高三理科數(shù)學(xué) 一輪總復(fù)習(xí)第五章　三角函數(shù)教師用書

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1、 第五章　三角函數(shù) 高考導(dǎo)航 考試要求 重難點擊 命題展望 　　1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化. 2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 3.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出，πα的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y＝sin x， y＝cos x ， y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性. 4.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在(－,)上的單調(diào)性. 5.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1 ，＝tan x. 6.了解函

2、數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義，能畫出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響. 7.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型. 8.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶). 9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題，能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題. 本

3、章重點：1.角的推廣，三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的運用；2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，y＝Asin(ωx＋) (ω＞0)的性質(zhì)、圖象及變換；3.用三角函數(shù)模型解決實際問題；4.以和、差、倍角公式為依據(jù)，提高推理、運算能力；5.正、余弦定理及應(yīng)用. 本章難點：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系；2.靈活運用三角公式化簡、求值、證明； 3.三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，最值的求法；4.探索兩角差的余弦公式；5.把實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題. 　　三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)必考的基礎(chǔ)知識之一.在高考中主

4、要考查對三角函數(shù)概念的理解；運用函數(shù)公式進行恒等變形、化簡、求值、證明三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象變換、作圖、識圖等.解三角形的問題往往與其他知識(如立體幾何、解析幾何、向量等)相聯(lián)系，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，體現(xiàn)以能力立意的高考命題原則.  知識網(wǎng)絡(luò) 5.1　任意角的三角函數(shù)的概念 典例精析 題型一　象限角與終邊相同的角 【例1】若α是第二象限角，試分別確定2α、的終邊所在的象限. 【解析】因為α是第二象限角， 所以k360＋90＜α＜k360＋180(k∈Z). 因為2k360＋180＜2α＜2k360＋360(k∈Z)，故2α是第三或第四

5、象限角，或角的終邊在y軸的負半軸上. 因為k180＋45＜＜k180＋90(k∈Z)， 當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，n360＋45＜＜n360＋90， 當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，n360＋225＜＜n360＋270. 所以是第一或第三象限角. 【點撥】已知角α所在象限，應(yīng)熟練地確定所在象限. 如果用α1、α2、α3、α4分別表示第一、二、三、四象限角，則、、、分布如圖，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟記右圖，解有關(guān)問題就方便多了. 【變式訓(xùn)練1】若角2α的終邊在x軸上方，那么角α是(　　) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三

6、象限角 D.第一或第四象限角 【解析】由題意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z， 得kπ＜α＜kπ＋，k∈Z. 當(dāng)k是奇數(shù)時，α是第三象限角. 當(dāng)k是偶數(shù)時，α是第一象限角.故選C. 題型二　弧長公式，面積公式的應(yīng)用 【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R. (1)若α＝60，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積； (2)若扇形的周長是一定值C(C＞0)，當(dāng)α為多少弧度時，該扇形的面積有最大值？并求出這個最大值. 【解析】(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓， 因為α＝60＝，R＝10 cm，所以l＝ cm， S弓＝S扇－SΔ＝10－10

7、2sin 60＝50(－) cm2. (2)因為C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝， S扇＝αR2＝α()2＝＝≤， 當(dāng)且僅當(dāng)α＝時，即α＝2(α＝－2舍去)時，扇形的面積有最大值為. 【點撥】用弧長公式l＝ |α| R與扇形面積公式S＝lR＝R2|α|時，α的單位必須是弧度. 【變式訓(xùn)練2】已知一扇形的面積為定值S，當(dāng)圓心角α為多少弧度時，該扇形的周長C有最小值？并求出最小值. 【解析】因為S＝Rl，所以Rl＝2S， 所以周長C＝l＋2R≥2＝2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)l＝2R時，C＝4， 所以當(dāng)α＝＝2時，周長C有最小值4.  題型三　三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)線的應(yīng)用 【

8、例3】(1)已知角α的終邊與函數(shù)y＝2x的圖象重合，求sin α；(2)求滿足sin x≤的角x的集合. 【解析】(1)由 ?交點為(－，－)或(，)， 所以sin α＝. (2)①找終邊：在y軸正半軸上找出點(0，)，過該點作平行于x軸的平行線與單位圓分別交于P1、P2兩點，連接OP1、OP2，則為角x的終邊，并寫出對應(yīng)的角. ②畫區(qū)域：畫出角x的終邊所在位置的陰影部分. ③寫集合：所求角x的集合是{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}. 【點撥】三角函數(shù)是用角α的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)來定義的，因此，用定義求值，轉(zhuǎn)化為求交點的問題.利用三角函數(shù)線證某些不等式或解某些三角不等

