萬變不離其宗：高中數(shù)學課本典例改編之必修二、三：專題三 直線與圓的方程 Word版含解析

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1、 一、題之源：課本基礎知識 1．直線的傾斜角 (1)定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角．當直線與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0°． (2)傾斜角的范圍為[0,π)． 2．直線的斜率 (1)定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k＝tan α,傾斜角是90°的直線沒有斜率． (2)過兩點的直線的斜率公式： 經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝＝. 3．直線方程 名稱 幾何條件 方程 局限性 點斜式 過點(x0,y0),斜率為k

2、y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x軸的直線 斜截式 斜率為k,縱截距為b y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點式 過兩點(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2) ＝ 不包括垂直于坐標軸的直線 截距式 在x軸、y軸上的截距分別為a,b(a,b≠0) ＋＝1 不包括垂直于坐標軸和過原點的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0(A,B不全為0) 4.兩直線的平行、垂直與其斜率的關系 條件 兩直線位置關系 斜率的關系 兩條不重合的直線l1,l2,斜率分別為k1, k2 平行 k1＝k2 k1與k2都不存在 垂直 k1k

3、2＝－1 k1與k2一個為零、另一個不存在 5.兩條直線的交點 6．三種距離 點點距 點P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離 |P1P2|＝ 點線距 點P0(x0,y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 線線距 兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 7．圓的定義及方程 定義 平面內與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡) 標準方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心：(a,b),半徑：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圓心：(－,－), 半徑

4、： 8.點與圓的位置關系 點M (x0,y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系： (1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2． (2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2． (3)若M(x0,y0)在圓內,則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2． 9．直線與圓的位置關系 設直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0), 圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0), d為圓心(a,b)到直線l的距離,聯(lián)立直線和圓的方程,消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ. 方法 位置關系 幾何法 代數(shù)

5、法 相交 d<r Δ>0 相切 d＝r Δ＝0 相離 d>r Δ<0 10.圓與圓的位置關系 設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0), 圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0). 方法 位置關系 幾何法：圓心距d與r1,r2的關系 代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況 外離 d>r1＋r2 無解 外切 d＝r1＋r2 一組實數(shù)解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 兩組不同的實數(shù)解 內切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一組實數(shù)解 內含

6、0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 無解 二、題之本：思想方法技巧 1.直線的傾斜角和斜率的關系,可借助k＝tanα的圖象(如圖)來解決.這里,α∈[0,π),k的范圍是兩個不連續(xù)的區(qū)間.在求直線方程時,若不能確定直線的斜率是否存在,則應對斜率存在或不存在分類進行討論. 2.直線在坐標軸上的截距是直線與坐標軸的交點的坐標,它不是距離. 直線在坐標軸上的截矩可正,可負,也可為0,直線在兩坐標軸上的截距相等,直線方程可以理解為,但不要忘記當a=0時,直線y=kx在兩條坐標軸上的截距都是0,也是截距相等. 3.在解決直線與坐標軸圍成的直角三角形的面積、周長等問題時,應用截距式方

7、程比較簡單. 4. 直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一般式．注意各種形式的局限性,如點斜式不適用于斜率不存在的直線,所以設方程的點斜式或斜截式時,就應該先考慮斜率不存在的情形.例如：一條直線經(jīng)過點,且被圓截得的弦長為8,求此弦所在直線的方程.該題就要注意,不要漏掉x+3=0這一解.） 5.求直線方程的方法主要有以下兩種： (1)直接法：根據(jù)已知條件,選擇適當?shù)闹本€方程形式,求出直線方程； (2)待定系數(shù)法：先設出直線方程,再根據(jù)已知條件求出待定系數(shù),從而寫出直線方程. 6..無論是判斷兩條直線平行還是垂直,都是從兩方面來討論的,即兩條直線斜率都存在的情況和兩條直線

8、至少有一條斜率不存在的情況. 7.兩條直線平行或垂直時求直線方程中的參數(shù),需分類討論及數(shù)形結合. 8..如果能推導出用直線方程一般式表示的兩條直線平行、重合或垂直的條件(一般式系數(shù)之間的關系),并記住結論,往往會使問題更易于解決. 9.求兩條直線交點坐標的方法就是解方程組,利用解方程組也可以判斷兩條直線的位置關系,即將幾何問題轉化為代數(shù)問題. 10..運用公式d＝求兩平行直線間的距離時,一定要將兩條直線方程中x,y的系數(shù)化成相等的系數(shù),求兩平行直線間的距離也可化歸為點到直線的距離,即在一條直線上任取一點,求該點到另一條直線的距離即為兩平行直線間的距離.這一方法體現(xiàn)了化歸思想的應用.

