高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第3章 三角函數、解三角形 第5節(jié) 兩角和與差及二倍角的三角函數學 案 文 北師大版

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1、 第五節(jié)　兩角和與差及二倍角的三角函數 [考綱傳真]　1.會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式.2.會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式.3.會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系.4.能運用上述公式進行簡單的三角恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶)． (對應學生用書第48頁) [基礎知識填充] 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝co

2、s_αcos_β?sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. [知識拓展] 1．有關公式的變形和逆用 (1)公式T(α±β)的變形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． (2)公式C2α的變形： ①sin2α＝(1－cos 2α)；

3、 ②cos2α＝(1＋cos 2α)． (3)公式的逆用： ①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝sin. 2．輔助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)存在實數α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)在銳角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不確定．(　　) (3)公式tan(α＋β)＝可以變形為tan α

4、＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對任意角α，β都成立．(　　) (4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值與a，b的值無關．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－　　　 B．　　　 C．－　　　 D． D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos

5、 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故選D．] 3．(20xx·全國卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，則sin 2α＝(　　) A．－ B．－ C． D． A　[∵sin α－cos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝， ∴sin 2α＝－. 故選A．] 4．(20xx·云南二次統(tǒng)一檢測)函數 f(x)＝sin x＋cos x的最小值為________. 【導學號：0009010

6、3】 －2　[函數f(x)＝2sin的最小值是－2.] 5．若銳角α，β滿足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，則α＋β＝________. 　[由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4， 可得＝，即tan(α＋β)＝. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.] (對應學生用書第49頁) 三角函數式的化簡 　(1)化簡：＝________. (2)化簡：. (1)2cos α　[原式＝＝2cos α.] (2)原式＝ ＝＝＝cos 2x. [規(guī)律方法]　1.三角函數式的化簡要遵循“三看”原則 一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角

7、進行合理的拆分，從而正確使用公式． 二看“函數名稱”，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式，最常見的是“切化弦”． 三看“結構特征”，分析結構特征，找到變形的方向． 2．三角函數式化簡的方法 弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪． [變式訓練1]　化簡sin2＋sin2－sin2α＝________. 【導學號：00090104】 　[法一：原式＝＋－sin2α ＝1－－sin2α＝1－cos 2α·cos －sin2α＝1－－＝. 法二：令α＝0，則原式＝＋＝.] 三角函數式的求值 角度1　給角求值 　(1)＝(　　)

8、 A．　　 　 B．　　 　 C．　　 　 D． (2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________. (1)C　(2)1　[(1)原式＝＝ ＝＝. (2)sin 50°(1＋tan 10°) ＝sin 50° ＝sin 50°× ＝sin 50°× ＝＝＝＝1.] 角度2　給值求值 　(1)(20xx·全國卷Ⅱ)若cos＝，則sin 2α＝(　　) A． B． C．－ D．－ (2)(20xx·安徽十校聯(lián)

9、考)已知α為銳角，且7sin α＝2cos 2α，則sin＝ (　　) A． B． C． D． (1)D　(2)A　[(1)∵cos＝， ∴sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－. (2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin2α)， 即4sin2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝. ∵α為銳角，∴cos α＝， ∴sin＝×＋×＝，故選A．] 角度3　給值求角 　(20xx·長春模擬)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β

10、均為銳角，則角β等于(　　) 【導學號：00090105】 A． B． C． D． C　[∵α，β均為銳角，∴－＜α－β＜. 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝. 又sin α＝，∴cos α＝， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. ∴β＝.] [規(guī)律方法]　1.“給角求值”中一般所給出的角都是非特殊角，應仔細觀察非特殊角與特殊角之間的關系，結合公式將非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數求解． 2．“給值求值”：給出某些角的三角函

11、數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系． 3．“給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，最后確定角． 三角變換的簡單應用 　(1)(20xx·全國卷Ⅲ)函數f(x)＝sin＋cos的最大值為(　　) A． B．1 C． D． (2)已知函數f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. ①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． (1)A　[法一：∵f(x)＝sin＋cos ＝＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x＋cos x＋sin

12、x ＝sin x＋cos x＝sin， ∴當x＝＋2kπ(k∈Z)時，f(x)取得最大值. 故選A． 法二：∵＋＝， ∴f(x)＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋sin ＝sin≤. ∴f(x)max＝. 故選A．] (2)①由已知，有 f(x)＝－ ＝－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. ②因為f(x)在區(qū)間上是減函數， 在區(qū)間上是增函數， 且f＝－，f＝－，f＝， 所以f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－. [規(guī)律方法]　1.進行三角恒等變換要

13、抓住：變角、變函數名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆用和變形使用． 2．把形如y＝asin x＋bcos x的函數化為y＝sin(x＋φ)的形式，可進一步研究函數的周期、單調性、最值與對稱性． [變式訓練2]　(20xx·北京高考)已知函數f(x)＝cos－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求證：當x∈時，f(x)≥－. [解]　(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)證明：因為－≤x≤，所以－≤2x＋≤， 所以sin≥sin＝－， 所以當x∈時，f(x)≥－.