9、式更簡潔、直觀. 【變式訓(xùn)練3】函數(shù)y＝lg sin x＋的定義域為　　　　　　　　　　　　. 【解析】 ?2kπ＜x≤2kπ＋，k∈Z. 所以函數(shù)的定義域為{x|2kπ＜x≤2kπ＋，k∈Z}. 總結(jié)提高 1.確定一個角的象限位置，不僅要看角的三角函數(shù)值的符號，還要考慮它的函數(shù)值的大小. 2.在同一個式子中所采用的量角制度必須相一致，防止出現(xiàn)諸如k360＋的錯誤書寫. 3.三角函數(shù)線具有較好的幾何直觀性，是研究和理解三角函數(shù)的一把鑰匙. 　 5.2　同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式 典例精析 題型一　三角函數(shù)式的化簡問題 【點撥】運用誘導(dǎo)

10、公式的關(guān)鍵是符號，前提是將α視為銳角后，再判斷所求角的象限. 【變式訓(xùn)練1】已知f(x)＝，θ∈(，π)，則f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝　　　　. 【解析】f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝＋＝＋＝|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|. 因為θ∈(，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0. 所以|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ. 題型二　三角函數(shù)式的求值問題 【例2】已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2

11、). (1)若a∥b，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求 θ的值. 【解析】(1)因為a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝. (2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5. 從而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin(2θ＋)＝－. 又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜， 所以2θ＋＝或2θ＋＝. 因此θ＝或θ＝. 【變式訓(xùn)練2】已知tan α＝，則2sin αcos

12、 α＋cos2α等于(　　) A. B. C. D.2 【解析】原式＝＝＝.故選B. 題型三　三角函數(shù)式的簡單應(yīng)用問題 【例3】已知－＜x＜0且sin x＋cos x＝，求： (1)sin x－cos x的值； (2)sin3(－x)＋cos3(＋x)的值. 【解析】(1)由已知得2sin xcos x＝－，且sin x＜0＜cos x， 所以sin x－cos x＝－＝－＝－＝－. (2)sin3(－x)＋cos3(＋x)＝cos3x－sin3x＝(cos x－sin x)(cos2x＋cos xsin x＋sin2x) ＝(1－)＝.

13、【點撥】求形如sin xcos x的值，一般先平方后利用基本關(guān)系式，再求sin xcos x取值符號. 【變式訓(xùn)練3】化簡. 【解析】原式＝ ＝＝. 總結(jié)提高 1.對于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中“同角”的含義，只要是“同一個角”，那么基本關(guān)系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的. 2.誘導(dǎo)公式的重要作用在于：它揭示了終邊在不同象限且具有一定對稱關(guān)系的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而可化負為正，化復(fù)雜為簡單. 5.3　兩角和與差、二倍角的三角函數(shù) 典例精析 題型一　三角函數(shù)式的化簡 【例1】化簡(0＜θ＜π). 【解析】因為0＜θ＜π，所

14、以0＜＜， 所以原式＝ ＝＝－cos θ. 【點撥】先從角度統(tǒng)一入手，將θ化成，然后再觀察結(jié)構(gòu)特征，如此題中sin2－cos2＝－cos θ. 【變式訓(xùn)練1】化簡. 【解析】原式＝＝＝＝cos 2x. 題型二　三角函數(shù)式的求值 【例2】已知sin －2cos ＝0. (1)求tan x的值； (2)求的值. 【解析】(1)由sin －2cos ＝0?tan ＝2，所以tan x＝＝＝－. (2)原式＝ ＝＝＝＋1＝(－)＋1＝. 【變式訓(xùn)練2】＝　　　　　. 【解析】原式＝＝＝. 題型三　已知三角函數(shù)值求解 【例3】已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，

