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1、【導與練】（新課標）2016屆高三數(shù)學一輪復習 第8篇 第4節(jié) 雙曲線課時訓練 理
【選題明細表】
知識點、方法
題號
雙曲線的定義與標準方程
1、6、7、10
雙曲線的幾何性質(zhì)
2、3、4、8、9
雙曲線的綜合問題
5、11、12、13、14、15、16、17
基礎過關
一、選擇題
1.(2014福建晉江模擬)雙曲線2x2-y2=8的實軸長是( C )
(A)2 (B)22 (C)4 (D)42
解析:雙曲線的標準方程為x24-y28=1,所以a=2,則實軸長是4.
2.(2014湖南師大附中質(zhì)檢)設雙曲線x
2、2a2-y29=1(a>0)的漸近線方程為3x2y=0,則a的值為( C )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
解析:由題意得3a=32,∴a=2.
3.已知0<θ<π4,則雙曲線C1:x2sin2θ-y2cos2θ=1與C2:y2cos2θ-x2sin2θ=1的( D )
(A)實軸長相等 (B)虛軸長相等
(C)離心率相等 (D)焦距相等
解析:雙曲線C1的半焦距c1=sin2θ+cos2θ=1,雙曲線C2的半焦距c2=cos2θ+sin2θ=1,故選D.
4.(2014福建福州模擬)雙曲線x24-y2=1的頂點到漸近線的距離等于( C )
(A)25 (B)45 (
3、C)255 (D)455
解析:雙曲線的右頂點為(2,0),漸近線方程為x2y=0,則頂點到漸近線的距離為25=255.
5.(2014高考湖北卷)設a,b是關于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的兩個不等實根,則過A(a,a2),B(b,b2)兩點的直線與雙曲線x2cos2θ-y2sin2θ=1的公共點的個數(shù)為( A )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:關于t的方程t2cos θ+tsin θ=0有兩個不等實根為0,-tan θ(tan θ≠0),則過A,B兩點的直線方程為y=-xtan θ,雙曲線x2cos2θ-y2sin2θ=1的漸近線為y=xtan θ,所以
4、直線y=-xtan θ與雙曲線沒有公共點.
6.(2014鄭州模擬)已知F1、F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點,點P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2等于( C )
(A)14 (B)35 (C)34 (D)45
解析:由雙曲線的定義有c=2,
且|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=22,
∴|PF1|=2|PF2|=42,
則cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2|
=(42)2+(22)2-4224222
=34.
7.(2014濟南模擬)已知△ABP的頂點A、B分別為雙曲線x216-y29=
5、1的左、右焦點,頂點P在雙曲線上,則|sinA-sinB|sinP的值等于( A )
(A)45 (B)74 (C)54 (D)7
解析:在△ABP中,由正弦定理知
|sinA-sinB|sinP=||PB|-|PA|||AB|
=2a2c
=810=45.
8.(2014甘肅省張掖模擬)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F,直線x=a2c與其漸近線交于A,B兩點,與x軸交于D點,且△ABF為鈍角三角形,則離心率取值范圍是( D )
(A)(3,+∞) (B)(1,3)
(C)(2,+∞) (D)(1,2)
解析:易知A(a2c,abc),
若△AB
6、F為鈍角三角形,則∠AFB為鈍角,
即∠AFD>45,
所以在△ADF中,
tan∠AFD=ADDF=abcc-a2c>1,
解得10,b>0)的左、右焦點分別是F1、F2,過F1作傾斜角為30的直線交雙曲線右支于M點,若MF2⊥x軸,則雙曲線的離心率為 .
解析:由條件令|MF2|=m,|MF1|=2m,
則|F1F2|=3m,
即2c=3m,
2a=|MF1|-|MF2|=2m-m=m,
所以離心率e=2c2a=3mm=3.
答案:3
10.(2013高考天津
7、卷)已知拋物線y2=8x的準線過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點,且雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的方程為 .
解析:由拋物線y2=8x知其準線方程為x=-2.
則雙曲線中c=2,ca=2a=2,a=1,b=3.
