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第六節(jié) 幾 何 概 型
[全盤鞏固]
1．如圖，EFGH是以O為圓心、半徑為1的圓的內接正方形．將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，則P(A)＝( )
A. B. C．2 D.
解析：選D 豆子落在正方形EFGH內是隨機的，故可以認為豆子落在正方形EFGH內任一點是等可能的，屬于幾何概型．因為圓的半徑為1，所以正方形EFGH的邊長是，
2、則正方形EFGH的面積是2，又圓的面積是π，所以P(A)＝.
2.
[來源:]
如圖，在矩形ABCD中，點E為邊CD的中點．若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等于( )
A. B. C. D.
解析：選C 不妨設矩形的長、寬分別為a、b，于是S矩形＝ab，S△ABE＝ab，由幾何概型的概率公式可知P＝＝.
3．(2012·遼寧高考)在長為12 cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為( )
A.
3、 B. C. D.
解析：選C 設AC＝x cm，
則CB＝(12－x)cm(0<x<12)，
所以矩形面積為x(12－x)cm2，
由x(12－x)<32，解得x>8或x<4，
所以0<x<4或8<x<12.
故所求概率為＝.
4．(2014·金華模擬)在區(qū)間[－5,5]內隨機地取出一個數(shù)a，則恰好使1是關于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一個解的概率為( )
A．0.3 B．0.4 C．0.6
4、 D．0.7
解析：選D 由已知得2＋a－a2<0，解得a>2或a<－1.故當a∈[－5，－1)∪(2,5]時，1是關于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一個解．
故所求概率為P＝＝＝0.7.
5．(2014·長沙模擬)設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在D內任取一點P(x，y)，若滿足2x＋y≤b的概率大于，則實數(shù)b的取值范圍是( )
A．(0,1) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：選C 區(qū)域D表示以點O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0，1)為頂點的正方形，其面積
5、S1＝1.根據(jù)題意，b>0，設正方形OABC位于直線2x＋y＝b下方部分面積為S2，因為直線2x＋y＝b在x軸，y軸上的截距分別為，b，則當0<b≤1時，S2＝·＝≤.故題設，P＝＝S2>，則b>1.
6．(2013·湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機地取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則＝( )
A. B. C. D.
解析：選D 依題可知，E，F(xiàn)是CD上的四等分點，P只能在線段EF上且BF＝AB.不妨設CD＝AB＝a，BC＝b，則
6、有b2＋2＝a2，即b2＝a2，故＝.
7．在區(qū)間[0,1]上隨意選擇兩個實數(shù)x，y，則使≤1成立的概率為________．
解析：D為直線x＝0，x＝1，y＝0，y＝1圍成的正方形區(qū)域，而d為由≤1，即x2＋y2≤1(x≥0，y≥0)圍成的單位圓在第一象限內部分(四分之一個圓)，故所求概率為＝＝.
答案：
8．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于的概率是________．
解析：要使S△PBC>S△ABC，只需PB>AB.
故所求概率為P＝＝.
答案：
9．小張通過做游戲的方式來確定
7、周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書．則小張周末不在家看書的概率為________．
解析：因為去看電影的概率
P1＝＝，
去打籃球的概率
P2＝＝，
所以小張周末不在家看書的概率為
P＝＋＝.
答案：
10.如圖，在單位圓O的某一直徑上隨機地取一點Q，求過點Q且與該直徑垂直的弦長不超過1的概率．
[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
解：弦長不超過1，即|OQ|≥，而Q點在直徑AB上是隨機的，事件A＝{弦長超過1}．
由幾何概型的概率公式得P(A)＝＝.
所以弦長
8、不超過1的概率為1－P(A)＝1－.
11．城市公交車的數(shù)量太多容易造成資源的浪費，太少又難以滿足乘客需求，為此，某市公交公司在某站臺60名候車乘客中隨機抽取15人，將他們的候車時間作為樣本分成5組，如下表所示(單位：min)：[來源:]
組別
候車時間
人數(shù)
一
[0,5)
2
二
[5,10)
6
三
[10,15)
4
四
[15,20)
2
五
[20,25]
1
(1)求這15名乘客的平均候車時間；
(2)估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)；
(3)若從上表第三、四組的6人中選2人作進一步問卷調查，求抽到的2人恰好來自不同
9、組的概率．
解：(1)×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝×157.5＝10.5，
故這15名乘客的平均候車時間為10.5 min.
(2)由幾何概型的概率計算公式可得，候車時間少于10分鐘的概率為＝，所以候車時間少于10分鐘的人數(shù)為60×＝32.
(3)將第三組乘客編號為a1，a2，a3，a4，第四組乘客編號為b1，b2.從6人中任選2人的所有可能情況為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2
10、，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15種，其中2人恰好來自不同組包含8種可能情況，故所求概率為.
12．(2014·濟南模擬)某幼兒園在“六·一兒童節(jié)”開展了一次親子活動，此次活動由寶寶和父母之一(后面以家長代稱)共同完成，幼兒園提供了兩種游戲方案：
方案一：寶寶和家長同時各拋擲一枚質地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別是1,2,3,4,5,6)，寶寶所得點數(shù)記為x，家長所得點數(shù)記為y；
方案二：寶寶和家長同時按下自己手中一個計算器的按鈕(此計算器只能產(chǎn)生區(qū)間[1,6]的隨機實數(shù)
11、)，寶寶的計算器產(chǎn)生的隨機實數(shù)記為m，家長的計算器產(chǎn)生的隨機實數(shù)記為n.
(1)在方案一中，若x＋1＝2y，則獎勵寶寶一朵小紅花，求拋擲一次后寶寶得到一朵小紅花的概率；
(2)在方案二中，若m>2n，則獎勵寶寶一本興趣讀物，求按下一次按鈕后寶寶得到一本興趣讀物的概率．
解析：(1)由題意，寶寶和家長所得點數(shù)x，y所有取值所得基本事件總數(shù)為36.
而滿足x＋1＝2y的(x，y)有：(1,1)，(3,2)，(5,3)共3組．[來源:]
則拋擲一次后寶寶得小紅花的概率P1＝＝.
(2)由題意，m，n∈[1,6]，則(m，n)所有取值組成一個邊長為5的正方形，其面積為25.
(m，
12、n)滿足不等式m>2n，所占區(qū)域面積為×4×2＝4.
則按下一次按鈕后寶寶得興趣讀物一本的概率P2＝.
[沖擊名校]
設不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到直線x－4＝0的距離大于2的概率是( )[來源:]
A. B. C. D.
解析：選C 作出線性約束條件的平面區(qū)域D，而到直線x－4＝0的距離大于2的區(qū)域為陰影部分所示，其面積為S1＝×(2＋2)×[2－(－6)]＝16，區(qū)域D的面積為S2＝×(3＋2)×[4－(－6)]＝25，由幾何概型的計算公式可得P＝.
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高考數(shù)學復習：第十章 ：第六節(jié)幾何概型演練知能檢測
