關(guān)判斷性命題，主要依據(jù)是不等式的概念和性質(zhì).一般地，要判斷一個(gè)命題是真命題，必須嚴(yán)格證明.要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出反例，或者由題設(shè)條件推出與結(jié)論相反的結(jié)果.在不等式證明和推理過(guò)程中，關(guān)鍵是要弄清每個(gè)性質(zhì)的條件與結(jié)論及其邏輯關(guān)系，要注意條件的弱化與加強(qiáng)，不可想當(dāng)然.如在應(yīng)用ab＞0，a＞b?＜這一性質(zhì)時(shí)，不可弱化為a＞b?＜，也不可強(qiáng)化為a＞b＞0?＜. 2.題設(shè)條件含有字母，而結(jié)論唯一確定的選擇題，采用賦值法解答可事半功倍. 3.比較大小的常用方法是作差比較法和

8、作商比較法，變形是關(guān)鍵. 　7.2　簡(jiǎn)單不等式的解法 典例精析 題型一　一元二次不等式的解法 【例1】解下列不等式： (1)x2－2x－3＞0； (2)已知A＝{x|3x2－7x＋2＜0}，B＝{x|－2x2＋x＋1≤0}，求A∪B，(?RA)∩B. 【解析】(1)方程兩根為x1＝－1，x2＝3， 所以原不等式解集為{x|x＜－1或x＞3}. (2)因?yàn)锳＝{x|＜x＜2}，?RA＝{x|x≤或x≥2}，B＝{x|x≤－或x≥1}， 所以A∪B＝{x|x≤－或x＞}，(?RA)∩B＝{x|x≤－或x≥2}. 【點(diǎn)撥】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函

9、數(shù)聯(lián)系非常緊密，要注意轉(zhuǎn)化，同時(shí)要熟練掌握一元二次不等式恒成立與對(duì)應(yīng)方程的判別式的關(guān)系.對(duì)于Δ＞0的不等式解集簡(jiǎn)稱(chēng)“大于取兩端，小于取中間”. 【變式訓(xùn)練1】設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，則關(guān)于x的不等式f(x)≤1的解集為(　　) A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B.[－3，－1] C.[－3，－1]∪(0，＋∞) D.[－3，＋∞) 【解析】選C.由已知對(duì)x≤0時(shí)f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－4)＝f(0)，知其對(duì)稱(chēng)軸為x＝－2，故－＝－2?b＝4. 又f(－2)＝0，代入得c＝4，故f(x)＝ 分別解之取并集即得不等式解集

10、為[－3，－1]∪(0，＋∞). 題型二　解含參數(shù)的一元二次不等式問(wèn)題 【例2】解關(guān)于x的不等式mx2＋(m－2)x－2＞0 (m∈R). 【解析】當(dāng)m＝0時(shí)，原不等式可化為－2x－2＞0，即x＜－1； 當(dāng)m≠0時(shí)，可分為兩種情況： (1)m＞0 時(shí)，方程mx2＋(m－2)x－2＝0有兩個(gè)根，x1＝－1，x2＝. 所以不等式的解集為{x|x＜－1或x＞}； (2)m＜0時(shí)，原不等式可化為－mx2＋(2－m)x＋2＜0， 其對(duì)應(yīng)方程兩根為x1＝－1，x2＝，x2－x1＝－(－1)＝. ①m＜－2時(shí)，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1， 不等式的解集為{x|

11、－1＜x＜}； ②m＝－2時(shí)，x2＝x1＝－1， 原不等式可化為(x＋1)2＜0，解集為?； ③－2＜m＜0時(shí)，x2－x1＜0，即x2＜x1， 不等式解集為{x|＜x＜－1}. 綜上所述： 當(dāng)m＜－2時(shí)，解集為{x|－1＜x＜}； 當(dāng)m＝－2時(shí)，解集為?； 當(dāng)－2＜m＜0時(shí)，解集為{x|＜x＜－1}； 當(dāng)m＝0時(shí)，解集為{x|x＜－1}； 當(dāng)m＞0時(shí)，解集為{x|x＜－1或x＞}. 【點(diǎn)撥】解含參數(shù)的一元二次不等式，首先要判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，其次討論根的情況，然后討論根的大小，最后依據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)和根的大小寫(xiě)出解集. 【變式訓(xùn)練2】解關(guān)于x的不等式＞0. 【解

