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1、 精品資料
[學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練]
若|m|＝4，|n|＝6，m與n的夾角θ為45°，則m·n＝________.
解析：m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×cos 45°＝12.
答案：12
(2014·南通調(diào)研)在△ABC中，已知·＝4，·＝－12，則||＝________．
解析：將·＝4，·＝－12兩式相減得·(－)＝2＝16，則||＝4.
答案：4
設(shè)a與b的模分別為4和3，夾角為60°
2、;，則|a＋b|＝______.
解析：|a＋b|＝＝
＝＝.
答案：
若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為__________．
解析：設(shè)向量a與b的夾角為θ，由題意知(a＋b)·a＝0，
∴a2＋a·b＝0，∴|a|2＋|a||b|cos θ＝0，∴1＋2cos θ＝0，∴cos θ＝－，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
答案：120°
設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，則|c|2＝__________．
解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝
3、－(a＋b)．又∵a⊥b，
∴a·b＝0.∴|c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5.
答案：5
如圖所示的是正六邊形P1P2P3P4P5P6，則下列向量的數(shù)量積中最大的是__________．(只填序號)
① ·；②·；③·；④·.
解析：根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)，得·＝0，·＜0，·＝||·||·cos＝||2，·＝||·2||·cos＝|P1P2|2，經(jīng)比較可知·的數(shù)量積最大．
答案：①
已知|a|
4、＝3，|b|＝4，a與b的夾角為.
求：(1)(3a－2b)·(a－2b)；
(2)|a＋b|.
解：(1)(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2
＝3×32－8×3×4cos＋4×42＝91＋48.
(2)|a＋b|＝＝
＝＝ .
已知a，b是非零向量，且滿足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，求a與b的夾角．
解：∵(a－2b)⊥a，
∴(a－2b)·a＝0，即a2－2a·b＝0.
∵(b－2a)⊥b，∴(b－2a)·b＝0，即b2－2a·b＝
5、0.
∴a2＝b2，即|a|＝|b|.a·b＝a2，即a·b＝|a|2.
∴cos θ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝.
[高考水平訓(xùn)練]
如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC上一點，DC＝2BD，則·＝________．
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
又∵＝－，2＝1，2＝4，且·＝2×1×cos 120°＝－1，
∴·＝(＋)·(－)＝2－2＋·＝－.
答案：－
已知非零向量，和滿足(＋)·＝0，且＝，則△AB
6、C的形狀為________．
解析：∵、分別表示與、同向的單位向量，
∴以、為鄰邊的平行四邊形為菱形．
∴表示向量＋的有向線段在∠A平分線上．
∴由(＋)·＝0知∠A的平分線垂直于BC，
∴△ABC為等腰三角形．又＝cos C＝，
∴∠C＝，從而可知，∠A＝.
∴△ABC為等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
已知a、b是兩個非零向量，同時滿足|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角．
解：根據(jù)|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，
又|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
∴a·b＝|a|2.
而|a
7、＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
∴|a＋b|＝|a|.設(shè)a與a＋b的夾角為θ，
則cos θ＝＝＝，
又∵θ∈[0°，180°]．∴θ＝30°.
4．已知向量a，b滿足：a2＝9，a·b＝－12，求|b|的取值范圍．
解：法一：∵a2＝9，∴|a|＝3.又a·b＝－12.
∴|a·b|＝12.
又∵|a·b|≤|a||b|.∴12≤3|b|，解得|b|≥4.
故|b|的取值范圍是[4，＋∞)．
法二：∵a·b＝|a||b|cos θ(其中θ為a與b的夾角)．
又由a2＝9，得|a|＝3，由a·b＝－12，得θ≠90°.
即cos θ≠0.∴|b|＝＝＝.
∵－1≤cos θ<0，∴|b|≥4.
故|b|的取值范圍是[4，＋∞)．
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