15、β∈(0，π)，求2α－β的值. 【解析】因為tan 2(α－β)＝＝， 所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝＝1， 又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝， 因為α∈(0，π)，所以0＜α＜， 又＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－. 【點撥】由三角函數(shù)值求角時，要注意角度范圍，有時要根據(jù)三角函數(shù)值的符號和大小將角的范圍適當(dāng)縮小. 【變式訓(xùn)練3】若α與β是兩銳角，且sin(α＋β)＝2sin α，則α與β的大小關(guān)系是(　　) A.α＝β B.α＜β C.α＞β D.以上都有可能 【解析】方法一：因為

16、2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤，又α是銳角，所以α≤30. 又當(dāng)α＝30，β＝60時符合題意，故選B. 方法二：因為2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β， 所以sin α＜sin β. 又因為α、β是銳角，所以α＜β，故選B. 總結(jié)提高 1.兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式等是三角函數(shù)恒等變形的主要工具. (1)它能夠解答三類基本題型：求值題，化簡題，證明題； (2)對公式會“正用”、“逆用”、“變形使用”； (3)掌握角的演變規(guī)律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等. 2.通過運用公

17、式，實現(xiàn)對函數(shù)式中角的形式、升冪、降冪、和與差、函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化，以達到求解的目的，在運用公式時，注意公式成立的條件. 　5.4　三角恒等變換 典例精析 題型一　三角函數(shù)的求值 【例1】已知0＜α＜，0＜β＜，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求α＋β的值. 【解析】由4tan ＝1－tan2，得tan α＝＝. 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 即2sin(α＋

18、β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1. 又因為α、β∈(0，)，所以α＋β＝. 【點撥】三角函數(shù)式的化簡與求值的主要過程是三角變換，要善于抓住已知條件與目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，找到解題的突破口與方向. 【變式訓(xùn)練1】如果tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么tan(α＋)等于(　　) A. 　 B. C. D. 【解析】因為α＋＝(α＋β)－(β－)， 所以tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝. 故選C. 題型二　等式的證明 【例2】求證：＝－2cos(α＋β). 【證明】證法一：

19、 右邊＝＝ ＝＝＝左邊. 證法二：－＝＝＝2cos(α＋β)， 所以－2cos(α＋β)＝. 【點撥】證法一將2α＋β寫成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同運算；證法二把握結(jié)構(gòu)特征，用“變更問題法”證明，簡捷而新穎. 【變式訓(xùn)練2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求證：tan(α－β)＋4tan β＝0. 【證明】因為5sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]， 所以5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β， 所以2sin(α－

20、β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0. 即tan(α－β)＋4tan β＝0. 題型三　三角恒等變換的應(yīng)用 【例3】已知△ABC是非直角三角形. (1)求證：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C； (2)若A＞B且tan A＝－2tan B，求證：tan C＝； (3)在(2)的條件下，求tan C的最大值. 【解析】(1)因為C＝π－(A＋B)， 所以tan C＝－tan(A＋B)＝， 所以tan C－tan Atan Btan C＝－tan A－tan B， 即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C

21、. (2)由(1)知tan C＝＝＝＝ ＝＝. (3)由(2)知tan C＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)2tan B＝，即tan B＝時，等號成立. 所以tan C的最大值為. 【點撥】熟練掌握三角變換公式并靈活地運用來解決與三角形有關(guān)的問題，要有較明確的目標(biāo)意識. 【變式訓(xùn)練3】在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，試判斷△ABC的形狀. 【解析】由已知得tan B＋tan C＝(1－tan Btan C)， (tan A＋tan B)＝－(1－tan Atan B)， 即＝，＝－. 所以tan(B＋C)＝

22、，tan(A＋B)＝－. 因為0＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝，A＋B＝. 又A＋B＋C＝π，故A＝，B＝C＝. 所以△ABC是頂角為的等腰三角形. 總結(jié)提高 三角恒等式的證明，一般考慮三個“統(tǒng)一”：①統(tǒng)一角度，即化為同一個角的三角函數(shù)；②統(tǒng)一名稱，即化為同一種三角函數(shù)；③統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式. 　5.5　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 典例精析 題型一　三角函數(shù)的周期性與奇偶性 【例1】已知函數(shù)f(x)＝2sin cos ＋cos . (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)令g(x)＝f(x＋)，判斷g(x)的奇偶性. 【解析】(1)f(x)＝2sin cos

