【導(dǎo)與練】新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6篇 第2節(jié) 基本不等式課時(shí)訓(xùn)練 理

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1、【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6篇 第2節(jié) 基本不等式課時(shí)訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 利用基本不等式比較大小、證明 1、4、14 利用基本不等式求最值 2、3、8、9 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 6、10、15 基本不等式的綜合問(wèn)題 5、7、11、12、13 一、選擇題 1.下列不等式一定成立的是(　C　) (A)lg（x2+14）>lg x(x>0) (B)sin x+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z) (C)x2+1≥2|x|(x∈R) (D)1x2+1>1(x∈R) 解析:對(duì)選項(xiàng)A,當(dāng)x>0時(shí),x2+14-x=（x-

2、12）2≥0, ∴l(xiāng)g（x2+14）≥lg x; 對(duì)選項(xiàng)B,當(dāng)sin x<0時(shí)顯然不成立; 對(duì)選項(xiàng)C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,一定成立; 對(duì)選項(xiàng)D,∵x2+1≥1, ∴0<1x2+1≤1. 故選C. 2.當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)=2xx2+1有(　B　) (A)最小值1 (B)最大值1 (C)最小值2 (D)最大值2 解析:f(x)=2x+1x≤22x1x=1. 當(dāng)且僅當(dāng)x=1x,x>0即x=1時(shí)取等號(hào). 所以f(x)有最大值1. 3.若正數(shù)x、y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是(　C　) (A)245 (B)285 (C)5 (D)6 解析

3、:由x+3y=5xy,得3x+1y=5(x>0,y>0), 則3x+4y=15(3x+4y)（3x+1y） =15(13+12yx+3xy) ≥15(13+212yx3xy) =15(13+12)=5. 當(dāng)且僅當(dāng)12yx=3xy, 即x=2y時(shí),等號(hào)成立, 此時(shí)由x=2y,x+3y=5xy, 解得x=1,y=12.故選C. 4.(2014重慶市部分重點(diǎn)中學(xué)高三聯(lián)考)已知p=a+1a-2(a>2),q=(12)x2-2(x∈R),則p,q的大小關(guān)系為(　A　) (A)p≥q (B)p>q (C)p

4、4,當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí),取得等號(hào);而由于x2-2≥-2,故q=(12)x2-2≤(12)-2=4,故p≥q.故選A. 5.(2014南昌模擬)設(shè)a>0,b>0,若3是3a與32b的等比中項(xiàng),則2a+1b的最小值為(　A　) (A)8 (B)4 (C)1 (D)14 解析:由已知得3a32b=3,即3a+2b=3, 所以a+2b=1, 所以2a+1b=(a+2b)(2a+1b) =4+4ba+ab≥4+24baab=8. 當(dāng)且僅當(dāng)4ba=ab,a+2b=1, 即a=2b=12時(shí)取等號(hào). 所以最小值為8.故選A. 6.某車(chē)間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生

5、產(chǎn)x件,則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為x8天,且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品(　B　) (A)60件 (B)80件 (C)100件 (D)120件 解析:每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品, 則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是800x元,倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用是x8元,每件產(chǎn)品的總的費(fèi)用y=800x+x8≥2800xx8=20, 當(dāng)且僅當(dāng)800x=x8時(shí)取等號(hào),得x=80. 故選B. 7.(2014吉安模擬)設(shè)x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=2,2a+b=8,則1x+1y的最大值為(　B　) (A)2 (B)3 (C)4 (D)log23 解析:由題意得

6、1x=log2a,1y=log2b, 1x+1y=log2a+log2b=log2(ab) =log2(2ab)-1≤log2(2a+b2)2-1 =log2(82)2-1=3. 當(dāng)且僅當(dāng)2a=b.2a+b=8,即a=2,b=4時(shí)取等號(hào). 故選B. 二、填空題 8.(2015洛陽(yáng)月考)設(shè)正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=2,則1a+a8b的最小值為　　　　　. 解析:依題意得1a+a8b=a+b2a+a8b=12+b2a+a8b≥12+2b2aa8b=1,當(dāng)且僅當(dāng)b2a=a8b,a+b=2即a=2b=43時(shí)取等號(hào),因此1a+a8b的最小值是1. 答案:1 9.(2014南昌模擬)已知

