上海市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題突破訓(xùn)練 數(shù)列 理

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1、上海市2016屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練 數(shù)列 一、填空、選擇題 1、（2015年上海高考）記方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正實數(shù)．當(dāng)a1，a2，a3成等比數(shù)列時，下列選項中，能推出方程③無實根的是（　　） 　 A．方程①有實根，且②有實根 B． 方程①有實根，且②無實根 　 C．方程①無實根，且②有實根 D． 方程①無實根，且②無實根 2、（2014年上海高考）設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，若，則 . 3、（2013年上海高考）設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機(jī)變量等可能地

2、取值，則方差 4、（靜安、青浦、寶山區(qū)2015屆高三二模）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，若，，且，則 5、（閔行區(qū)2015屆高三二模）已知數(shù)列滿足，則使不等式成立的所有正整數(shù)的集合為 6、（浦東新區(qū)2015屆高三二模）已知數(shù)列的前項和，則該數(shù)列的通項公式 . 7、（徐匯、松江、金山區(qū)2015屆高三二模）已知函數(shù)，各項均不相等的數(shù)列滿足．令．給出下列三個命題： (1)存在不少于3項的數(shù)列，使得； (2)若數(shù)列的通項公式為，則對恒成立； (3)若數(shù)列是等差數(shù)列，則對恒成立． 其中真命題的序號是（ ） （A）(1)(2)

3、 （B）(1)(3) （C） (2)(3) （D）(1)(2)(3) 8、（長寧、嘉定區(qū)2015屆高三二模）設(shè)等差數(shù)列滿足，，的前項和的最大值為，則=__________ 9、（虹口區(qū)2015屆高三上期末）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，若成等差數(shù)列，則 10、（金山區(qū)2015屆高三上期末）等差數(shù)列{an}中，a2=8，S10=185，則數(shù)列{an}的通項公式an= ▲ (nÎN*)． 11、（靜安區(qū)2015屆高三上期末）已知數(shù)列的通項公式（其中），則該數(shù)列的前項和 12、（青浦區(qū)2015屆高三上期末）設(shè)是等差數(shù)

4、列的前項和，若，則 13、（徐匯區(qū)2015屆高三上期末）設(shè)數(shù)列的前項和為，若，，則的通項公式為 14、（黃浦區(qū)2015屆高三4月模擬考試（二模））在等差數(shù)列中，若，，則正整數(shù) 　　　　　　 15、（）把正整數(shù)排列成如圖的三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的所有奇數(shù)、第奇數(shù)行中的所有偶數(shù)，可得到如圖的三角形數(shù)陣，現(xiàn)將圖中的正整數(shù)按從小到大的順序構(gòu)成一個數(shù)列，若，則 1 1 2 3 4

5、 2 4 5 6 7 8 9 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

6、 26 28 30 32 34 36 二、解答題 1、（2015年上海高考）已知數(shù)列{an}與{bn}滿足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*． （1）若bn=3n+5，且a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設(shè){an}的第n0項是最大項，即a≥an（n∈N*），求證：數(shù)列{bn}的第n0項是最大項； （3）設(shè)a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范圍，使得{an}有最大值M與最

7、小值m，且∈（﹣2，2）． 2、（2014年上海高考） 已知數(shù)列滿足，，. (1) 若，求的取值范圍； (2) 設(shè)是公比為的等比數(shù)列，. 若，，求的取值范圍； (3) 若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時相應(yīng)數(shù)列的公差. 3、（2013年上海高考）給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足. （1）若，求及；（2）求證：對任意，； （3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由. 4、（靜安、青浦、寶山區(qū)2015屆高三二模）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，若中任意兩項之積仍是該數(shù)列中的項，那么稱是封閉數(shù)列. （1）若，判斷是否

8、為封閉數(shù)列，并說明理由； （2）證明為封閉數(shù)列的充要條件是：存在整數(shù)，使； （3）記是數(shù)列的前項之積，，若首項為正整數(shù)，公比，試問：是否存在這樣的封閉數(shù)列，使，若存在，求的通項公式；若不存在，說明理由． 5、（閔行區(qū)2015屆高三二模）各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都有． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）如果等比數(shù)列共有項，其首項與公比均為，在數(shù)列的每相鄰兩項與之間插入個后，得到一個新的數(shù)列．求數(shù)列中所有項的和； （3）如果存在，使不等式 成立，求實數(shù)的范圍． 6、（浦東新區(qū)2015屆高三二模）記無窮數(shù)列的前項的最大項為，第項之后的各項的最小項為，令．