23、＋cos ＝sin ＋cos ＝2sin(＋)， 所以f(x)的最小正周期T＝＝4π. (2)g(x)＝f(x＋)＝2sin[(x＋)＋]＝2sin(＋)＝2cos . 所以g(x)為偶函數(shù). 【點撥】解決三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問題，常常要化簡三角函數(shù). 【變式訓(xùn)練1】函數(shù)y＝sin2x＋sin xcos x的最小正周期T等于(　　) A.2π B.π C. D. 【解析】y＝＋sin 2x＝(sin 2x－cos 2x)＋ ＝sin(2x－)＋，所以T＝＝π.故選B. 題型二　求函數(shù)的值域 【例2】求下列函數(shù)的值域： (1)f(x)＝； (2

24、)f(x)＝2cos(＋x)＋2cos x. 【解析】(1)f(x)＝＝＝2cos2x＋2cos x ＝2(cos x＋)2－， 當(dāng)cos x＝1時，f(x)max＝4，但cos x≠1，所以f(x)＜4， 當(dāng)cos x＝－時，f(x)min＝－，所以函數(shù)的值域為[－，4). (2)f(x)＝2(cos cos x－sin sin x)＋2cos x ＝3cos x－sin x＝2cos(x＋)， 所以函數(shù)的值域為[－2，2]. 【點撥】求函數(shù)的值域是一個難點，分析函數(shù)式的特點，具體問題具體分析，是突破這一難點的關(guān)鍵. 【變式訓(xùn)練2】求y＝sin x＋cos x＋sin xc

25、os x的值域. 【解析】令t＝sin x＋cos x，則有t2＝1＋2sin xcos x，即sin xcos x＝. 所以y＝f(t)＝t＋＝(t＋1)2－1. 又t＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，所以－≤t≤. 故y＝f(t)＝(t＋1)2－1(－≤t≤)， 從而f(－1)≤y≤f()，即－1≤y≤＋. 所以函數(shù)的值域為[－1，＋]. 題型三　三角函數(shù)的單調(diào)性 【例3】已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分圖象如圖所示. (1)求ω，φ的值； (2)設(shè)g(x)＝f(x)f(x－)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 【解析】(1)由圖

26、可知，T＝4(－)＝π，ω＝＝2. 又由f()＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sin φ＝－1. 因為|φ|＜π，所以φ＝－. (2)f(x)＝sin(2x－)＝－cos 2x. 所以g(x)＝(－cos 2x)[－cos(2x－)]＝cos 2xsin 2x＝sin 4x. 所以當(dāng)2kπ－≤4x≤2kπ＋，即－≤x≤＋(k∈Z)時g(x)單調(diào)遞增. 故函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[－，＋](k∈Z). 【點撥】觀察圖象，獲得T的值，然后再確定φ的值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想與方法. 【變式訓(xùn)練3】使函數(shù)y＝sin(－2x)(x∈[0，π])為增函數(shù)的區(qū)間是(　　

27、) A.[0，] B.[，] C.[，] D.[，π] 【解析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則判定，選C. 總結(jié)提高 1.求三角函數(shù)的定義域和值域應(yīng)注意利用三角函數(shù)圖象. 2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上得到的，因而特別要注意題設(shè)中所給的區(qū)間. 3.求三角函數(shù)的最小正周期時，要盡可能地化為三角函數(shù)的一般形式，要注意絕對值、定義域?qū)χ芷诘挠绊? 4.判斷三角函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對稱性. 　5.6　函數(shù)y＝Asin(ωx＋)的圖象和性質(zhì) 典例精析 題型一　“五點法”作函數(shù)圖象 【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝sin ωx

28、＋cos ωx(ω＞0)的周期為π. (1)求它的振幅、初相； (2)用五點法作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象； (3)說明函數(shù)f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到. 【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin(ωx＋)， 又因為T＝π，所以＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋)， 所以函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的振幅為2，初相為. (2)列出下表，并描點畫出圖象如圖所示. 　　(3)把y＝sin x圖象上的所有點向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin(x＋)的圖象，

29、再把 y＝sin(x＋)的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin(2x＋)的圖象，然后把y＝sin(2x＋)的圖象上的所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin(2x＋)的圖象. 【點撥】用“五點法”作圖，先將原函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，，π，，2π求出相應(yīng)的x值及相應(yīng)的y值，就可以得到函數(shù)圖象上一個周期內(nèi)的五個點，用平滑的曲線連接五個點，再向兩端延伸即可得到函數(shù)在整個定義域上的圖象.  【變式訓(xùn)練1】函數(shù) 的圖象如圖所示，則(　　) A.k＝，ω＝，φ＝ B.k＝，ω＝，φ＝

