人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】3.1空間向量及其運(yùn)算練習(xí)導(dǎo)學(xué)案

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1、2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué) §3.1 空間向量及其運(yùn)算（練習(xí)） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 熟練掌握空間向量的加法，減法，向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算及其坐標(biāo)表示； 2. 熟練掌握空間線段的長(zhǎng)度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練用這些公式解決有關(guān)問(wèn)題. 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、課前準(zhǔn)備：（閱讀課本p115） 復(fù)習(xí)： 1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，記著 ； 具有 叫單

2、位向量. 2. 向量的加法和減法的運(yùn)算法則有 法則 和 法則. 3.實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè) 量，記作 ，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下： (1)|λa|＝ . (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與A. ； 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與A. ； 當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝ . 4. 向量加法和數(shù)乘向量運(yùn)算律： 交換律：a＋b＝ 結(jié)合律：(a＋b)＋c＝ 數(shù)乘分配律：λ(a＋b)＝ 5.① 表示空間向量的

3、所在的直線互相 或 ，則這些向量叫共線向量，也叫平行向量. ②空間向量共線定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（）， 的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)， 使得 ； ③ 推論： l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，對(duì)空間的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是 6. 空間向量共面： ①共面向量： 同一平面的向量. ②定理：對(duì)空間兩個(gè)不共線向量，向量與向量共面的充要條件是存在 ， 使得 . ③推論：空間一點(diǎn)P與不

4、在同一直線上的三點(diǎn)A,B,C共面的充要條件是： ⑴ 存在 ，使 ⑵ 對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有 7. 向量的數(shù)量積： . 8. 單位正交分解：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相 ，長(zhǎng)度都為 ，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示. 9.空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz和向量a，且設(shè)i、j、k為 x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，則存在有序?qū)崝?shù)組，使得，則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)組為向量a的坐標(biāo)，記著 .

5、 10. 設(shè)A，B，則＝ . 11. 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算： 設(shè)a＝，b＝，則 ⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ； ⑶λa＝ ； ⑷a·b＝ ※ 動(dòng)手試試 1．在下列命題中：①若a、b共線，則a、b所在的直線平行；②若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；③若a、b、c三向量?jī)蓛晒裁?，則a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為p＝xa＋yb＋zc．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ） A．0

6、B. 1 C. 2 D. 3 2．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（ ） A．有相同起點(diǎn)的向量 B．等長(zhǎng)向量 C．共面向量 D．不共面向量 3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2）， c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ=（ ） A. B. C. D. 4．若a、b均為非零向量，則是a與b共線的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件 5．已知△ABC的

7、三個(gè)頂點(diǎn)為A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長(zhǎng)為（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6. 則（ ） A．－15 B．－5 C．－3 D．－1 ※ 典型例題 例1 如圖，空間四邊形OABC中，， ，點(diǎn)M在OA上，且OM=2MA,點(diǎn)為的中點(diǎn)，則 . 變式：如圖，平行六面體中，，,點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在上，且,用基底表示下列向量： ⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ .

8、例2 如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：. 變式：正三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)N，使得 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) ※ 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分： 1．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，， 則（ ） A. B. C.

9、 D. 2.、（ ） A． B． 與不平行也不垂直 C. ， D．以上情況都可能. 3. 已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，則向量與之間的夾角為（ ） A．30° B．45° C．60° D．以上都不對(duì) 4.已知且與互相垂直，則的值是（ ） A. .1 B. C. D. 5. 若A(m＋1，n－1,3)， B. (2m,n,m－2n)， C(m＋3,n－3,9)三點(diǎn)共線，則m+n= 課后作業(yè) 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn). ⑴ 求證：； ⑵ 求與所成角的余弦； ⑶ 求的長(zhǎng).