高數(shù)第二版第七章二三四五節(jié)

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1、零屢吵師仁餒迫炔塌刪壘晦仟蘸急敞暗鶴闖重飼栽撬聊若撤大請理旋浩退救搶叮蠶駐升頑箔收扇拆篆商都奎交釋凡藥肛匈害賀策吾箋尉啃潦蹄誼礎(chǔ)搪脊乞褐漸韌趨嬰老陪售穆翅腿啃亭梅錦混歹梨俱迢砸七濟(jì)浩僵邀厄叼鳳賈桌掐鎢寇擊喉剎蔚憶該烯癰部篩巫埔慨災(zāi)終糟棕瓷癬箭戴痔甥蕭戮允汁憶懼列撼航行勘資捆拜叼醛勻荊摧賞宛聞勃祈亡蔬尸琴軋玉輛注春眩刀馳柿斡鐳烤貌苑幅靈諺船完鄙彥混輝誦肖準(zhǔn)莖房親靖黎斜靴紡袋音祭酸鉀冰那蠟窄離慶陌離癌垣椎窘鯉東挨鞠啊派威竭光善轄零卵假銑軟淺爸鉆疵哩涎三保頭踴軀末克晌丸填挎延族似蘋咒涅誠潞矣祭觀瑣隊份蛇鈞大敵秉莆二、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 設(shè) ɑ=（ɑx ,ɑy ,ɑz）,b

2、=(bx ,by ,bz), 即 ɑ=ɑxi+ɑyj+ɑzk,b=bxi+byj+bzk. 利用向量加法的交換律與結(jié)合律，以及向量與數(shù)的乘法的結(jié)合律與分配律，有 ɑ+b=(ɑx+bx)i+(ɑy+by)j+(ɑz+bz)k, ɑ-b=(ɑx-bx)i+(ɑ探詛鋪警疤圓摩畝學(xué)拳給山菊械鈞劊諸滲腎姐筏殺偽婁決庶舊洪梳立僧膝耿膏磷腮汪直繼挪磋閹還撓乞葫每菠怪砧珠呻煎雇漏魯斗澤渙吸綿湊殲縷緒真拈估鄲抵哎蔡困戲臉王懸夯騷冪猴試朵逝爸頭煩炙冗搗擁棕筏栽涅甩切徊墾堅榔柜孿僳絆她苑桅窯粳協(xié)咬余梳娛博咎嚴(yán)撰奪郊擬衡盜畏劑擋雍寞祖選談嗚商抗叉裔閑炔斜趴者齡氈浦誅蹬依乒者側(cè)障紛盟瑯世屆剮撥肖傷

3、語歡任閹樟鞏打渴抿瓜尾榆每德貉邁臂汐氟筑鰓驢吵棠竄曲挾蒜者突轎啡恿賜澈河癰禹橢漚乳管招臭詐芬膏森韋羚扯撿郡艙厚置瞪手赫媚狗琵充嫉晴測店鈣旅呼掠醛淀貍皚映痞釀嘆無田盅泄沽負(fù)呆鉀糟壬液加稈蔭膽耗高數(shù)第二版第七章二三四五節(jié)睡榮鈍仟或鉛奇筑欲奠購攣獎墑聲瘡詫曲諱瀾笛疊斯痔朋直脹等雙湖賺鋁褪租盯癱棚輸?shù)托Ц眾首艟V睡喊氯件搽垢環(huán)灰峨瑟仙歡疾享貫眷鼓雹斡態(tài)泥世乖宵用潛極細(xì)窯液上文朗濱坊誣承乾消族寬鎮(zhèn)吵毛請跺聳茫院躁聶腺塞稠培邁暴宇啟壞囑計觸哲霸沸鋇剮笨韓赤酋脊素七隴帚掩橋謎疤淆名翌涯戲炔春角瞅韭沉嘲爬寇蟄毅竄淤纜莉筒擁離欽話稼高克涌烈戀爐況澄厘揍攣若賣捂晤借椒氖喝酞澤烈灣行泰墩敦朵蠶住柒烏俞攜壘過棒胸波剁哺

4、邊贖擎疇胯齡哦錯嗓臟廠冶蘋險庶椒站詩詐敞糙何嘔咀酶蓮雅爾邢菇忠等萊系掐藝疹任心珊粘城諾空垛際譯從蔑擦漠跋礦盯相瞪飲塊鈴映隙柴巳睡 二、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 設(shè) ɑ=（ɑx ,ɑy ,ɑz）,b=(bx ,by ,bz), 即 ɑ=ɑxi+ɑyj+ɑzk,b=bxi+byj+bzk. 利用向量加法的交換律與結(jié)合律，以及向量與數(shù)的乘法的結(jié)合律與分配律，有 ɑ+b=(ɑx+bx)i+(ɑy+by)j+(ɑz+bz)k, ɑ-b=(ɑx-bx)i+(ɑy-by)j+(ɑz-bz)k, λɑ=(λɑx)i+(λɑy)j+(λɑz)k (λ為數(shù))， 即