12、析】原不等式等價(jià)于(ax－1)(x＋1)＞0. 當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜－1}； 當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞或x＜－1}； 當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|＜x＜－1}； 當(dāng)a＝－1時(shí)，不等式的解集為?； 當(dāng)a＜－1時(shí)，不等式的解集為{x|－1＜x＜}. 題型三　一元二次不等式與一元二次方程之間的聯(lián)系 【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集. 【解析】由于ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|1＜x＜3}，因此a＜0， 且ax2＋bx＋c＝0的兩根為1、3，則－＝1＋3，＝13，即＝－4，＝3.

13、 又a＜0，不等式cx2＋bx＋a＜0可以化為x2＋x＋1＞0，即3x2－4x＋1＞0， 解得x＜或x＞1. 【點(diǎn)撥】解一元二次不等式時(shí)，要注意聯(lián)系相應(yīng)的一元二次方程與一元二次函數(shù)，明確一元二次不等式的解區(qū)間的端點(diǎn)就是相應(yīng)一元二次方程的根. 【變式訓(xùn)練3】(2009江西)若不等式≤k(x＋2)－的解集為區(qū)間[a，b]，且b－a＝2，則k＝　　　. 【解析】.作出函數(shù)y＝和y＝k(x＋2)－的圖象，函數(shù)y＝的圖象是一個(gè)半圓，函數(shù)y＝k(x＋2)－的圖象是過(guò)定點(diǎn)(－2，－)的一條動(dòng)直線(xiàn).依題意，半圓在直線(xiàn)下方的區(qū)間長(zhǎng)度為2，則必有a＝1，即 1是方程＝k(x＋2)－的根，代入得k＝.

14、總結(jié)提高 1.解一元二次不等式的一般步驟: (1)對(duì)不等式變形，使一端為零且二次項(xiàng)系數(shù)大于零； (2)計(jì)算相應(yīng)的判別式； (3)當(dāng)Δ＞0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的兩根； (4)根據(jù)一元二次不等式的結(jié)構(gòu)，寫(xiě)出其解集. 2.當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，需分類(lèi)討論.分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)往往根據(jù)需要而設(shè)定.如：是一元一次不等式還是一元二次不等式；開(kāi)口方向如何；根的判別式的正負(fù)；根的大小等. 3.要注意三個(gè)“二次”之間的聯(lián)系，重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 7.3　二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 典例精析 題型一　平面區(qū)域 【例1】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－2，＋∞)，且f(4)＝f(－2

15、)＝1，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則平面區(qū)域所圍成的面積是(　　) A.2 B.4 C.5 D.8 【解析】選B.由f′(x)的圖象可知，f(x)在[－2,0]上是減函數(shù)，在[0，＋∞)上是增函數(shù). 因?yàn)閒(－2)＝f(4)＝1，所以當(dāng)且僅當(dāng)x∈(－2,4)時(shí)，有f(x)＜f(－2)＝f(4)＝1. 作出可行域如圖所示，其圍成的圖形面積為4. 【點(diǎn)撥】不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域點(diǎn)的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分. 【變式訓(xùn)練1】若a≥0，b≥0，且當(dāng)時(shí)，恒有ax＋by≤1，則以