9、 （1）若數(shù)列的通項公式為，寫出，并求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列的通項公式為，判斷是否等差數(shù)列，若是，求出公差；若不是，請說明理由； （3）若為公差大于零的等差數(shù)列，求證：是等差數(shù)列. 7、（普陀區(qū)2015屆高三二模）已知數(shù)列的前項和為，且， （1）若，求數(shù)列的前項和； （2）若，，求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出其通項公式； （3）記，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 8、（長寧、嘉定區(qū)2015屆高三二模）已知數(shù)列中，，，的前項和為，且滿足（）． （1）試求數(shù)列的通項公式； （2）令，是數(shù)列的前項和，證明：； （3）

10、證明：對任意給定的，均存在，使得當(dāng)時，（2）中的恒成立． 9、（寶山區(qū)2015高三上期末）設(shè)數(shù)列的首項為常數(shù)，且． （1）證明：是等比數(shù)列； （2）若，中是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，寫出這三項，若不存在說明理由． （3）若是遞增數(shù)列，求的取值范圍． 10、（崇明縣2015高三上期末）已知等差數(shù)列滿足. （1）求的通項公式； （2）若，數(shù)列滿足關(guān)系式，求數(shù)列的通項公式； （3）設(shè)（2）中的數(shù)列的前項和，對任意的正整數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 11、（奉賢區(qū)2015高三上期末）為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會效益和經(jīng)濟(jì)效益，某市計劃用若干年時間更換一萬輛燃油

11、型公交車。每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動力型車。今年初投入了電力型公交車輛，混合動力型公交車輛，計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加，混合動力型車每年比上一年多投入輛．設(shè)、分別為第年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量，設(shè)、分別為年里投入的電力型公交車、混合動力型公交車的總數(shù)量。 （1）求、，并求年里投入的所有新公交車的總數(shù)； （2）該市計劃用年的時間完成全部更換，求的最小值． 12、（奉賢區(qū)2015高三上期末）對于正項數(shù)列，若對一切恒成立，則對也恒成立是真命題． （1）若，，且，求證：數(shù)列前項和； （2）若，，求證：．

12、 13、（虹口區(qū)2015高三上期末）已知各項均不為零的數(shù)列的前項和為，且，其中. （1）求證：成等差數(shù)列； （2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （3）設(shè)數(shù)列滿足，且為其前項和，求證：對任意正整數(shù)，不等式恒成立. 14、（上海市八校2015屆高三3月聯(lián)考）在數(shù)列中，。 （1）若數(shù)列滿足，求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）設(shè)，記 ，求使的最小正整數(shù)的值。 15、（黃浦區(qū)2015屆高三4月模擬考試（二模））已知數(shù)列滿足，對任意都有． (1)求數(shù)列()的遞推公式； (2)數(shù)列滿足()，求通項公式； (3)設(shè)，問是否存在實數(shù)使得

13、數(shù)列()是單調(diào)遞增數(shù)列？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明你的理由． 參考答案 一、填空、選擇題 1、 解：當(dāng)方程①有實根，且②無實根時，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0， 即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比數(shù)列，∴a22=a1a3， 即a3=，則a32=（）2=， 即方程③的判別式△3=a32﹣16＜0，此時方程③無實根， 故選：B 2、【解析】：，∵，∴ 3、【解答】，． 4、　　　5、　　6、　　7、D　　8、2 9、－2　 10、3n+2 　11、　 12、6　　　13

14、、 14、14　　 15、1030 二、解答題 1、（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5， ∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6， ∴{an}是等差數(shù)列，首項為a1=1，公差為6， 則an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5； （2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1 =2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1 =2bn+a1﹣2b1， ∴， ∴． ∴數(shù)列{bn}的第n0項是最大項； （3）由（2）可得， ①當(dāng)﹣1＜λ＜0