9、11.點(x0,y0)到直線y＝kx＋b(即y－kx－b＝0)的距離公式d＝記憶容易,對于知d求k,b很方便. 12.對稱主要分為中心對稱和軸對稱兩種,中心對稱僅用中點坐標公式即可,軸對稱因對稱點連線的中垂線就是對稱軸,所以根據(jù)線段的中點坐標公式和兩條直線垂直的條件即可解決. 13. 注意應用圓的幾何性質解題 圓的圖形優(yōu)美,定理、性質豐富,在學此節(jié)時,重溫圓的幾何性質很有必要,因為使用幾何性質,能簡化代數(shù)運算的過程,拓展解題思路. 14.圓的方程的確定 15由圓的標準方程和圓的一般方程,可以看出方程中都含有三個參變數(shù),因此必須具備三個獨立的條件,才能確定一個圓,求圓的方程時,若能根據(jù)

10、已知條件找出圓心和半徑,則可用直接法寫出圓的標準方程,否則可用待定系數(shù)法. 16.求圓的方程的方法 (1)幾何法：即通過研究圓的性質,以及點和圓、直線和圓、圓和圓的位置關系,求得圓的基本量(圓心坐標和半徑長),進而求得圓的方程. (2)代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程,其一般步驟是：①根據(jù)題意選擇方程的形式；②利用條件列出關于a,b,r或D,E,F的方程組；③解②中的方程組,求得a,b,r或D,E,F的對應值,代入圓的標準方程或一般方程. 17.在解決直線和圓的位置關系問題時,一定要聯(lián)系圓的幾何性質,利用有關圖形的幾何特征以簡化運算；討論直線與圓的位置關系時,一般不討論Δ>0

11、,Δ＝0,Δ<0,而用圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的關系,即d<r,d＝r,d>r,分別確定相交、相切、相離. 18.要特別注意利用圓的性質,如“垂直于弦的直徑必平分弦”,“圓的切線垂直于過切點的半徑”,“兩圓相切時,切點與兩圓圓心三點共線”等等.可以說,適時運用圓的幾何性質,將明顯減少代數(shù)運算量,請同學們切記. 19.涉及圓的切線時,要考慮過切點與切線垂直的半徑,過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一點M(x0,y0)引圓的切線,T為切點,切線長公式為＝. 20.計算弦長時,要利用半徑、弦心距(圓心到弦所在直線的距離)、半弦長構成的直角三角形.當然,不失一般性,

12、圓錐曲線的弦長公式＝(A(x1,y1),B(x2,y2)為弦的兩個端點)也應重視. 21.已知 ⊙O1：x2＋y2＝r2； ⊙O2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ⊙O3：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 若點M(x0,y0)在圓上,則過M的切線方程分別為 x0x＋y0y＝r2； (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2； x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0. 若點M(x0,y0)在圓外,過點M引圓的兩條切線,切點為M1,M2,則切點弦(兩切點的連線段)所在直線的方程分別為 x0x＋y0y＝r2； (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y

13、0－b)＝r2； x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0. 圓x2＋y2＝r2的斜率為k的兩條切線方程分別為y＝kx±r.掌握這些結論,對解題很有幫助. 22.研究兩圓的位置關系時,要靈活運用平面幾何法、坐標法.兩圓相交時可由兩圓的方程消去二次項求得兩圓公共弦所在的直線方程. 23.對涉及過直線與圓、圓與圓的交點的圓的問題,可考慮利用過交點的圓系方程解決問題,它在運算上往往比較簡便. 24.平面上到兩定點距離的比為定值(>0且1)的點的軌跡是圓. 25.兩圓相交所得公共弦方程是兩圓方程相減消去二次項所得.x0x+y0y=r2 表示過圓x2+y2=r2