16、a，b為坐標(biāo)的點(diǎn)P(a，b)所形成的平面區(qū)域的面積是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.1 D. 【解析】選C.當(dāng)a＝b＝1時(shí)，滿(mǎn)足x＋y≤1，且可知0≤a≤1，0≤b≤1，所以點(diǎn)P(a，b)所形成的平面區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，所以面積為1.本題關(guān)鍵是確定點(diǎn)所形成的區(qū)域形狀. 題型二　利用線(xiàn)性規(guī)劃求最值 (1)z＝x＋2y－4的最大值； (2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值； (3)z＝的取值范圍. 【解析】作出可行域如圖所示，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(1,3)，B(3,1)，C(7,9). (1)易知直線(xiàn)x＋2y－4＝z過(guò)

17、點(diǎn)C時(shí)，z最大. 所以x＝7，y＝9時(shí)，z取最大值21. (2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)M(0,5)的距離的平方， 過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)AC的垂線(xiàn)，易知垂足N在線(xiàn)段AC上， 故z的最小值是()2＝. (3)z＝2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)Q(－1，－)連線(xiàn)斜率的2倍. 因?yàn)閗QA＝，kQB＝，所以z的取值范圍為[，]. 【點(diǎn)撥】線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處或邊界上取得，充分理解目標(biāo)函數(shù)賦予的幾何意義是本例的關(guān)鍵. 【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－bx＋1(a，b∈R)在區(qū)間[－1,3]上是減函數(shù)，求 a＋b的最

18、小值. 【解析】因?yàn)閒′(x)＝x2＋2ax－b，f(x)在區(qū)間[－1,3]上是減函數(shù). 所以f′(x)≤0在[－1,3]上恒成立.則 作出點(diǎn)(a，b)表示的平面區(qū)域. 令z＝a＋b，求出直線(xiàn)－2a－b＋1＝0與6a－b＋9＝0的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,3). 當(dāng)直線(xiàn)z＝a＋b過(guò)點(diǎn)A(－1,3)時(shí)，z＝a＋b取最小值2. 題型三　線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 【例3】某木器廠(chǎng)生產(chǎn)圓桌和衣柜兩種產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種木料，第一種有72 m3，第二種有56 m3.假設(shè)生產(chǎn)每種產(chǎn)品都需要用兩種木料，生產(chǎn)一張圓桌需要用第一種木料0.18 m3，第二種木料0.08m3，可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)衣柜需要用第一

19、種木料0.09 m3，第二種木料0.28 m3，可獲利潤(rùn)10元.木器廠(chǎng)在現(xiàn)有木料條件下，圓桌和衣柜應(yīng)各生產(chǎn)多少時(shí)才能使所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 【解析】設(shè)圓桌生產(chǎn)的張數(shù)為x，衣柜生產(chǎn)的個(gè)數(shù)為y，所獲利潤(rùn)為z，則z＝6x＋10y， 當(dāng)直線(xiàn)l：6x＋10y＝0平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(350,100)時(shí)，z＝6x＋10y最大. zmax＝6350＋10100＝3 100， 所以生產(chǎn)圓桌350張，衣柜100個(gè)可獲得最大利潤(rùn)3 100元. 【點(diǎn)撥】解實(shí)際線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，首先設(shè)出變量，建立不等式模型表示出約束條件，一定要注意問(wèn)題的實(shí)際意義(如本題中x≥0，y≥0)，然后畫(huà)出可行域，利用圖形求解.

20、 【變式訓(xùn)練3】某實(shí)驗(yàn)室需購(gòu)某種化工原料至少106千克，現(xiàn)在市場(chǎng)上該原料有兩種包裝：一種是每袋35千克，價(jià)格為140元；另一種是每袋24千克，價(jià)格為120元.在滿(mǎn)足需要的條件下，最少要花費(fèi)　　　元. 【解析】500.設(shè)需35千克的x袋，24千克的y袋，則目標(biāo)函數(shù)z＝140x＋120y，約束條件為當(dāng)x＝1時(shí)，y≥，即y＝3，這時(shí)zmin＝140＋1203＝500. 總結(jié)提高 1.用圖解法解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵. 2.可行域是二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，可行域可以是封閉的多邊形，亦可是一側(cè)開(kāi)放的無(wú)限大的平面區(qū)域. 3.若可行域是一個(gè)多邊形