所以雙曲線方程為x2-y23=1.
答案:x2-y23=1
11.已知雙曲線關于兩坐標軸對稱,且與圓x2+y2=10相交于點P(3,-1),若此圓過點P的切線與雙曲線的一條漸近線平行,則此雙曲線的方程為 .
解析:切點為P(3,-1)的圓x2+y2=10的切線方程是
3x-y=10.
∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行
8、,且雙曲線關于兩坐標軸對稱,
∴兩漸近線方程為3xy=0.
設所求雙曲線方程為9x2-y2=λ(λ≠0).
∵點P(3,-1)在雙曲線上,代入上式可得λ=80,
∴所求的雙曲線方程為x2809-y280=1.
答案:x2809-y280=1
三、解答題
12.(2015山東濰坊第一次質(zhì)檢)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,焦點到漸近線的距離等于3,過右焦點F2的直線l交雙曲線于A、B兩點,F1為左焦點.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若△F1AB的面積等于62,求直線l的方程.
解:(1)依題意,b=3,ca=2?a=1,c=2,
∴雙曲線的
9、方程為x2-y23=1.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)知F2(2,0).
易驗證當直線l斜率不存在時不滿足題意,
故可設直線l:y=k(x-2),
由y=k(x-2),x2-y23=1,
消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,
k≠3時,x1+x2=4k2k2-3,
x1x2=4k2+3k2-3,
y1-y2=k(x1-x2),
△F1AB的面積S=c|y1-y2|=2|k||x1-x2|
=2|k|16k4-4(k2-3)(4k2+3)|k2-3|
=12|k|k2+1|k2-3|
=62.
得k4+8k2-9=0,
則k=
10、1.
所以直線l方程為y=x-2或y=-x+2.
13.已知等軸雙曲線的中心在原點,焦點F1、F2在坐標軸上,且過點P(4,-10).
(1)求雙曲線方程;
(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:MF1→MF2→=0.
(1)解:設雙曲線方程為x2-y2=λ(λ≠0).
∵雙曲線過點(4,-10),
∴16-10=λ,即λ=6,
∴雙曲線方程為x2-y2=6,
即x26-y26=1.
(2)證明:法一 由(1)可知,雙曲線中a=b=6,
∴c=23,
∴F1(-23,0),F2(23,0),
∴kMF1=m3+23,kMF2=m3-23,
kMF1kMF2=m29
11、-12=-m23.
∵點M(3,m)在雙曲線上,
∴9-m2=6,m2=3.
故kMF1kMF2=-1,
∴MF1⊥MF2,
∴MF1→MF2→=0.
法二 由(1)可知,雙曲線中a=b=6,
∴c=23,
∴F1(-23,0),F2(23,0).
∵MF1→=(-23-3,-m),MF2→=(23-3,-m),
∴MF1→MF2→=(3+23)(3-23)+m2=m2-3.
∵點M在雙曲線上,
∴9-m2=6.
∴m2=3,即m2-3=0,
∴MF1→MF2→=0.
能力提升
14.(2014浙江衢州模擬)過雙曲線x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左焦點F
12、(-c,0)(c>0)作圓x2+y2=a2的切線,切點為E,延長FE交拋物線y2=4cx于點P,O為坐標原點,若OE→=12(OF→+OP→),則雙曲線的離心率為( D )
(A)3+32 (B)1+32 (C)52 (D)1+52
解析:拋物線的焦點坐標為F2(c,0),
準線方程為x=-c.
圓的半徑為a,
OE→=12(OF→+OP→),
所以E是FP的中點,
又E是切點,
所以OE⊥FP,
連接PF2,則PF2⊥FP,
且PF2=2a,
所以OE=a,FE=b,PF=2b,
過P作準線的垂線PM,
則PM=PF2=2a,
所以MF=PF2-PM2=(2b)2
13、-(2a)2=2b2-a2,
在直角三角形FPF2中,PFPF2=FF2MF,
即2b2a=2c2b2-a2,
所以c2(b2-a2)=a2b2,
即c2(c2-2a2)=a2(c2-a2),
整理得c4-3a2c2+a4=0,
即e4-3e2+1=0,
解得e2=39-42=352,
根據(jù)題意舍去e2=3-52,
所以e2=3+52,
即e2=3+52=6+254=(5+1)24,
所以e=1+52.
