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1、人教版高中數(shù)學(xué)精品資料
正態(tài)分布
教學(xué)目標(biāo):
知識與技能:掌握正態(tài)分布在實際生活中的意義和作用 。
過程與方法:結(jié)合正態(tài)曲線,加深對正態(tài)密度函數(shù)的理理。
情感、態(tài)度與價值觀:通過正態(tài)分布的圖形特征,歸納正態(tài)曲線的性質(zhì) 。
教學(xué)重點:正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N(0,1) 。
教學(xué)難點:通過正態(tài)分布的圖形特征,歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。
教具準(zhǔn)備:多媒體、實物投影儀 。
教學(xué)設(shè)想:在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口,正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中是最基本、最重要的一種分布。
內(nèi)容分析:
1.在實際遇到的許多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布在上一節(jié)課我們研究了當(dāng)樣
2、本容量無限增大時,頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線,總體密度曲線較科學(xué)地反映了總體分布但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象,學(xué)生不易理解,因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中是最基本、最重要的一種分布
2.正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來表述的其密度函數(shù)可寫成:
, (σ>0)
由此可見,正態(tài)分布是由它的平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的常把它記為
3.從形態(tài)上看,正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線,其對稱軸為x=μ,并在x=μ時取最大值從x=μ點開始,曲線向正負(fù)兩個方向遞減延伸,不斷逼近x軸,但永不與x軸相交,因此說曲線在正負(fù)兩個方向都是以x軸為漸
3、近線的 [來源:]
4.通過三組正態(tài)分布的曲線,可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征 [來源:]
5.由于正態(tài)分布是由其平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的,因此從某種意義上說,正態(tài)分布就有好多好多,這給我們深入研究帶來一定的困難但我們也發(fā)現(xiàn),許多正態(tài)分布中,重點研究N(0,1),其他的正態(tài)分布都可以通過轉(zhuǎn)化為N(0,1),我們把N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,其密度函數(shù)為,x∈(-∞,+∞),從而使正態(tài)分布的研究得以簡化
6.結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征,歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的作圖較難,教科書沒做要求,授課時可以借助幾何畫板作圖,學(xué)生只要了解大致的情形就行了,關(guān)鍵是能通過正態(tài)曲線
4、,引導(dǎo)學(xué)生歸納其性質(zhì) [來源:]
教學(xué)過程:
學(xué)生探究過程:
復(fù)習(xí)引入:
總體密度曲線:樣本容量越大,所分組數(shù)越多,各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率.設(shè)想樣本容量無限增大,分組的組距無限縮小,那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線.
它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率.根據(jù)這條曲線,可求出總體在區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線,直線x=a,x=b及x軸所圍圖形的面積.
觀察總體密度曲線的形狀,它具有“兩頭低,中間高,左右對稱”的特征,具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示:
式中的實數(shù)、是
5、參數(shù),分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差,的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.[來源:]
講解新課:
一般地,如果對于任何實數(shù),隨機變量X滿足
,
則稱 X 的分布為正態(tài)分布(normal distribution ) .正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定,因此正態(tài)分布常記作.如果隨機變量 X 服從正態(tài)分布,則記為X~.
經(jīng)驗表明,一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和,它就服從或近似服從正態(tài)分布.例如,高爾頓板試驗中,小球在下落過程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞,每次碰撞的結(jié)果使得小球隨機地向左或向右下落,因此小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標(biāo) X 是眾
6、多隨機碰撞的結(jié)果,所以它近似服從正態(tài)分布.在現(xiàn)實生活中,很多隨機變量都服從或近似地服從正態(tài)分布.例如長度測量誤差;某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等;一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等;正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等);某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等;一般都服從正態(tài)分布.因此,正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實際之中.正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要的地位.
說明:1參數(shù)是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本均值去佑計;是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù),可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計.
7、
2.早在 1733 年,法國數(shù)學(xué)家棣莫弗就用n!的近似公式得到了正態(tài)分布.之后,德國數(shù)學(xué)家高斯在研究測量誤差時從另一個角度導(dǎo)出了它,并研究了它的性質(zhì),因此,人們也稱正態(tài)分布為高斯分布.[來源:]
2.正態(tài)分布)是由均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的分布
通過固定其中一個值,討論均值與標(biāo)準(zhǔn)差對于正態(tài)曲線的影響
3.通過對三組正態(tài)曲線分析,得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱正態(tài)曲線的作圖,書中沒有做要求,教師也不必補上講課時教師可以應(yīng)用幾何畫板,形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形,結(jié)合前面均值與標(biāo)準(zhǔn)差對圖形的影響,引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì)
4.正態(tài)曲線
8、的性質(zhì):
(1)曲線在x軸的上方,與x軸不相交
(2)曲線關(guān)于直線x=μ對稱
(3)當(dāng)x=μ時,曲線位于最高點
(4)當(dāng)x<μ時,曲線上升(增函數(shù));當(dāng)x>μ時,曲線下降(減函數(shù))并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線,向它無限靠近
(5)μ一定時,曲線的形狀由σ確定
σ越大,曲線越“矮胖”,總體分布越分散;
σ越?。€越“瘦高”.總體分布越集中:
五條性質(zhì)中前三條學(xué)生較易掌握,后兩條較難理解,因此在講授時應(yīng)運用數(shù)形結(jié)合的原則,采用對比教學(xué)
5.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)μ=0、σ=l時,正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體,其相應(yīng)的函數(shù)表示式是,(-∞<x<+∞)
其相
9、應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題
講解范例:
例1.給出下列三個正態(tài)總體的函數(shù)表達式,請找出其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ
(1)
(2)
(3)
答案:(1)0,1;(2)1,2;(3)-1,0.5
例2求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在(-1,2)內(nèi)取值的概率.
