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第五節(jié) 數(shù)列的綜合問題
[全盤鞏固]
1．已知各項均不為0的等差數(shù)列{an}，滿足2a3－a＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝( )
A．2 B．4 C．8 D．16
解析：選D 因為{an}為等差數(shù)列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化為4a7－a＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)，又{bn}為等比數(shù)列，所以b6b8＝b＝a＝16.
2．已知等比數(shù)列{an}中的各項都是正數(shù)，且5a1，a3,4a2成等差數(shù)列，則＝( )
A．－1 B
2、．1 C．52n D．52n－1
解析：選C 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，則依題意有a3＝5a1＋4a2，即a1q2＝5a1＋4a1q，q2－4q－5＝0，解得q＝－1或q＝5.又q>0，因此q＝5，所以＝＝q2n＝52n.
3．在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的兩個點，若1，x1，x2,4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2,8依次成等比數(shù)列，則△OP1P2的面積是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選A 根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，
3、可知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4.∴P1(2,2)，P2(3,4)．∴S△OP1P2＝1.
4．已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所過定點的橫、縱坐標(biāo)分別是等差數(shù)列{an}的第二項與第三項，若bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T10等于( )
A. B. C. D.
解析：選B 由y＝loga(x－1)＋3恒過定點(2,3)，即a2＝2，a3＝3，又{an}為等差數(shù)列，∴an＝n，n∈N*.∴bn＝，∴T10＝－＋－＋…＋－＝1－＝.
5．(2014·寧波模擬)已知數(shù)列{an}滿足a
4、1＝0，an＋1＝an＋2＋1，則a13＝( )
A．143 B．156 C．168 D．195
解析：選C 由an＋1＝an＋2＋1，可知an＋1＋1＝an＋1＋2＋1＝(＋1)2，即＝＋1，故數(shù)列{}是公差為1的等差數(shù)列，所以＝＋12＝13，則a13＝168.
6．?dāng)?shù)列{an}的通項an＝n2，其前n項和為Sn，則S30為( )
A．470 B．490 C．495 D．510
解析：選A 注意到an＝n2cos，且函數(shù)y＝cos的最小正周期是3，因此當(dāng)n是正整數(shù)時，an＋an＋1＋an＋2＝－n2－(n＋1)2＋(n
5、＋2)2＝3n＋，其中n＝1,4，7，…，S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a28＋a29＋a30)＝＋＋…＋＝3×＋×10＝470.
7．(2013·江西高考)某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________．
解析：由題意知第n天植樹2n棵，則前n天共植樹2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，則2n＋1≥102，又25＋1＝26＝64,26＋1＝27＝128，∴n≥6.∴n的最小值為6.
答案：6
8．?dāng)?shù)列{an}是公
6、差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項，則數(shù)列{bn}的公比為________．
解析：由題意知a＝a1·a7，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴等比數(shù)列{bn}的公比q＝＝＝2.
答案：2
9．(2014·臺州模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且＝，S7－S4＝15，則Sn的最小值為______．
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意有由此解得a1＝－15，d＝4，an＝4n－19，Sn＝＝2n2－17n＝22－2，因此當(dāng)n＝4時，Sn取得最小值2n2－17n＝2×42－17
7、×4＝－36.
答案：－36
10．(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.
由題意，a＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，
于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.
故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項為25，公差為－6
8、的等差數(shù)列．從而Sn＝(a1＋a3n－2)＝·(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
11．已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a2·a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)若1<i<21，a1，ai，a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項，求i的值；
(2)設(shè)bn＝，是否存在一個最小的常數(shù)m使得b1＋b2＋…＋bn<m對于任意的正整數(shù)n均成立？若存在，求出常數(shù)m；若不存在，請說明理由．
解：(1)∵{an}為等差數(shù)列，
∴a1＋a5＝a2＋a4＝18，
又a2·a4＝65，
∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的兩個根
9、，[來源:[來源:]
又數(shù)列{an}的公差d>0，
∴a2<a4，∴a2＝5，a4＝13.[來源:]
∴
∴a1＝1，d＝4，∴an＝4n－3.
∵1<i<21，a1，ai，a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項，
∴a1·a21＝a，
即1×81＝(4i－3)2，
解得i＝3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝，
b1＋b2＋…＋bn
＝
＝.
∵＝－<，
∴存在m＝使b1＋b2＋…＋bn<m對于任意的正整數(shù)n均成立．
12．已知正項數(shù)列{an}，{bn}滿足：a1
10、＝3，a2＝6，{bn}是等差數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都有bn，，bn＋1成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)設(shè)Sn＝＋＋…＋，試比較2Sn與2－的大?。?
解：(1)∵對任意正整數(shù)n，都有bn，，bn＋1成等比數(shù)列，且數(shù)列{an}，{bn}均為正項數(shù)列，
∴an＝bnbn＋1(n∈N*)．
由a1＝3，a2＝6得
又{bn}為等差數(shù)列，即有b1＋b3＝2b2，
解得b1＝，b2＝，
∴數(shù)列{bn}是首項為，公差為的等差數(shù)列．
∴數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝(n∈N*)．
(2)由(1)得，對任意n∈N*，
an＝bnbn＋1＝，
從而有＝＝2，
∴
11、Sn＝2＋＋…＋－＝1－.
∴2Sn＝2－.
又2－＝2－，
∴2Sn－＝－＝.
∴當(dāng)n＝1，n＝2時，2Sn<2－；
當(dāng)n≥3時，2Sn>2－.
[沖擊名校]
已知Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和，S，S，…，S，…是以3為首項，以1為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{bn}為無窮等比數(shù)列，其前四項之和為120，第二項與第四項之和為90.
(1)求an，bn；
(2)從數(shù)列中能否挑出唯一的無窮等比數(shù)列，使它的各項和等于？若能的話，請寫出這個數(shù)列的第一項和公比；若不能的話，請說明理由．
解：(1){Sn}是以3為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
所以S＝3＋(n－1)＝n＋2
12、.
因為an>0，所以Sn＝(n∈N*)，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－，
又a1＝S1＝，所以an＝(n∈N*)，
設(shè){bn}的首項為b1，公比為q，則有
所以即bn＝3n(n∈N*)．
(2)＝n，設(shè)可以挑出一個無窮等比數(shù)列{cn}，
首項為c1＝p，公比為k(p，k∈N*)，它的各項和等于＝，則有＝，
所以p＝，[來源:]
當(dāng)p≥k時3p－3p－k＝8，即3p－k(3k－1)＝8，
因為p，k∈N*，所以只有當(dāng)p－k＝0，k＝2，即p＝k＝2時，數(shù)列{cn}的各項和為.[來源:]
當(dāng)p<k時，3k－1＝8·3k－p，因為k>p右邊
13、含有3的因數(shù)而左邊非3的倍數(shù)，不存在p，k∈N*，
所以存在唯一的等比數(shù)列{cn}，首項為，公比為，使它的各項和等于.
[高頻滾動]
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＋n＝2an(n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.
解：(1)證明：因為Sn＋n＝2an，即Sn＝2an－n，
所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．
兩式相減化簡，得an＝2an－1＋1.
所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)．
所以
14、數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列．
因為Sn＋n＝2an，令n＝1，得a1＝1.
a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.
(2)因為bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，
所以bn＝(2n＋1)·2n.
所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，①
2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，②
①－②，得
－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1
＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1
＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1
＝－2－(2n－1)·2n＋1.
所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.
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