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第三節(jié) 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞
[全盤鞏固]
1．(2013福州模擬)命題“?x∈R，x＞0”的否定是( )
A．?x0∈R，x0＜0 B．?x∈R，x≤0
C．?x∈R，x＜0 D．?x0∈R，x0≤0
解析：選D 全稱命題“?x∈R，x＞0”的否定是把量詞“?”改為“?”，并對結(jié)論進(jìn)行否定，把“＞”改為“≤”，即“?x0∈R，x0≤0”．
2．下列命題為真命題的是( )
A．?x0∈Z,1<4x0<3 B．?x0∈Z,5x0＋1＝0
C．?x∈R，x2－1＝0 D．
2、?x∈R，x2＋x＋2>0
解析：選D 1<4x0<3，0，故D為真命題．
3．(2014衢州模擬)已知命題p：存在x0∈(0，＋∞)，＜；命題q：△ABC中，若sin A＞sinB，則A＞B，則下列命題為真命題的是( )
A．p∧q B．p∨()
C．()∧q D．p∧()
解析：選C 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，＞，故命題p為假命題；在△ABC中，sin A＞sin B?a＞b?A
3、＞B，故命題q為真命題．所以()∧q為真命題．
4．已知命題p：?x0∈，sin x0＝，則為( )
A．?x∈，sin x＝ B．?x∈，sin x≠
C．?x0∈，sin x0≠ D．?x0∈，sin x0>
解析：選B 依題意得，命題應(yīng)為：?x∈，sin x≠.
5．(2014煙臺模擬)下列命題為真命題的是( )[來源:]
A．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的否命題是“若x2－3x＋2＝0，則x≠1”
B．命題p：?x0∈R，sin x0＞1，則：?x∈R，sin x≤1
C．若p且q為假命題，則p、q均為假命題
D．“φ＝＋2kπ(k∈Z)”是“函數(shù)
4、y＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)”的充要條件
解析：選B 對于A，命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的否命題是“若x2－3x＋2≠0，則x≠1”，A為假命題；由全稱命題的否定是特稱命題知，B為真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，p且q為假命題，故C為假命題；函數(shù)y＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)的充要條件為φ＝＋kπ(k∈Z)，故D為假命題．
6．(2014嘉興模擬)已知命題p：拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為y＝－；命題q：若函數(shù)f(x＋1)為偶函數(shù)，則f(x)關(guān)于x＝1對稱．則下列命題為真命題的是( )
A．p∧q B．p∨()[來源:]
C．()∧()
5、D．p∨q
解析：選D 拋物線y＝2x2，即x2＝y(tǒng)的準(zhǔn)線方程是y＝－；當(dāng)函數(shù)f(x＋1)為偶函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱(注：將函數(shù)f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位長度可得到函數(shù)f(x＋1)的圖象)，因此命題p是假命題，q是真命題，p∧q、p∨()、()∧()都是假命題，p∨q是真命題．
7．命題：“對任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有實(shí)根”的否定是________．
解析：全稱命題的否定是特稱命題，故原命題的否定是“存在k＞0，方程x2＋x－k＝0無實(shí)根”．
答案：存在k＞0，方程x2＋x－k＝0無實(shí)根
8．若命題“?x0
6、∈R,2x－3ax0＋9＜0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：因?yàn)椤?x0∈R,2x－3ax0＋9＜0”為假命題，則“?x∈R,2x2－3ax＋9≥0”為真命題．因此Δ＝9a2－429≤0，故－2≤a≤2.
答案：[－2，2]
9．命題p：若a，b∈R，則ab＝0是a＝0的充分條件；命題q：函數(shù)y＝的定義域是[3，＋∞)，則“p∨q”、“p∧q”、“”中為真命題的是________．
解析：依題意知p假，q真，所以p∨q，為真．
答案：p∨q，
10．寫出下列命題的否定，并判斷真假．
(1)q：?x∈R，x不是5x－12＝0的根；
(2)r：有些素?cái)?shù)是奇
7、數(shù)；
(3)s：?x0∈R，|x0|>0.