15、時，單調(diào)遞減，有最大值； 單調(diào)遞增，有最小值m=a1=λ， ∴∈（﹣2，2），∴λ∈， ∴． ②當(dāng)λ=﹣1時，a2n=3，a2n﹣1=﹣1， ∴M=3，m=﹣1， （﹣2，2），不滿足條件． ③當(dāng)λ＜﹣1時，當(dāng)n→+∞時，a2n→+∞，無最大值； 當(dāng)n→+∞時，a2n﹣1→﹣∞，無最小值． 綜上所述，λ∈（﹣，0）時滿足條件． 2、【解析】：（1）依題意，，∴，又，∴， 綜上可得； （2）由已知得，又，∴ 當(dāng)時，，，即，成立 當(dāng)時，，，即， ∴，此不等式即，∵，

16、 ∴， 對于不等式，令，得，解得， 又當(dāng)時，， ∴成立， ∴ 當(dāng)時，，，即， 即， ∵ ∴時，不等式恒成立 綜上，的取值范圍為 （3）設(shè)公差為，顯然，當(dāng)時，是一組符合題意的解， ∴，則由已知得， ∴，當(dāng)時，不等式即， ∴，， ∴時，， 解得，∴， ∴的最大值為，此時公差 3、【解答】：（1）因為，，故， （2）要證明原命題，只需證明對任意都成立， 即只需證明 若，顯然有成立； 若，則顯然成立 綜上，恒成立，即對任意的， （3）由（2）知，若為等差數(shù)列，則公差，故n無限增大時，總有 此時， 即

17、 故， 即， 當(dāng)時，等式成立，且時，，此時為等差數(shù)列，滿足題意； 若，則， 此時，也滿足題意； 綜上，滿足題意的的取值范圍是． 4、解：（1）不是封閉數(shù)列，因為，…………………………………… 1分 對任意的，有，…………………………………… 2分 若存在，使得，即，，該式左邊為整數(shù)，右邊是無理數(shù)，矛盾．所以該數(shù)列不是封閉數(shù)列…………………………………… 4分 （2）證明：（必要性）任取等比數(shù)列的兩項，若存在使，則，解得.故存在，使，…… 6分 下面證明整數(shù)． 對，若，則取，對，存在使， 即，，所以，矛盾， 故存在整數(shù)，使．…………………………………… 8分 （充分性

18、）若存在整數(shù)，使，則， 對任意，因為， 所以是封閉數(shù)列. …………………………………… 10分 （3）由于，所以，……………11分 因為是封閉數(shù)列且為正整數(shù),所以，存在整數(shù)，使， 若，則，此時不存在．所以沒有意義…12分 若，則，所以，………………… 13分 若，則，于是， 所以，…………………………………… 16分 若，則，于是， 所以，…………………………………… 17分 綜上討論可知：，，該數(shù)列是封閉數(shù)列．……… 18分 5、[解] （1）（文理）當(dāng)時，由得 …………1分 當(dāng)時，由，得 因數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以 ………………………………3分

19、所以數(shù)列是首相與公差均為等差數(shù)列 所以數(shù)列的通項公式為． ………………………………4分 （2）（理）數(shù)列的通項公式為 ……………………5分 當(dāng)時，數(shù)列共有 項，其所有項的和為 ………………………………8分 當(dāng)時，數(shù)列共有 項，其所有項的和為 ……………………………11分 （文）數(shù)列的通項公式為 …………………………5分 數(shù)列中一共有 項，其所有項的和為 ……8分 ……………………………11分

20、（3）（理）由得 ……………………………13分 記 由 遞減（或）………………………15分 得 ， 所以實數(shù)的范圍為,即． ……………………………18分 (文) 由得 ……………………………13分 記 因為，當(dāng)取等號，所以取不到 當(dāng)時，的最小值為 （）遞減，的最大值為…………15分 所以如果存在，使不等式 成立 實數(shù)應(yīng)滿足，即實數(shù)的范圍應(yīng)為．………………………18分 6、解：（1）因為數(shù)列從第2項起單調(diào)遞增，， 所以；； ………………………2分 當(dāng)時， ……………………………………………………4

21、分 （2）數(shù)列的通項公式為，遞減且. 由定義知， ……………………………………………………6分 ，數(shù)列遞增，即………………8分 …………………………………………………10分 （3）①先證數(shù)列遞增，利用反證法證明如下： 假設(shè)是中第一個使的項， ，……………………………………………………12分 與數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列矛盾. 故數(shù)列遞增.……………………………………………………………………14分 ② 已證數(shù)列遞增，即， ；，………………………………………………………………16分 設(shè)若的公差為，則 故是等差數(shù)列.………………………………………

