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第三節(jié) 二項(xiàng)式定理
[全盤鞏固]
1．在5的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為( )
A．10 B．－10 C．40 D．－40
解析：選D Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝(－1)r·25－r·C·x10－3r，
令10－3r＝1，得r＝3.所以x的系數(shù)為(－1)3·25－3·C＝－40.
2．在(1＋)2－(1＋)4的展開式中，x的系數(shù)等于( )
A．3 B．－3 C．4 D．－4
解析：選B
2、 因?yàn)?1＋)2的展開式中x的系數(shù)為1，(1＋)4的展開式中x的系數(shù)為C＝4，所以在(1＋)2－(1＋)4的展開式中，x的系數(shù)等于－3.
3．(2013·全國高考)(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是( )
A．56 B．84 C．112 D．168
解析：選D (1＋x)8展開式中x2的系數(shù)是C，(1＋y)4的展開式中y2的系數(shù)是C，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可得(1＋x)8(1＋y)4展開式中x2y2的系數(shù)為CC＝28×6＝168.
4.5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為( )
A．－4
3、0 B．－20 C．20 D．40
解析：選D 由題意，令x＝1得展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為(1＋a)·(2－1)5＝2，∴a＝1.
∵二項(xiàng)式5的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C(－1)r·25－r·x5－2r，[來源:]
∴5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為x·C(－1)322·x－1＋·C·(－1)2·23·x＝－40＋80＝40.
5．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn中，若2a2＋an－3＝0，則自然數(shù)n的值是( )
A．7 B．8 C．9
4、D．10
解析：選B 易知a2＝C，an－3＝(－1)n－3·C＝(－1)n－3C，又2a2＋an－3＝0，所以2C＋(－1)n－3C＝0，將各選項(xiàng)逐一代入檢驗(yàn)可知n＝8滿足上式．
6．設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，則a＝( )
A．0 B．1 C．11 D．12
解析：選D 512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a，被13整除余1＋a，結(jié)合選項(xiàng)可得a＝12時，512 012＋a能被13整除．
7．(2014·杭州模擬)二項(xiàng)式5的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為________．
解析：由已知可得第四項(xiàng)的系數(shù)為C(
5、－2)3＝－80，注意第四項(xiàng)即r＝3.
答案：－80
8．(2013·四川高考)二項(xiàng)式(x＋y)5的展開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)．
解析：由二項(xiàng)式定理得(x＋y)5的展開式中x2y3項(xiàng)為Cx5－3y3＝10x2y3，即x2y3的系數(shù)為10.
答案：10
9．(2013·浙江高考)設(shè)二項(xiàng)式5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A，則A＝________.
解析：因?yàn)?的通項(xiàng)Tr＋1＝C()5－r·r＝(－1)rCxx－＝(－1)rCx.令15－5r＝0，得r＝3，所以常數(shù)項(xiàng)為(－1)3Cx0＝－10.即A＝－10.
答案：－10
6、10．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)∵
7、(1－2x)7展開式中a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)[來源:]
＝1 093－(－1 094)＝2 187.
11．若某一等差數(shù)列的首項(xiàng)為C－A，公差為m的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，其中m是7777－15除以19的余數(shù)，則此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？并求出這個最大值．
解：設(shè)該等差數(shù)列為{an}，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.
由已知得又n∈N*，∴n＝2，
∴C－A＝C－A＝C－A＝－5×4＝100，∴a1＝100.
∵7777－15＝(76＋1)
8、77－15
＝7677＋C·7676＋…＋C·76＋1－15
＝76(7676＋C·7675＋…＋C)－14
＝76M－14(M∈N*)，
∴7777－15除以19的余數(shù)是5，即m＝5.
∴m的展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝C·5－rr＝(－1)rC5－2rxr－5(r＝0,1,2,3,4,5)，
令r－5＝0，得r＝3，代入上式，得T4＝－4，即d＝－4，從而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝100＋(n－1)×(－4)＝104－4n.
設(shè)其前k項(xiàng)之和最大，則解得k＝25或k＝26，故此數(shù)列的前25項(xiàng)之和與前26項(xiàng)之和相等且最大，[來源:]
9、
S25＝S26＝×25＝×25＝1 300.
12．從函數(shù)角度看，組合數(shù)C可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r)，其定義域是{r|r∈N，r≤n}．
(1)證明：f(r)＝f(r－1)；
(2)利用(1)的結(jié)論，證明：當(dāng)n為偶數(shù)時，(a＋b)n的展開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．
解：(1)證明：∵f(r)＝C＝，f(r－1)＝C＝，
∴f(r－1)＝·＝.
則f(r)＝f(r－1)成立．
(2)設(shè)n＝2k，∵f(r)＝f(r－1)，f(r－1)>0，∴＝.
令f(r)≥f(r－1)，則≥1，則r≤k＋(等號不成立)．
∴當(dāng)r＝1,2，…，
10、k時，f(r)>f(r－1)成立．
反之，當(dāng)r＝k＋1，k＋2，…，2k時，f(r)<f(r－1)成立．
∴f(k)＝C最大，即(a＋b)n的展開式中最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．[來源:]
[沖擊名校]
1．(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析：選D 已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中，x2的系數(shù)為C＋aC＝5，則a＝－1.
2．(2014·湖州模擬)6的展開式中的系數(shù)為－12，則實(shí)數(shù)a的值為________．[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
解析：二項(xiàng)式6展開式中第r＋1項(xiàng)為Tr＋1＝C·(2)6－rr＝C·26－r·ar·x3－r，當(dāng)3－r＝－2，即r＝5時，含有的項(xiàng)的系數(shù)是C·2·a5＝－12，解得a＝－1.
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