30、 C.k＝，ω＝2，φ＝ D.k＝－2，ω＝，φ＝ 【解析】本題的函數(shù)是一個分段函數(shù)，其中一個是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，由圖象可判斷該直線的斜率k＝.另一個函數(shù)是三角函數(shù)，三角函數(shù)解析式中的參數(shù)ω由三角函數(shù)的周期決定，由圖象可知函數(shù)的周期為T＝4(－)＝4π，故ω＝.將點(，0)代入解析式y(tǒng)＝2sin(x＋φ)，得＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.結(jié)合各選項可知，選項A正確. 題型二　三角函數(shù)的單調(diào)性與值域 【例2】已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋sin ωxsin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)為. (1)求ω的值； (

31、2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間. 【解析】(1)f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin(2ωx＋)＋. 令2ωx＋＝，將x＝代入可得ω＝1. (2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)＋，經(jīng)過題設(shè)的變化得到函數(shù)g(x)＝sin(x－)＋， 當(dāng)x＝4kπ＋π，k∈Z時，函數(shù)g(x)取得最大值. 令2kπ＋≤x－≤2kπ＋π， 即[4kπ＋，4kπ＋π](k∈Z)為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間. 【點撥】本題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用、三角函數(shù)圖

32、象性質(zhì)及變換. 【變式訓(xùn)練2】若將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于點(，0)對稱，則|φ|的最小值是(　　) A. B. C. D. 【解析】將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移個單位后得到y(tǒng)＝2sin[3(x－)＋φ]＝2sin(3x－＋φ)的圖象. 因為該函數(shù)的圖象關(guān)于點(，0)對稱，所以2sin(3－＋φ)＝2sin(＋φ)＝0， 故有＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z). 當(dāng)k＝0時，|φ|取得最小值，故選A. 題型三　三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 【例3】已知函數(shù)y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞

33、0，ω＞0,0＜φ＜)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點(1,2). (1)求φ的值； (2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008). 【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝－cos(2ωx＋2φ)， 因為y＝f(x)的最大值為2，又A＞0， 所以＋＝2，所以A＝2， 又因為其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，ω＞0， 所以＝2，所以ω＝. 所以f(x)＝－cos(x＋2φ)＝1－cos(x＋2φ)， 因為y＝f(x)過點(1,2)，所以cos(＋2φ)＝－1. 所以＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)， 解得φ＝kπ＋(k∈Z)， 又因為0＜φ＜，所以

34、φ＝. (2)方法一：因為φ＝， 所以y＝1－cos(x＋)＝1＋sin x， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4， 又因為y＝f(x)的周期為4,2 008＝4502. 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4502＝2 008. 方法二：因為f(x)＝2sin2(x＋φ)， 所以f(1)＋f(3)＝2sin2(＋φ)＋2sin2(＋φ)＝2， f(2)＋f(4)＝2sin2(＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4， 又因為y＝f(x)的周期為4,2 008＝4502. 所以f(1)＋f(2

35、)＋…＋f(2 008)＝4502＝2 008. 【點撥】函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸由ωx＋φ＝kπ，可得x＝，兩相鄰對稱軸間的距離為周期的一半，解決該類問題可畫出相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象，借助數(shù)形結(jié)合的思想解決. 【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝Acos2ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值為6，其相鄰兩條對稱軸間的距離為4，則f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝　　　　. 【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A＋2＝＋＋2，則由題意知A＋2＝6，＝8，所以A＝4，ω＝，所以f(x)＝2cos x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10

36、)＝4，…觀察周期性規(guī)律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38. 總結(jié)提高 1.用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，關(guān)鍵是五個點的選取，一般令ωx＋φ＝0，，π，，2π，即可得到作圖所需的五個點的坐標(biāo)，同時，若要求畫出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整ωx＋φ的取值，以便列表時能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值. 2.在圖象變換時，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長度單位是不同的，這是因為變換總是對字母x本身而言的，無論沿x軸平移還是伸縮，變化的總是x. 3.在解決y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)性質(zhì)時，應(yīng)將ωx＋φ視為一個整體x后