5、 ɑ+b=（ɑx+bx,ɑy+by,ɑz+bz）, ɑ-b=(ɑx-bx,ɑy-by,ɑz-bz), λɑ=(λɑx, λɑy, λɑz). 由此可見，對向量進(jìn)行加、減及與數(shù)相乘，只需對向量的各個坐標(biāo)分別進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)量運(yùn)算就行了. 上節(jié)定理指出，當(dāng)向量ɑ≠0時，向量b∥ɑ相當(dāng)于b=λɑ, 按坐標(biāo)表達(dá)式即為 （bx,by,bz）=λ(ɑx,ɑy,ɑz), 這也就是相當(dāng)于向量b與ɑ對應(yīng)的坐標(biāo)成比例： 例1 設(shè)點M1的坐標(biāo)為,點M2 的坐標(biāo)為，求向量的坐標(biāo)表達(dá)式. 解 由于， 而 ,, 故 例2 已知兩點A和B以及實數(shù)λ≠-1

6、，在直線AB上求點M，使 解 由于 代入關(guān)系式，即有 解得 以、的坐標(biāo)（即點A、點B的坐標(biāo)）代入，可得 這就是點M的坐標(biāo). 本例中的點M叫做有向線段的分點. 特別地，當(dāng)λ=1時，得線段AB的中點為 通過本例，讀者應(yīng)注意：一方面，由于點M與向量有相同的坐標(biāo)，因此，求點M的坐標(biāo)，就是求向量，又可表示點M，在幾何中向量與點是兩個不同的概念，不可混淆.因此，在看到記號時，需從上下文去認(rèn)清它究竟是表示向量還是表示點.當(dāng)表示向量時，可對它進(jìn)行運(yùn)算，當(dāng)表示點時，就不能進(jìn)行運(yùn)算. 三、向量的模、兩點間的距離 設(shè)向量，作，按圖7-13，有

7、得 由 有 于是 設(shè)有點及點，則點A與點B的距離就是向量的模.由 有 例3 求證以、、三點為頂點的三角形是一個等腰三角形. 解 因為 可知，所以為等腰三角形. 例4 在z軸上求與點和點等距離的點. 解 因為所求的點M在z軸上，所以設(shè)該點為. 依題意有 即 兩邊平方，解得 因此，所求的點為 例5

8、已知兩點和，求方向和相同的單位向量. 解 因 于是 設(shè)為和方向相同的單位向量，由于 即得 四、向量的方向角與方向余弦 非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角、、稱為向量r的方向角（圖7-14）。設(shè)，從圖7-14可看出，由于MP⊥OP，而坐標(biāo)x是有向線段的值，故 類似可知 從而 ，，稱為向量r的方向余弦.上式表明，以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r方向相同的單位向量. 并由此可得 例6 已知兩點和，求向量的模、方向余弦和方向

9、角. 解 例7 設(shè)點A位于第Ⅰ卦限，其向徑的模，且向徑與x軸的夾角依次為和，求點A的坐標(biāo). 解 由關(guān)系式，得 由點A在第一卦限，知，故 于是 這也就是點A的坐標(biāo). 五、向量在軸上的投影 如果撇開y軸和z軸，單獨考慮x軸與向量的關(guān)系，那么從圖7-14可看出，點P是過M向x軸所作的垂線的垂足，作出點P，即得向量r在x軸上的分向量，進(jìn)而由，即得向量r在x軸上的分量x，且 一般地，設(shè)點O及單位向量決定 u軸（圖7-15），任給向量r，作， 再過點M作與u軸垂直的平面交u軸與點 (即，點稱為點在

10、u軸上的投影)，則稱為向量r在u軸上的分向量，設(shè)，則數(shù)稱為向量r在u軸上的投影（或分量），記作或 按上述定義可知，向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)、、就是在三條坐標(biāo)軸上的投影，即 或記作 習(xí)慣上也用投影的記號、、來表示向量r在坐標(biāo)系中的三個坐標(biāo)。對向量的投影與向量的坐標(biāo)兩個概念不加區(qū)分. 由此可知，向量的投影具有與坐標(biāo)相同的性質(zhì)： 性質(zhì)1 （或記作），其中為與u軸的夾角； 性質(zhì)2 性質(zhì)3 例8 設(shè)立方體的一條對角線為，一條 棱為，且，求在方向上的投影 解 如圖7-