22、………………18分 7、解：（1） (2)由 代入 得，當(dāng)時，， 因為，代入上式整理得， 所以的常數(shù). 當(dāng)時， 所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項為 ，公比為，其通項公式為 （3）由（2）得，它是個單調(diào)遞減的數(shù)列， 所以 對任意的，恒成立，所以. 由知， 所以數(shù)列是單調(diào)遞增的，最小值為， 因此，實數(shù)的取值范圍是. 8、（1）由（），得（）， 所以（）， 即（） ……………………（2分） 又，所以 ． ……………………（4分） （2），………………（2分） 所以， ． …………………………………………………………（5分）

23、 所以，． （3）由（2），，因為，所以隨著的增大而增大． ………………………………………………（1分） 若，則，化簡得， …………（2分） 因為，所以，所以， ， ……………………………………（4分） 當(dāng)，即時，取即可． …………（5分） 當(dāng)，即時，記的整數(shù)部分為， 取即可． ……………………………………………………………（7分） 綜上可知，對任意給定的，均存在，使得當(dāng)時，（2）中的恒成立． ……………………………………（8分） 9、證明：（1）因為，所以數(shù)列是等比數(shù)列；……3分 （2）是公比為－2

24、，首項為的等比數(shù)列． 通項公式為， …………………4分 若中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列，則必有， 即 解得，即成等差數(shù)列． ………………………………………7分 （3）如果成立，即對任意自然數(shù)均成立． 化簡得 …………………………………………9分 當(dāng)為偶數(shù)時, 因為是遞減數(shù)列，所以， 即； ……………………………………………………………10分 當(dāng)為奇數(shù)時，,因為是遞增數(shù)列， 所以，即；………………………………………11分 故的取值范圍為． …………………………………………………12分 10、解：（1）等差數(shù)列滿足 得 所以， （2） 由上時，

25、 由于當(dāng)時，，所以 （3）由 得對一切恒成立， 由于為減函數(shù)，所以，取值范圍是。 11、（1）設(shè)、分別為第年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量， 依題意知，數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列； 1分 數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列， 2分 所以數(shù)列的前和， 4分 數(shù)列的前項和， 6分 所以經(jīng)過年，該市更換的公交車總數(shù) ； 7分 （2）因為、是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)， 9分 因此是關(guān)于的

26、單調(diào)遞增函數(shù)， 10分 所以滿足的最小值應(yīng)該是， 11分 即，解得， 12分 又，所以的最小值為147． 13分 12、（1）， 2分 ， 4分 ， 6分 ；

27、 7分 (2)， 10分 ， 11分 ， 12分 13分 。 14分 13、（1）解

28、： ①； ②；①－②得，得證； （2）解：由，得，結(jié)合第（1）問結(jié)論，即可得是等差數(shù)列； （3）解：根據(jù)題意，，； 要證，即證； 當(dāng)時，成立； 假設(shè)當(dāng)時，成立； 當(dāng)時，； 要證，即證，展開后顯然成立， 所以對任意正整數(shù)，不等式恒成立； 14、（1）因為，所以，代入得 ------2分 化簡得： ------4分 又

29、 ------5分 所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列。 -------6分 （2）由（1）得，所以 ------8分 由，得 -------9分 ------10分 所以 。 -------12分 若，則，即，得 所

30、以滿足條件的最小正整數(shù)等于。 -------14分 15、解(1) 對任意都有成立， ∴令，得． ∴數(shù)列()的遞推公式是 (2)由(1)可知，數(shù)列()是首項和公比都為的等比數(shù)列，于是．　 由()，得 ()． 故． 當(dāng)時，． 所以

31、 (3) ∵， ∴當(dāng)時，， 　　　　　　　， 依據(jù)題意，有，即． 當(dāng)為大于或等于4的偶數(shù)時，有 恒成立，又 隨增大而增大，則 ，故的取值范圍為； 當(dāng)為大于或等于3的奇數(shù)時，有恒成立，故的取值范圍為； 當(dāng)時，由，得． 　　綜上可得，所求的取值范圍是．