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第四節(jié) 合情推理與演繹推理
[全盤鞏固]
1．已知數(shù)列an：，，，，，，，，，，…，依它的前10項(xiàng)的規(guī)律，則a99＋a100的值為( )
A. B. C. D.
解析：選A 通過(guò)將數(shù)列的前10項(xiàng)分組得到第一組有一個(gè)數(shù)：，分子、分母之和為2；第二組有兩個(gè)數(shù)：，，分子、分母之和為3；第三組有三個(gè)數(shù)：，，，分子、分母之和為4；第四組有四個(gè)數(shù)，依次類推，a99，a100分別是第十四組的第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù)，分子、分母之和為15，所以a99＝，a100＝.故a99＋a100＝.
2．觀察下式：
1＋3＝22
2、[來(lái)源:]
1＋3＋5＝32
1＋3＋5＋7＝42
1＋3＋5＋7＋9＝52
…
據(jù)此你可歸納猜想出一般結(jié)論為( )
A．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)
B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)
C．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*)
D．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)
3．(2014·金華模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－，滿足Sn＋＋2＝an(n≥2)，則S2 013＝( )
A．－ B．－ C．－ D．－[來(lái)源:]
解析：選D 利用歸納推理求解．由Sn＋＋2
3、＝an＝Sn－Sn－1，得＝－Sn－1－2(n≥2)，又S1＝a1＝－，所以S2＝－，S3＝－，S4＝－.由歸納推理可得S2 013＝－
解析：選D 觀察可見第n行左邊有n＋1個(gè)奇數(shù)，右邊是(n＋1)2.
4．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：
①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt
4、＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”類比得到“＝”．
以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選B?、佗谡_，③④⑤⑥錯(cuò)誤．
5．觀察下列事實(shí)：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同
5、整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為( )
A．76 B．80 C．86 D．92
解析：選B 通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)|x|＋|y|的值為1,2,3時(shí)，對(duì)應(yīng)的(x，y)的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4,8,12，可推出當(dāng)|x|＋|y|＝n時(shí)，對(duì)應(yīng)的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為80.
6．設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體S ABC的體積為V，則R＝( )
6、
A. B.
C. D.
解析：選C 設(shè)三棱錐的內(nèi)切球球心為O，那么由V＝VO ABC＋VO SAB＋VO SAC＋VO SBC，即V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R，可得R＝.
7．觀察下列幾個(gè)三角恒等式：
①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1；
②tan 5°tan 100°＋tan 100°tan(－15°
7、)＋tan(－15°)tan 5°＝1；
③tan 13°tan 35°＋tan 35°tan 42°＋tan 42°tan 13°＝1.
一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意義，你從這三個(gè)恒等式中猜想得到的一個(gè)結(jié)論為________________________________________________________________________．
解析：所給三角恒等式都為tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1的結(jié)構(gòu)形式，且α、β、γ之間滿足α＋β＋γ
8、＝90°，所以可猜想當(dāng)α＋β＋γ＝90°時(shí)，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.
答案：當(dāng)α＋β＋γ＝90°時(shí)，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1
8．對(duì)大于或等于2的正整數(shù)的冪運(yùn)算有如下分解方式：
22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 …
23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 …[來(lái)源:]
根據(jù)上述分解規(guī)律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，p3的分解中最小的正整數(shù)是21，則m＋p＝________.
解析：由22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42
9、＝1＋3＋5＋7，…，可知n2＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)．由m2＝1＋3＋5＋…＋11，可知m＝6.易知53＝21＋23＋25＋27＋29，則21是53的分解中最小的正整數(shù)，可得p＝5.故m＋p＝11.
答案：11
9．我國(guó)的刺繡有著悠久的歷史，如圖所示中的(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個(gè)數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．則f(n)的表達(dá)式為________________．
(1) (2) (3) (4)
解析：我們考慮f(2)－f(1)＝
10、4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，結(jié)合圖形不難得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.
答案：f(n)＝2n2－2n＋1
10．給出下面的數(shù)表序列：
表1 表2 表3
1 1 3 1 3 5
4 4 8
12
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1,3，5，…，2n－1，從第2行起，每行
11、中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．
寫出表4，驗(yàn)證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明)．
解：表4為
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列．
11．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos
12、 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；
(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)
13、論．
解：(1)選擇②式，計(jì)算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝.
(2)歸納三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
證明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αc
14、os α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
12．定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和，已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5.求：
(1)a18的值；
(2)該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)由等和數(shù)列的定義，數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝2，公和為5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，…)，故a18＝3.
(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a3＋…
15、＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)＝n；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－.
綜上所述，Sn＝
[沖擊名校][來(lái)源:]
1．如圖，一個(gè)粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(0,1)，然后它按圖示在x軸、y軸的平行方向運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則在第12秒時(shí)，這個(gè)粒子所處的位置是( )
A．(2,2) B．(3,2)
C．(3,3) D．(2,3)
解析：選C 第一層有(0,1)，(1,1)，(1,0)三個(gè)整點(diǎn)(除原點(diǎn))，共用3秒；第二層有五個(gè)整點(diǎn)(2,0)，(2,1)，(2,2)
16、，(1,2)，(0,2)，共用5秒；第三層有七個(gè)整點(diǎn)(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,2)，(3,1)，(3,0)，共用7秒．則在第12秒時(shí)，這個(gè)粒子所處的位置是(3,3)．[來(lái)源:]
2．從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng)，使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個(gè)數(shù)的和可以為( )
A．2 907 B．2 111
C．2 012 D．2 090
解析：選C 依題意，設(shè)位于三角形內(nèi)的最小數(shù)是n，其中n被8除后的余數(shù)必是3,4,5,6之一，則這九個(gè)數(shù)的和等于n＋3(n＋8)＋5(n＋16)＝9n＋104.令9n＋104＝2 012，得n＝212，且n＝212被8除后的余數(shù)是4.
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