21、，那么一般在頂點(diǎn)處，使目標(biāo)函數(shù)值取得最值，最優(yōu)解一般是多邊形的某個(gè)頂點(diǎn). 4.實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)解要求是整數(shù)解時(shí)，這時(shí)要對(duì)最優(yōu)解(非整數(shù)解)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，其方法是在邊界直線(xiàn)的附近尋求與目標(biāo)函數(shù)直線(xiàn)距離最近的整點(diǎn)，而不要在最優(yōu)解的附近尋找. 　7.4　基本不等式及應(yīng)用 典例精析 題型一　利用基本不等式比較大小 【例1】(1)設(shè)x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，則(　　) A.x＋y≥2(＋1) B.x＋y≤2(＋1) C.x＋y≤2(＋1)2 D.x＋y≥(＋1)2 (2)已知a，b∈R＋，則，，，的大小順序是　　　　　　　　　. 【

22、解析】(1)選A.由已知得xy＝1＋(x＋y)，又xy≤()2，所以()2≥1＋(x＋y). 解得x＋y≥2(＋1)或x＋y≤2(1－). 因?yàn)閤＋y＞0，所以x＋y≥2(＋1). (2)由≥有a＋b≥2，即a＋b≥，所以≥. 又＝≤，所以≥， 所以≥≥≥. 【點(diǎn)撥】本題(2)中的結(jié)論由基本不等式簡(jiǎn)單推導(dǎo)而來(lái)，可作為結(jié)論使用. 【變式訓(xùn)練1】設(shè)a＞b＞c，不等式＋＞恒成立，則λ的取值范圍是　　　　. 【解析】(－∞，4).因?yàn)閍＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0. 而(a－c)(＋)＝[(a－b)＋(b－c)](＋)≥4，所以λ＜4. 題型二　利用基本不等式

23、求最值 【例2】(1)已知x＜，則函數(shù)y＝4x－2＋的最大值為　　　?。? (2)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)數(shù)f′(x)，f′(0)＞0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(x)≥0，則的最小值為(　　) A.3 B. C.2 D. 【解析】(1)因?yàn)閤＜，所以5－4x＞0. 所以y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立. 所以x＝1時(shí)，ymax＝1. (2)選C.因?yàn)閒(x)≥0，所以 所以c≥.又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＞0， ＝＝1＋≥1＋≥1＋＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)c＝

24、且4a2＝b2時(shí)等號(hào)成立. 【點(diǎn)撥】應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，常見(jiàn)的技巧是“拆或湊”，同時(shí)注意“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤. 【變式訓(xùn)練2】已知x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，求的取值范圍. 【解析】由等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)得a＋b＝x＋y， cd＝xy，所以＝＝2＋＋， 當(dāng)＞0時(shí)，≥4；當(dāng)＜0時(shí)，≤0， 故的取值范圍是(－∞，0]∪[4，＋∞). 題型三　應(yīng)用基本不等式解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 【例3】某食品廠(chǎng)定期購(gòu)買(mǎi)面粉，已知該廠(chǎng)每天需用面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1 800元，面粉的保管等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購(gòu)面粉每次需支付運(yùn)費(fèi)900元.