7、x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為　　　　　. 解析:9=x+3y+xy=x+3y+13(x3y)≤x+3y+13(x+3y2)2, 所以(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0. 所以x+3y≥6或x+3y≤-18(舍去). 當(dāng)且僅當(dāng)x=3y=3時(shí)取“=”. 答案:6 10.某公司購(gòu)買(mǎi)一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場(chǎng)分析,每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位:年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(x∈N*),則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)　　　　年時(shí),年平均利潤(rùn)最大,最大值是　　　　萬(wàn)元. 解析:每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為yx=18-(

8、x+25x),而x>0,故yx≤18-225=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)年平均利潤(rùn)最大,最大值為8萬(wàn)元. 答案:5　8 11.已知直線ax-2by=2(a>0,b>0)過(guò)圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心,ab的最大值為　　　　. 解析:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=4, 所以圓心為(2,-1), 因?yàn)橹本€過(guò)圓心, 所以2a+2b=2,即a+b=1. 所以ab≤（a+b2）2=14,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)取等號(hào), 所以ab的最大值為14. 答案:14 12.函數(shù)y=a1-x(a>0,且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0(mn>0

9、)上,則1m+1n的最小值為　　　　　. 解析:A(1,1),由點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0上, 得m+n=1, 所以1m+1n=(m+n)（1m+1n）=2+mn+nm≥2+2mnnm=4. 當(dāng)且僅當(dāng)m=n=12時(shí)取等號(hào). 答案:4 13.(2014阜陽(yáng)模擬)已知二次函數(shù)f(x)=cx2-4x+a+1的值域是[1,+∞),則1a+9c的最小值是　　　　. 解析:由題意得c>0,4c(a+1)-(-4)24c=1,即c>0,ac=4. 所以1a+9c=c+9aac=c+9a4≥142c9a=32ac =3. 當(dāng)且僅當(dāng)9a=c,ac=4即a=23,c=6時(shí)取等號(hào). 答案:3

10、 三、解答題 14.已知函數(shù)f(x)=lg x,若x1,x2>0,判斷12[f(x1)+f(x2)]與f（x1+x22）的大小,并加以證明. 解:12[f(x1)+f(x2)]≤f（x1+x22）. 證明如下: ∵f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2), f（x1+x22）=lg x1+x22, 且x1,x2>0,x1x2≤（x1+x22）2, ∴l(xiāng)g(x1x2)≤lg（x1+x22）2, ∴12lg(x1x2)≤lg x1+x22, ∴12(lg x1+lg x2)≤lg x1+x22. 即12[f(x1)+f(x2)]≤f（x1+x22）,

11、 當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),等號(hào)成立. 15.某商店預(yù)備在一個(gè)月內(nèi)分批購(gòu)入每張價(jià)值為20元的書(shū)桌共36張,每批都購(gòu)入x張(x是正整數(shù)),且每批均需付運(yùn)費(fèi)4元,儲(chǔ)存購(gòu)入的書(shū)桌一個(gè)月所付的保管費(fèi)與每批購(gòu)入書(shū)桌的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比,若每批購(gòu)入4張,則該月需用去運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)共52元,現(xiàn)在全月只有48元資金可以用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi). (1)求該月需用去的運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的總費(fèi)用f(x); (2)能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗M(jìn)貨的數(shù)量,使資金夠用?寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由. 解:(1)設(shè)題中比例系數(shù)為k,每批購(gòu)入x張書(shū)桌, 則共需分36x批,每批價(jià)值為20x元, 由題意得f(x)=36x4+k20x. 由x=4時(shí),f(x)=52, 得k=1680=15. ∴f(x)=144x+4x(0