《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第九章 ：第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第九章 ：第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算突破熱點(diǎn)題型（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第一節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
[來(lái)源:]
考點(diǎn)一
導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
[例1] 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：[來(lái)源:]
(1)y＝(1－)；(2)y＝；
(3)y＝tan x； (4)y＝3xex－2x＋e；
(5)y＝.
[自主解答] (1)∵y＝(1－)＝－＝x－－x，
∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.
(2)y′＝′＝＝＝.
(3)y′＝′＝＝＝.
(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln 3)ex＋3xex－2xln 2＝
2、(ln 3＋1)(3e)x－2xln 2.
(5)y′＝
＝＝.
【互動(dòng)探究】
若將本例(3)中“tan x”改為“sin ”，應(yīng)如何求解？
解：∵y＝sin ＝－sin cos ＝－sin x，∴y′＝－cos x．
【方法規(guī)律】
導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法
(1)連乘積形式：先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)．
(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)．
(3)對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo)．
(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)．
(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)．
(6)復(fù)合函數(shù)：確
3、定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)．
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝＋；(4)y＝；(5)y＝＋e2x.
解：(1)∵y＝＝x－＋x3＋，
y′＝(x－)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′＝－x－＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x.
(2)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.
(3)∵y＝＋＝，∴y′＝′＝＝.
(4)∵y＝＝cos x－sin x，∴y′＝－sin x－cos x.
(5)y′＝(3－x)－(3－x)′＋e2x(2x)′＝－(3－x)
4、－＋2e2x.
[例2] (1)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(1)＝( )
A．－e B．－1 C．1 D．e
(2)等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝( )
A．26 B．29 C．212 D．215
(3)(2013江西高考)設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________.
[自主解答] (1)∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(
5、x)＝′＋(ln x)′＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1.
(2)因?yàn)閒′(x)＝x′＋′x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋′x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋0＝a1a2…a8.因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.
(3)令t＝ex，故x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，所以f′(1)＝2.
[答案] (1)B (2)C (3)2
【方法規(guī)律】
導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的兩個(gè)技巧
(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
6、要準(zhǔn)確地把函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．
(2)在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，記準(zhǔn)公式，預(yù)防犯運(yùn)算錯(cuò)誤．
1．若函數(shù)f(x)＝cos x＋2xf′，則f與f的大小關(guān)系是( )
A．f＝f B．f>f[來(lái)源:]
C．ff.
2．(2014臺(tái)州模擬)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是
7、fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2 014(x)等于( )
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
解析：選C f1(x)＝sin x＋cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(sin x＋cos x)′＝cos x－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x－cos x，
f5(x)＝f4′(x)＝sin
8、x＋cos x.故fn(x)是以4為周期的周期函數(shù)，又2 014＝5034＋2，
∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x＋cos x.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每年高考的必考內(nèi)容，考查題型既有選擇題、填空題，也常出現(xiàn)在解答題的第(1)問(wèn)中，難度偏小，屬中低檔題．
2．高考對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：
(1)已知切點(diǎn)求切線方程；
(2)已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)或曲線方程；
(3)已知曲線求切線傾斜角的取值范圍．
[例3] (1)(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)曲線y＝x(3lnx＋1)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程
9、為_(kāi)_______________．
(2)(2013廣東高考)若曲線y＝ax2－ln x在點(diǎn)(1，a)處的切線平行于x軸，則a＝________.
(3)(2013江西高考)若曲線y＝xα＋1(α∈R)在點(diǎn)(1,2)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則α＝________.[來(lái)源:數(shù)理化網(wǎng)]
(4)(2014南京模擬)已知點(diǎn)P在曲線y＝上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是________．
[自主解答] (1)y′＝3ln x＋1＋x＝3ln x＋4，k＝y(tǒng)′|x＝1＝4，故切線方程為y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
(2)∵f(x)＝ax2－ln x，則f′(x)＝2a
10、x－，∴f′(1)＝2a－1＝0，得a＝.
(3)求導(dǎo)得y′＝αxα－1，切線的斜率k＝α，由點(diǎn)斜式得切線方程為y－2＝α(x－1)．
∵切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)，∴－2＝α(－1)，α＝2.(4)∵y＝，∴y′＝＝＝.∵ex>0，∴ex＋≥2，∴y′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)．又α∈[0，π)，∴α∈.
[答案] (1)y＝4x－3 (2) (3)2 (4)
與導(dǎo)數(shù)幾何意義有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略
(1)已知切點(diǎn)求切線方程．解決此類問(wèn)題的步驟為：①求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線的斜率；
②由點(diǎn)斜式
11、求得切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)已知斜率求切點(diǎn)．已知斜率k，求切點(diǎn)(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求切線傾斜角的取值范圍．先求導(dǎo)數(shù)的取值范圍，即確定切線斜率的取值范圍，然后利用正切函數(shù)的單調(diào)性解決．
1．已知直線y＝kx＋b與曲線y＝x3＋ax＋1相切于點(diǎn)(2,3)，則b的值為( )
A．－3 B．9 C．－15 D．－7
解析：選C 將點(diǎn)(2,3)分別代入曲線y＝x3＋ax＋1和直線y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.又k＝y(tǒng)′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，∴b＝3－2k＝3－18＝
12、－15.
2．已知a為常數(shù)，若曲線y＝ax2＋3x－ln x存在與直線x＋y－1＝0垂直的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析：選A 由題意知曲線上存在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為1，所以y′＝2ax＋3－＝1有正根，
即2ax2＋2x－1＝0有正根．當(dāng)a≥0時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng)a<0時(shí)，需滿足Δ≥0，解得－≤a<0.綜上，a≥－.
3．若點(diǎn)P是曲線y＝x2－ln x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為_(kāi)_______．
解析：設(shè)P(x0，y0)到直線y＝x－2的距離最小，則y′|x＝x0＝2x
13、0－＝1，得x0＝1或x0＝－(舍)．∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)．∴P到直線y＝x－2的距離d＝＝.
答案：
————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)區(qū)別——“過(guò)某點(diǎn)”與“在某點(diǎn)”的區(qū)別
曲線y＝f(x)“在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點(diǎn)，而后者P(x0，y0)不一定為切點(diǎn)．[來(lái)源:]
4個(gè)注意點(diǎn)——導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆．
(2)利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)時(shí)，只要根據(jù)幾種基本函數(shù)的定義，判斷原函數(shù)是哪類基本函數(shù)，再套用相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)公式求解，切不可因判斷函數(shù)類型失誤而出錯(cuò)．
(3)直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．
(4)曲線未必在其切線的同側(cè)，如曲線y＝x3在其過(guò)(0,0)點(diǎn)的切線y＝0的兩側(cè).
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