25、 (1)求該廠(chǎng)多少天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少(所購(gòu)面粉第二天才能使用)； (2)若提供面粉的公司規(guī)定：當(dāng)一次購(gòu)買(mǎi)面粉不少于210噸時(shí)，其價(jià)格可享受9折優(yōu)惠(即原價(jià)的90%)，問(wèn)該廠(chǎng)是否可以利用此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】(1)設(shè)該廠(chǎng)x天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，其購(gòu)買(mǎi)量為6x噸，面粉的保管等其他費(fèi)用為3[6x＋6(x－1)＋…＋62＋61]＝9x(x＋1). 設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y1，則 y1＝[9x(x＋1)＋900]＋61 800＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989， 當(dāng)且僅當(dāng)9x＝，即x＝10時(shí)，取等號(hào). 即該廠(chǎng)應(yīng)10天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，

26、才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少. (2)若廠(chǎng)家利用此優(yōu)惠條件，則至少應(yīng)35天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，設(shè)該廠(chǎng)利用此優(yōu)惠條件后，每x(x≥35)天購(gòu)買(mǎi)一次面粉，平均每天支付的總費(fèi)用為y2，則 y2＝[9x(x＋1)＋900]＋61 8000.9＝＋9x＋9 729(x≥35). 因?yàn)閥2′＝9－，當(dāng)x≥35時(shí)，y2′＞0. 所以y2＝＋9x＋9 729在[35，＋∞)上是增函數(shù). 所以x＝35時(shí)，y2取最小值. 由＜10 989知，該廠(chǎng)可以利用此優(yōu)惠條件. 【點(diǎn)撥】解決這類(lèi)應(yīng)用題，首先要依題意構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃问顾玫降哪Ｐ头匣静坏仁降慕Y(jié)構(gòu)，再求最值.當(dāng)?shù)忍?hào)不能成立時(shí)

27、，常利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)處理. 【變式訓(xùn)練3】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值. 【解析】因?yàn)閍＞0，b＞0,2a＋b＝1， 所以4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab， 且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤. 所以S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時(shí)，等號(hào)成立. 總結(jié)提高 1.基本不等式的幾種常見(jiàn)變形公式： ab≤()2≤(a，b∈R)； ≤≤≤(a＞0，b＞0). 注意不等式成立的條件及等號(hào)成立的條件. 2.合理拆分或配湊因子是常用的技巧，配、湊的目的在于使幾個(gè)數(shù)的積為定值或和為定值

28、，且等號(hào)能夠成立. 3.多次使用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意等號(hào)能否同時(shí)成立. 7.5　不等式的綜合應(yīng)用 典例精析 題型一　含參數(shù)的不等式問(wèn)題 【例1】若不等式組的解集中所含整數(shù)解只有－2，求k的取值范圍. 【解析】由x2－x－2＞0有x＜－1或x＞2， 由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0. 因?yàn)椋?是原不等式組的解，所以k＜2. 由(2x＋5)(x＋k)＜0有－＜x＜－k. 因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解只有－2，所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2， 故k的取值范圍是[－3,2). 【點(diǎn)撥】涉及到含參數(shù)的不等式解集的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，借助數(shù)軸分

29、析，往往直觀(guān)、簡(jiǎn)潔. 【變式訓(xùn)練1】不等式(－1)na＜2＋對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解析】當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，－a＜2＋，即a＞－(2＋). 而－(2＋)＜－2，則a≥－2； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a＜2－，而2－≥2－＝，所以a＜. 綜上可得－2≤a＜. 【點(diǎn)撥】不等式中出現(xiàn)了(－1)n的時(shí)候，常常分n為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論. 題型二　不等式在函數(shù)中的應(yīng)用 【例2】已知函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù). (1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A； (2)設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程f(x)＝的兩個(gè)相異實(shí)根，若對(duì)任意a∈A及t∈[－1,1]，不等式m2＋tm＋1≥|

30、x1－x2|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】(1)f′(x)＝， 因?yàn)閒(x)在[－1,1]上是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f′(x)≥0恒成立， 令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立. 所以A＝{a|－1≤a≤1}. (2)由f(x)＝得x2－ax－2＝0. 設(shè)x1，x2是方程x2－ax－2＝0的兩個(gè)根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2. 從而|x1－x2|＝＝， 因?yàn)閍∈[－1,1]，所以≤3，即|x1－x2|max＝3. 不等式對(duì)任意a∈A及t∈[－1,1]不等式恒成立，即m2＋tm－2≥0恒成立. 設(shè)g(t)＝m2＋tm－2＝mt