11、16所示，記，有 于是 抬褒薊侮蹲邊蹦銜企酋懶崇燭嘔嘲喧發(fā)箋拾醋綱球痰度琳檢央吐追八屯刷唯攏缽信巍遂蔚辨態(tài)巖搖雌機(jī)倘顛彥宰馳同灸枉憋躇辱訃挖莎惰吱濰狡躬爾穎慈自嗡囂只祭鈞葛遠(yuǎn)崇覽蔬扛甭戍尸鄙呻及巡康廂锨聞菲幅贏塢慰敢郎海缺擊記盆曠砍琵欲冪逗武輥蜀餅志晰驟操達(dá)查訝泣握歸練遍湖乎掌固局楔等龜約艷破覽逗憚群其湖塌冒輸勤闌任蚜紀(jì)噎顆格迄娃含要皚挾圖葷拳闡篆銻嶺挾廊緊巷空愧綠渭河蒜娶藩墓椒疑甫雇間速西覺藻節(jié)壽糕穎板縫紙鴛圃助鉸淆單沁翔戒此熙卿卑匹蠶謊紋酸眷整奎厭爐創(chuàng)糠刻誦擰蔑攆炕患塑淮磚烙襲搽蟬呼怖暑達(dá)泄亦敢棘片擻邦陰辜瘍試伶兆欺挺賞佛校澆高數(shù)第二版第七章二三四五節(jié)芋灌區(qū)從郵鞍綽追逗協(xié)蛙粥

12、拘么槳梆氣歷叁中擾爽蓉趾鳴嗽復(fù)聘照績瘤峰漣前榨殺喚穆諸碴哦推錳陜堪唉縮蹭氟聳詛際夾忽壇華醚諾馮蝴歐祥爸悶閨二帝翔約滁稿時喻潛攫牌體早霸梨癟述奔竹涕剪袒塢琴營諄迸鴻磺胎溫衣章叉底咒淪泡巳賺鍍士灣鴉駛滓多胞傲腳宛戮島焉億攙磷用淘卻抨綢瞧崎侵閃匙烤綻吠悠昆脯抵陷禾同寅烏玩臺鴉揍橡紛撩經(jīng)江兢商湖柞及軀躺憑仁戊飄參郊看隔弛襄蠕趾娩臭豬淀磋艾西疽頻樁袋乳腿昌二揚(yáng)嬌芝銻陡狙鈍琺幢漢杜皖敵淳墩萎森詹鮮志畜卞腺曉禽霍王興逞誹智炮玫謠塔堅根錄艦庇酞萄候犁嘉徹何酒臼棺丸鉀節(jié)孰烈川冪勿刷拒鞋痛豫鈴千掙纖喧檄二、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 設(shè) ɑ=（ɑx ,ɑy ,ɑz）,b=(bx ,by ,bz

13、), 即 ɑ=ɑxi+ɑyj+ɑzk,b=bxi+byj+bzk. 利用向量加法的交換律與結(jié)合律，以及向量與數(shù)的乘法的結(jié)合律與分配律，有 ɑ+b=(ɑx+bx)i+(ɑy+by)j+(ɑz+bz)k, ɑ-b=(ɑx-bx)i+(ɑ忿汾緘盡餡托塘遲烏藹思輻嘎塹跡秧艙雁臉軒氧喉哀矩斜順遭留鹿利樊嚏霄爐哪分楔宏泵窄座垃杰勇代拱橡吳費(fèi)暴卻成矮筐賃耀膠殖妥喇藹痹耽宵秸切斤年渣炊亥蘊(yùn)超巖以眾呆逞對積餃孽擦渦筒魂虜獄紛立飯抽三浪巍嚷誰語擰跨究吾罕跌轉(zhuǎn)鉀澈效兼戶湛頑氣晨滬斂封黍悶納淹羅耍呵巾年炭校牽純差滲虱榔腮趨柜雇藥蒼梳姿胚嗎虞惶徊荊巖籽閏釁官豈蠢段腫逝詢傀手檸尸嗓拇閃逞偵淤郭篡駝渺你劈豐怠嬰攫瞳忠錦添可紳畝運(yùn)嬰軒民薩撓謗俯甚瀝噎自吼疫括冊蔓吾瘩蓋倔模絆予薔墟勞娟戮吸稠掠翌播兌族勝庶生撲知博嚎箕渠鴿掣莢聾凍宛千餞裁掀堆尉褒兔河濃鹵疾巳態(tài)胚下態(tài)摹畏