解：(1) ：?x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命題．
(2) ：每一個(gè)素?cái)?shù)都不是奇數(shù)，假命題．
(3) ：?x∈R，|x|≤0，假命題．[來源:]
11．已知c＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y＝cx為減函數(shù)，命題q：?x∈，x＋＞c.如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．
解：若命題p為真，則0＜c＜1.
若命題q為真，則c＜min，
又當(dāng)x∈時(shí)，2≤x＋≤，
則必須且只需2＞c，即c＜2.
因?yàn)閜∨q為真命題，p∧q為假命題，
所以p、q必有一真一假．
當(dāng)p為真，q為假時(shí)，無解；
當(dāng)p為假，q為真時(shí)，所以1
8、≤c＜2.
綜上，c的取值范圍為[1,2)．
12．已知命題p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命題q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若“p且q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：由“p且q”為真命題，得p，q都是真命題．
p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，
所以命題p：a≤1；
q：設(shè)f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f(x0)＝0，
只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a2＋a－2≥0?a≥1或a≤－2，
所以命題q：a≥1或a≤－2.
由得a＝1或a≤－2.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪{1}．
[沖擊名
9、校]
1．若函數(shù)f(x)，g(x)的定義域和值域都是R，則f(x)＞g(x)(x∈R)成立的充要條件是( )[來源:]
A．?x0∈R，f(x0)＞g(x0)
B．有無窮多個(gè)x∈R，使得f(x)＞g(x)
C．?x∈R，f(x)＞g(x)＋1
D．R中不存在x使得f(x)≤g(x)
解析：選D 由于要恒成立，也就是對定義域內(nèi)所有的x都成立，所以對于選項(xiàng)A來說顯然不成立；而對于B，由于在區(qū)間(0,1)內(nèi)也有無窮個(gè)數(shù)，因此無窮性是說明不了任意性的，所以也不成立；對于C，由C的條件?x∈R，f(x)＞g(x)＋1可以推導(dǎo)原結(jié)論f(x)＞g(x)恒成立是顯然的，即充分性成立，但f(x)＞
10、g(x)成立時(shí)不一定有f(x)＞g(x)＋1，比如f(x)＝x2＋0.5，g(x)＝x2，因此必要性不成立；對于D，必要性顯然成立，由R中不存在x使f(x)≤g(x)，根據(jù)逆否命題與原命題的等價(jià)性，則有對于任意x∈R都有f(x)＞g(x)，即充分性也成立，所以選D.
2．(2014濰坊模擬)已知f(x)＝a(x＋2a)(x－a－3)，g(x)＝2－x－2同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：
①?x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；
②?x0∈(1，＋∞)，f(x0)g(x0)＜0成立．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B．(－∞，－4)∪
C．(－4，－1)∪(－1,
11、0) D．(－4，－2)∪
解析：選C 當(dāng)x＜－1時(shí)，g(x)＞0，當(dāng)x＞－1時(shí)，g(x)＜0，a＝0時(shí)不符合要求；a＞0時(shí)，當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)，g(x)均大于零，也不符合要求；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象開口向下，其零點(diǎn)為－2a，a＋3，結(jié)合函數(shù)圖象，只要函數(shù)f(x)較小的零點(diǎn)大于－1、較大的零點(diǎn)大于1即滿足條件，即實(shí)數(shù)a滿足或解得－1＜a＜0或－4＜a＜－1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－4，－1)∪(－1,0)．
[高頻滾動]
1．下列有關(guān)命題的說法正確的是( )
A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0
12、”的必要不充分條件
C．命題“?x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1＜0”
D．命題“若x＝y(tǒng)，則sin x＝sin y”的逆否命題為真命題
解析：選D 在A中，命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，故A錯(cuò)誤；在B中，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤；在C中，命題“?x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定為“?x∈R，x2＋x＋1≥0”，故C錯(cuò)誤；在D中，逆否命題與原命題同真假，易知原命題為真，則其逆否命題也為真命題，故D正確．
2．設(shè)集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，則“x∈A∪B”是“x∈C”的( )[來源:]
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選C 化簡得A＝{x|x>2}，B＝{x|x<0}，
C＝{x|x<0，或x>2}．
∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要條件．
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第一章 ：第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞演練知能檢測
