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第二節(jié) 直線的交點坐標與距離公式
【考綱下載】[來源:]
1．能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標．
2．掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．
1．兩條直線的交點
2．三種距離
點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離
|P1P2|＝
點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離
d＝
兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離
d＝
1．兩條直線位置關系與其對應方程組的解之間有何關系？
提示：兩條直線相交?方程組有唯
2、一解；兩條直線平行?方程組無解；兩條直線重合?方程組有無窮多解．
2．使用點到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式時應注意什么？
提示：使用點到直線距離公式時要注意將直線方程化為一般式；使用兩條平行線間距離公式時，要將兩直線方程化為一般式且x、y的系數(shù)對應相等．
1．(教材習題改編)原點到直線x＋2y－5＝0的距離是( )
A．1 B. C．2 D.[來源:]
解析：選D d＝＝.
2．兩條直線l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交點為( )
A. B.
C. D.
3、解析：選B 解方程組得
所以兩直線的交點為.
3．(2014煙臺模擬)已知直線l1的方程為3x＋4y－7＝0，直線l2的方程為6x＋8y＋1＝0，則直線l1與l2的距離為( )
A. B. C．4 D．8[來源:]
解析：選B l1的方程可化為6x＋8y－14＝0，
又因為l2的方程為6x＋8y＋1＝0，
所以l1與l2的距離d＝＝＝.
4．已知直線l1與l2：x＋y－1＝0平行，且l1與l2的距離是，則直線l1的方程為____________．
解析：因為l1與l2：x＋y－1＝0平行，所以可設l1的方程為x＋y＋b＝0.
又因為
4、l1與l2的距離是，所以＝，
解得b＝1或b＝－3，
即l1的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
5．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一點，則b＝________.
解析：由得
將其代入x＋by＝0，得b＝－.
答案：－
[來源:]
方法博覽(五)
妙用直線系求直線方程
1．平行直線系
由于兩直線平行，則它們的斜率相等或它們的斜率都不存在，因此兩直線平行時，它們的一次項系數(shù)及常數(shù)項有必然的聯(lián)系．
[典例1] 求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(1,2)的直線l的方程．
[解題指導]
5、 因為所求直線與3x＋4y＋1＝0平行，因此，可設該直線方程為3x＋4y＋c＝0(c≠1)．
[解] 依題意，設所求直線方程為3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因為直線過點(1,2)，
所以31＋42＋c＝0，
解得c＝－11.
因此，所求直線方程為3x＋4y－11＝0.
[點評] 與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由其他條件求C1.
2．垂直直線系
由于直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件為A1A2＋B1B2＝0.因此，當兩直線垂直時，它們的一次項系數(shù)有必然的關系．可以考慮用直線系方程求解．
[典例
6、2] 求經(jīng)過A(2,1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程．
[解題指導] 依據(jù)兩直線垂直方程的特征設出方程，再由待定系數(shù)法求解．
[解] 因為所求直線與直線2x＋y－10＝0垂直，所以設該直線方程為x－2y＋C1＝0，又直線過點(2,1)，所以有2－21＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直線方程為x－2y＝0.
[點評] 與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程為Bx－Ay＋C1＝0，再由其他條件求出C1.
3．過直線交點的直線系方程
[典例3] 求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．
[解
7、題指導] 可分別求出直線l1與l2的交點及直線l的斜率k，直接寫出方程；也可以利用過交點的直線系方程設直線方程，再用待定系數(shù)法求．
[解] 法一：解方程組得P(0,2)．
因為l3的斜率為，且l⊥l3，所以直線l的斜率為－，
由斜截式可知l的方程為y＝－x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
法二：設直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，
∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，解得λ＝11.
∴直線l的方程為4x＋3y－6＝0.[來源:]
[點評] 本題法一采用常規(guī)方法，先通過方程組求出兩直線交點，再根據(jù)垂直關系求出斜率，由于交點在y軸上，故采用斜截式求解；法二則采用了過兩直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接設出過兩直線交點的方程，再根據(jù)垂直條件用待定系數(shù)法求解．
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高考數(shù)學復習：第八章 ：第二節(jié)直線的交點坐標與距離公式回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
