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1、2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué)
第四課時(shí)
組合數(shù)的性質(zhì)1:.
一般地,從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素后,剩下個(gè)元素.因?yàn)閺膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合,與剩下的n - m個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng),所以從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),等于從這n個(gè)元素中取出n - m個(gè)元素的組合數(shù),即:.在這里,主要體現(xiàn):“取法”與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想
證明:∵
又 ,∴
說(shuō)明:①規(guī)定:;
②等式特點(diǎn):等式兩邊下標(biāo)同,上標(biāo)之和等于下標(biāo);
③此性質(zhì)作用:當(dāng)時(shí),計(jì)算可變?yōu)橛?jì)算,能夠使運(yùn)算簡(jiǎn)化.
例如===2002;
④或.
2.組合數(shù)的性質(zhì)2:=
2、+.
一般地,從這n+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是,這些組合可以分為兩類(lèi):一類(lèi)含有元素,一類(lèi)不含有.含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m -1個(gè)元素與組成的,共有個(gè);不含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成的,共有個(gè).根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理,可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì).在這里,主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想,“含與不含其元素”的分類(lèi)思想.
證明:
∴=+.
說(shuō)明:①公式特征:下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和,等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與大的相同的一個(gè)組合數(shù);
②此性質(zhì)的作用:恒等變形,簡(jiǎn)化運(yùn)算
例11.一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的7個(gè)白
3、球和1個(gè)黑球,
(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,共有多少種取法?
(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,使其中含有1個(gè)黑球,有多少種取法?
(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,使其中不含黑球,有多少種取法?
解:(1),或,;(2);(3).
例12.(1)計(jì)算:;
(2)求證:=++.
解:(1)原式;
證明:(2)右邊左邊
例13.解方程:(1);(2)解方程:.
解:(1)由原方程得或,∴或,
又由得且,∴原方程的解為或
上述求解過(guò)程中的不等式組可以不解,直接把和代入檢驗(yàn),這樣運(yùn)算量小得多.
(2)原方程可化為,即,∴,
∴,
∴,解得或,
經(jīng)檢驗(yàn):是原方程的解