14、上一點（x0,y0）的切線,若點（x0,y0）在已知圓外,x0x+y0y=r2 表示什么？（切點弦） 三、題之變：課本典例改編 1.原題（必修2第132頁習題4.2 A組第三題）求以為圓心,并且與直線相切的圓的方程. 改編1 （2006年重慶卷）過坐標原點且與圓相切的直線的方程為（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】A. 【解析】設直線方程為,即.∵圓方程可化為,∴圓心為（2,-1）,半徑為.依題意有,解得或,∴直線方程為或,故選（A）. 改編2 （2006年湖北卷）已知直線與圓相切,則的值為 . 【解析】∵圓的圓心為（1,0）,半

15、徑為1,∴,解得或. 改編3 求經(jīng)過點,且與直線和都相切的圓的方程. 2.原題（必修2第132頁練習第三題）某圓拱橋的水面跨度20,拱高4.現(xiàn)有一船寬10,水面以上高3,這條船能否從橋下通過？ 改編 某圓拱橋的水面跨度是20,拱高為4.現(xiàn)有一船寬9,在水面以上部分高3,故通行無阻.近日水位暴漲了1.5,為此,必須加重船載,降低船身.當船身至少應降低 時,船才能通過橋洞.（結果精確到0.01）. 【解析】建立直角坐標系,設圓拱所在圓的方程為. ∵圓經(jīng)過點（10,0）,（0,4）,∴,解得. ∴圓的方程是. 令,得. 故當水位暴漲1.5后,船身至少應降低,船才

16、能通過橋洞. 3.原題（必修2第133頁習題4.2A組第九題）求圓與圓的公共弦的長. 改編 兩圓C1 ：x2+ y2-1=0和C2：x2+ y2-8x+12=0的公切線長為_______. 【解析】 C1 ：x2+ y2=1,C2：（x-4）2+ y2 = 4, |C1 C2|=4 圖（1）：|AB|==；圖（2）：|AB|==,即公切線長和. 4.原題（必修2第133頁習題4.2B組第2題）已知點,點在圓上運動,求的最大值和最小值. 改編1 已知點,點坐標滿足,求的最大值和最小值. 改編2 已知,,點在圓上運動,則的最小值是 . 【解析】設,則

17、.設圓心為,則,∴的最小值為. 5.原題（必修2第133頁習題4.2B組第3題）已知圓x2+y2=4,直線l: y=x+b.當b為何值時,圓x2+y2=4上恰有3個點到直線的距離都等于1. 改編 已知圓x2+y2=4, 直線l: y=x+b. 圓上至少有三個點到直線l的距離都是1,則b 的取值范圍是_____. 【解析】 6.原題（必修2第144頁復習參考題B組第2題）已知點與兩個定點,距離的比是一個正數(shù),求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形（考慮和兩種情形）. 改編1 已知兩定點,,如果動點滿足,則點的軌跡所包圍的面積等于（ ） A.

18、 B. C. D. 【答案】B. 【解析】設點的坐標是.由,得,化簡得 ,∴點的軌跡是以（2,0）為圓心,2為半徑的圓,∴所求面積為,故選B. 改編2 由動點向圓引兩條切線、,切點分別為、,=600,則動點的軌跡方程是 . 改編3 （2006年四川卷）已知兩定點,,如果動點滿足,則點的軌跡所包圍的面積等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】設點的坐標是.由,得,化簡得 ,∴點的軌跡是以（2,0）為圓心,2為半徑的圓,∴所求面積為,故選（B）. 改編4（2003年北京春季卷）設為兩定點,動點到點的距離與到點的距離的比為定值,求點的軌跡. 7.原題（必修2第144頁復習參考題B組第3題）求由曲線圍成的圖形的面積. 改編 由曲線圍成的圖形的面積為_______. 【解析】圍成的圖形如圖,面積為.