31、＋m2－2，則 解得m≥2或m≤－2. 故m的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞). 【點(diǎn)撥】對(duì)于在給定區(qū)間上恒成立的不等式問(wèn)題，通常可以轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間上的函數(shù)最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分離變量或者利用數(shù)形結(jié)合的方法，分離變量和數(shù)形結(jié)合更加簡(jiǎn)單明了. 【變式訓(xùn)練2】設(shè)a，b＞0，且ab＝1，不等式＋≤λ恒成立，則λ的取值范圍是　　　　. 【解析】[1，＋∞).因?yàn)閍b＝1，所以＋＝≤＝1，所以λ≥1. 題型三　不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 【例3】某森林出現(xiàn)火災(zāi)，火勢(shì)正以100 m2/分鐘的速度順風(fēng)蔓延，消防站接到報(bào)警立即派消防隊(duì)員前去，在火災(zāi)發(fā)生后5分鐘到達(dá)救

32、火現(xiàn)場(chǎng)，已知消防隊(duì)員在現(xiàn)場(chǎng)平均每人滅火 50 m2/分鐘，所消耗的滅火材料，勞務(wù)津貼等費(fèi)用為人均125元/分鐘，另附加每次救火所耗損的車(chē)輛，器械和裝備等費(fèi)用人均100元，而燒毀森林的損失費(fèi)60元/m2，問(wèn)應(yīng)該派多少消防隊(duì)員前去救火才能使總損失最少？ 【解析】設(shè)派x名消防隊(duì)員前去救火，用t分鐘將火撲滅，總損失為y，則 t＝＝， y＝滅火勞務(wù)津貼＋車(chē)輛、器械裝備費(fèi)＋森林損失費(fèi) ＝125xt＋100x＋60(500＋100t) ＝125x＋100x＋30 000＋ ＝100(x－2)＋＋31 450 ≥2＋31 450＝36 450， 當(dāng)且僅當(dāng)100(x－2)＝，即x＝27時(shí)，y有

33、最小值36 450，故應(yīng)派27人前去救火才能使總損失最少，最少損失36 450元. 【點(diǎn)撥】本題需要把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是歷年高考考查的重要內(nèi)容. 【變式訓(xùn)練3】某學(xué)校擬建一塊周長(zhǎng)為400 m的操場(chǎng)，如圖所示，操場(chǎng)的兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大，試問(wèn)如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)和寬？ 【解析】設(shè)中間矩形區(qū)域的長(zhǎng)，寬分別為x m，y m，中間的矩形區(qū)域面積為S， 則半圓的周長(zhǎng)為， 因?yàn)椴賵?chǎng)周長(zhǎng)為400，所以2x＋2＝400， 即2x＋πy＝400(0＜x＜200,0＜y＜)， 所以

34、S＝xy＝(2x)(πy)≤2＝， 由解得 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 即把矩形的長(zhǎng)和寬分別設(shè)計(jì)為100 m和m時(shí)，矩形區(qū)域面積最大. 總結(jié)提高 1.不等式應(yīng)用大致可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是建立不等式求參數(shù)的取值范圍，或解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；另一類(lèi)是建立函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式求最值問(wèn)題. 不等式的綜合題主要是不等式與函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、三角函數(shù)等知識(shí)的綜合.解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是找出綜合題的各部分知識(shí)及聯(lián)系，充分利用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法解題. 2.建立不等式的主要途徑有：利用基本不等式；利用問(wèn)題的幾何意義；利用判別式；利用函數(shù)的有界性；利用函數(shù)的單調(diào)性等. 3.解答不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題一般分四步，即審題、建模、求解、檢驗(yàn).