37、再與基本函數(shù) y＝sin x的性質(zhì)對應(yīng)求解. 5.7　正弦定理和余弦定理 典例精析 題型一　利用正、余弦定理解三角形 【例1】在△ABC中，AB＝，BC＝1，cos C＝. (1)求sin A的值；(2)求的值. 【解析】(1)由cos C＝得sin C＝. 所以sin A＝＝＝. (2)由(1)知，cos A＝. 所以cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C ＝－＋＝－. 所以＝(＋)＝＋ ＝－1＋1cos B＝－1－＝－. 【點撥】在解三角形時，要注意靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識. 【變式訓(xùn)練

38、1】在△ABC中，已知a、b、c為它的三邊，且三角形的面積為，則∠C＝　　　. 【解析】S＝＝absin C. 所以sin C＝＝cos C.所以tan C＝1， 又∠C∈(0，π)，所以∠C＝. 題型二　利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問題 【例2】設(shè)△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對的邊長，并且sin2A＝sin(＋B)sin(－B)＋sin2B. (1)求角A的值； (2)若＝12，a＝2，求b，c(其中b＜c). 【解析】(1)因為sin2A＝(cos B＋sin B)(cos B－sin B)＋sin2B＝cos2B－sin2B＋sin2B＝

39、，所以sin A＝.又A為銳角，所以A＝. (2)由＝12可得cbcos A＝12.① 由(1)知A＝，所以cb＝24.② 由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，將a＝2及①代入得c2＋b2＝52.③ ③＋②2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10. 因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的兩個根. 又b＜c，所以b＝4，c＝6. 【點撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識，考查綜合運算求解能力. 【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，且滿足(

40、2a－c)cos B＝ bcos C. (1)求角B的大??； (2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面積. 【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 代入(2a－c)cos B＝bcos C， 整理得2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B， 即2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin A， 在△ABC中，sin A＞0,2cos B＝1， 因為∠B是三角形的內(nèi)角，所以B＝60. (2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac－2a

41、ccos B， 將b＝，a＋c＝4代入整理，得ac＝3. 故S△ABC＝acsin B＝sin 60＝. 題型三　正、余弦定理在實際問題中的應(yīng)用 【例3】(20xx陜西)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測點.現(xiàn)位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，則該救援船到達D點需要多長時間？ 【解析】由題意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90－60＝30，∠DAB＝90－45＝45，所以∠ADB＝180－(45＋30)＝105. 在△DAB

42、中，由正弦定理得＝， 所以DB＝＝ ＝＝＝10(海里). 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30＋(90－60)＝60，BC＝20海里， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC＝300＋1 200－21020＝900， 所以CD＝30(海里)，則需要的時間t＝＝1(小時). 所以，救援船到達D點需要1小時. 【點撥】應(yīng)用解三角形知識解決實際問題的基本步驟是： (1)根據(jù)題意，抽象地構(gòu)造出三角形； (2)確定實際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊與角的對應(yīng)關(guān)系； (3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解； (4)

43、給出結(jié)論. 【變式訓(xùn)練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α角，前進m km后在B處測得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿足條件　　　時，該船沒有觸礁危險. 【解析】由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得＝，解得BM＝，要使船沒有觸礁危險需要BMsin(90－β)＝＞n.所以α與β的關(guān)系滿足mcos αcos β＞nsin(α－β)時，船沒有觸礁危險. 總結(jié)提高 1.正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)系，如證明兩內(nèi)角A＞B與sin A＞sin B是一種等價關(guān)系. 2.在判

44、斷三角形的形狀時，一般將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再用恒等變形(如因式分解、配方)求解，注意等式兩邊的公因式不要隨意約掉，否則會漏解. 3.用正弦定理求角的大小一定要根據(jù)題中所給的條件判斷角的范圍，以免增解或漏解. 5.8 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 典例精析 題型一　利用三角函數(shù)的性質(zhì)解應(yīng)用題 【例1】如圖，ABCD是一塊邊長為100 m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點P在上，相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車

45、場PQCR面積的最大值和最小值. 【解析】如圖，連接AP，過P作PM⊥AB于M. 設(shè)∠PAM＝α，0≤α≤， 則PM＝90sin α，AM＝90cos α， 所以PQ＝100－90cos α，PR＝100－90sin α， 于是S四邊形PQCR＝PQPR ?。?100－90cos α)(100－90sin α) ?。? 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000. 設(shè)t＝sin α＋cos α，則1≤t≤，sin αcos α＝. S四邊形PQCR＝8 100－9 000t＋10 000 ＝4 050(t－)2＋950 (1≤t≤).