解:利用等式有
==0.9772+0.8413-1=0.8151.
1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率問題:
[來源:Z|xx|k.Com]
對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1),是總體取值小于的概率,
即 ,[來源:]
其中,圖中
10、陰影部分的面積表示為概率只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)時,;而當(dāng)時,Φ(0)=0.5
2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位,為此專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”.在這個表中,對應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率,即 ,.
若,則.
利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,可以求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率,即直線,與正態(tài)曲線、x軸所圍成的曲邊梯形的面積.
3.非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在某區(qū)間內(nèi)取值的概率:可以通過轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體,然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可在這里重點掌握如何轉(zhuǎn)化首先要掌握正態(tài)總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,然后進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化
4.小概率事件的含
11、義
發(fā)生概率一般不超過5%的事件,即事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生 [來源:]
假設(shè)檢驗方法的基本思想:首先,假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體,然后,依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗中發(fā)生的原理對試驗結(jié)果進行分析
假設(shè)檢驗方法的操作程序,即“三步曲”
一是提出統(tǒng)計假設(shè),教科書中的統(tǒng)計假設(shè)總體是正態(tài)總體;
二是確定一次試驗中的a值是否落入(μ-3σ,μ+3σ);
三是作出判斷
講解范例:
例1. 若x~N(0,1),求(l)P(-2.32<x<1.2);(2)P(x>2).
解:(1)P(-2.32<x<1.2)=
12、F(1.2)-F(-2.32)
=F(1.2)-[1-F(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.
(2)P(x>2)=1-P(x<2)=1-F(2)=l-0.9772=0.0228.
例2.利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概率:[來源:]
(1)在N(1,4)下,求
(2)在N(μ,σ2)下,求F(μ-σ,μ+σ);
F(μ-1.84σ,μ+1.84σ);F(μ-2σ,μ+2σ);
F(μ-3σ,μ+3σ)
解:(1)==Φ(1)=0.8413
(2)F(μ+σ)==Φ(1)=0.8413
F(μ-
13、σ)==Φ(-1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587
F(μ-σ,μ+σ)=F(μ+σ)-F(μ-σ)=0.8413-0.1587=0.6826
F(μ-1.84σ,μ+1.84σ)=F(μ+1.84σ)-F(μ-1.84σ)=0.9342
F(μ-2σ,μ+2σ)=F(μ+2σ)-F(μ-2σ)=0.954
F(μ-3σ,μ+3σ)=F(μ+3σ)-F(μ-3σ)=0.997
對于正態(tài)總體取值的概率:
在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)、(μ-2σ,μ+2σ)、(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi)取值的概率分別為68.3%、95.4%、99.7%因此我們時常只在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ
14、)內(nèi)研究正態(tài)總體分布情況,而忽略其中很小的一部分
例3.某正態(tài)總體函數(shù)的概率密度函數(shù)是偶函數(shù),而且該函數(shù)的最大值為,求總體落入?yún)^(qū)間(-1.2,0.2)之間的概率
解:正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是,它是偶函數(shù),說明μ=0,的最大值為=,所以σ=1,這個正態(tài)分布就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
鞏固練習(xí):書本第74頁 1,2,3
課后作業(yè): 書本第75頁 習(xí)題2. 4 A組 1 , 2 B組1 , 2
教學(xué)反思:
1.在實際遇到的許多隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布在上一節(jié)課我們研究了當(dāng)樣本容量無限增大時,頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線,總體密度曲線較科學(xué)地反映了總體分布但總
15、體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象,學(xué)生不易理解,因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口正態(tài)分布在統(tǒng)計學(xué)中是最基本、最重要的一種分布
2.正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來表述的其密度函數(shù)可寫成:[來源:]
, (σ>0)
由此可見,正態(tài)分布是由它的平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的常把它記為
3.從形態(tài)上看,正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線,其對稱軸為x=μ,并在x=μ時取最大值從x=μ點開始,曲線向正負(fù)兩個方向遞減延伸,不斷逼近x軸,但永不與x軸相交,因此說曲線在正負(fù)兩個方向都是以x軸為漸近線的
4.通過三組正態(tài)分布的曲線,可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征。由于正態(tài)分布是由其平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的,因此從某種意義上說,正態(tài)分布就有好多好多,這給我們深入研究帶來一定的困難但我們也發(fā)現(xiàn),許多正態(tài)分布中,重點研究N(0,1),其他的正態(tài)分布都可以通過轉(zhuǎn)化為N(0,1),我們把N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,其密度函數(shù)為,x∈(-∞,+∞),從而使正態(tài)分布的研究得以簡化。結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征,歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的作圖較難,教科書沒做要求,授課時可以借助幾何畫板作圖,學(xué)生只要了解大致的情形就行了,關(guān)鍵是能通過正態(tài)曲線,引導(dǎo)學(xué)生歸納其性質(zhì)。