15.已知點P在曲線C1:x216-y29=1上,點Q在曲線C2:(x-5)2+y2=1上,點R在曲線C3:(x+5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是
14、 .
解析:依題意知P在曲線C1的左支上時|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值為|PC2|+1,|PR|的最小值為|PC3|-1,
則|PQ|-|PR|的最大值是
|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.
答案:10
16.(2014高考湖南卷)如圖,O為坐標原點,雙曲線C1:x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0)和橢圓C2:y2a22+x2b22=1(a2>b2>0)均過點P(233,1),且以C1的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.
(1)求C1,C2的方程;
(2)是否存在直線l,使
15、得l與C1交于A,B兩點,與C2只有一個公共點,且|OA→+OB→|=|AB→|?證明你的結論.
解:(1)設C2的焦距為2c2,由題意知,2c2=2,2a1=2.
從而a1=1,c2=1.
因為點P(233,1)在雙曲線x2-y2b12=1上,
所以(233)2-1b12=1.
故b12=3.
由橢圓的定義知
2a2=(233)2+(1-1)2+(233)2+(1+1)2=23.
于是a2=3,b22=a22-c22=2.
故C1,C2的方程分別為
x2-y23=1,y23+x22=1.
(2)不存在符合題設條件的直線.
①若直線l垂直于x軸,因為l與C2只有一個公共
16、點,
所以直線l的方程為x=2或x=-2.
當x=2時,易知A(2,3),B(2,-3),
所以|OA→+OB→|=22,|AB→|=23.
此時,|OA→+OB→|≠|(zhì)AB→|.
當x=-2時,同理可知,|OA→+OB→|≠|(zhì)AB→|.
②若直線l不垂直于x軸,設l的方程為y=kx+m.
由y=kx+m,x2-y23=1
得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.
當l與C1相交于A,B兩點時,設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1,x2是上述方程的兩個實根,
從而x1+x2=2km3-k2,x1x2=m2+3k2-3.
于是y1y2=k2x1x2+km(x
17、1+x2)+m2=3k2-3m2k2-3.
由y=kx+m,y23+x22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.
因為直線l與C2只有一個公共點,
所以上述方程的判別式
Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.
化簡,得m2=2k2+3.
因此OA→OB→=x1x2+y1y2=m2+3k2-3+3k2-3m2k2-3
=-k2-3k2-3≠0,
于是OA→2+OB→2+2OA→OB→≠OA→2+OB→2-2OA→OB→,
即|OA→+OB→|2≠|(zhì)OA→-OB→|2.
故|OA→+OB→|≠|(zhì)AB→|.
綜合①,②可知,不存在符合題設條件的直線.
18、
探究創(chuàng)新
17.(2015貴州省六校聯(lián)盟聯(lián)考)我們把焦點相同,且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”.已知F1、F2是一對相關曲線的焦點,P是它們在第一象限的交點,當∠F1PF2=60時,這一對相關曲線中雙曲線的離心率是 .
解析:設橢圓的半長軸為a1,橢圓的離心率為e1,
則e1=ca1,
a1=ce1.
設雙曲線的實半軸為a,雙曲線的離心率為e,
e=ca,a=ce.
|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),
則由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos 60=x2+y2-xy,
當點P看作是橢圓上的點時,
有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,①
當點P看作是雙曲線上的點時,
有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,②
①②聯(lián)立消去xy得4c2=a12+3a2,
即4c2=ce12+3ce2,
所以1e12+31e2=4,
又因為1e1=e,
所以e2+3e2=4,
整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,
所以e=3,
即雙曲線的離心率為3.
答案:3
【導與練】新課標高三數(shù)學一輪復習 第8篇 第4節(jié) 雙曲線課時訓練 理