46、當(dāng)t＝時，(S四邊形PQCR)max＝14 050－9 000 m2； 當(dāng)t＝時，(S四邊形PQCR)min＝950 m2. 【點撥】同時含有sin θcos θ，sin θcos θ的函數(shù)求最值時，可設(shè)sin θcos θ＝t，把sin θcos θ用t表示，從而把問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問題.注意t的取值范圍. 【變式訓(xùn)練1】若0＜x＜，則4x與sin 3x的大小關(guān)系是(　　) A.4x＞sin 3x B.4x＜sin 3x C.4x≥sin 3x D.與x的值有關(guān) 【解析】令f(x)＝4x－sin 3x，則f′(x)＝4－3cos 3x.因

47、為f′(x)＝4－3cos 3x＞0，所以f(x)為增函數(shù).又0＜x＜，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin 3x＞0.所以4x＞sin 3x.故選A. 題型二　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)模型的應(yīng)用 【例2】已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，記作y＝f(t).下表是某日各時的浪花高度數(shù)據(jù). 經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acos ωt＋b. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式； (2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放. 請依據(jù)(1)的結(jié)論，

48、判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？ 【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期T＝12，所以ω＝＝＝. 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0， 所以A＝0.5，b＝1，所以振幅為.所以y＝cos t＋1. (2)由題知，當(dāng)y＞1時才可對沖浪者開放， 所以cos t＋1＞1，所以cos t＞0， 所以2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3.① 因為0≤t≤24，故可令①中k分別為0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24. 故在規(guī)定時間上午8：00至晚上20：00之間，有6個小時時間可

49、供沖浪者運動，即上午9：00至下午15：00. 【點撥】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解實際問題，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式. 【變式訓(xùn)練2】如圖，一個半徑為10 m的水輪按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)4圈，記水輪上的點P到水面的距離為d m(P在水面下則d為負數(shù))，則d(m)與時間t(s)之間滿足關(guān)系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)，且當(dāng)點P從水面上浮現(xiàn)時開始計算時間，有以下四個結(jié)論：①A＝10；②ω＝；③φ＝；④k＝5.其中正確結(jié)論的序號是　　　　　. 【解析】①②④. 題型三　正、余弦定理的應(yīng)用 【例3】為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平

50、方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機能測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B之間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：(1)指出需測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)示)；(2)用文字和公式寫出計算M、N間距離的步驟. 【解析】(1)如圖所示：①測AB間的距離a；②測俯角∠MAB＝φ，∠NAB＝θ，∠MBA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△ABM中 ，∠AMB＝π－φ－β，由正弦定理得 BM＝＝， 同理在△BAN中，BN＝＝， 所以在△BMN中，由余弦定理得 MN＝ ＝. 【變式訓(xùn)練3】一船向正北方向勻速行駛，看見正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線

51、上，繼續(xù)航行半小時后，看見其中一座燈塔在南偏西60方向上，另一燈塔在南偏西75方向上，則該船的速度是　　　海里/小時. 【解析】本題考查實際模型中的解三角形問題.依題意作出簡圖，易知AB＝10，∠OCB＝60，∠OCA＝75.我們只需計算出OC的長，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，顯然有＝tan∠OCB＝tan 60且＝tan∠OCA＝tan 75， 因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan 75－tan 60)，即有 OC＝＝ ＝ ＝＝＝5. 由此可得船的速度為5海里0.5小時＝10海里/小時. 總結(jié)提高 1.解三角形的應(yīng)用題時應(yīng)注意： (1)生活中的常用名詞，如仰角，俯角，方位角，坡比等； (2)將所有已知條件化入同一個三角形中求解； (3)方程思想在解題中的運用. 2.解三角函數(shù)的綜合題時應(yīng)注意： (1)與已知基本函數(shù)對應(yīng)求解，即將ωx＋φ視為一個整體X； (2)將已知三角函數(shù)化為同一個角的一種三角函數(shù)，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x＋c； (3)換元方法在解題中的運用.