《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.
1．仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．
2．方位角
從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．
3．方向角
相對(duì)于某一正方向的水平角
(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③)；
(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向；
(3)南偏西等其他方向角類似．
4．坡角與坡度
(
2、1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)；
(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．
1．“仰角、俯角是相對(duì)水平線而言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的”．這種說法正確嗎？
提示：正確．
2．“方位角和方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系”，這種說法是否正確？
提示：正確．
1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α與β的關(guān)系為( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
3、
解析：選B 根據(jù)仰角和俯角的定義可知α＝β.
2．(教材習(xí)題改編)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為( )
A．a(chǎn) km B.a km
C.a km D．2a km
解析：選B 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，
故|AB|＝a.
3．在上題的條件下，燈塔
4、A在燈塔B的方向?yàn)? )
A．北偏西5° B．北偏西10°
C．北偏西15° D．北偏西20°
解析：選B 由題意可知∠A＝∠B＝30°，又CB與正南方向線的夾角為40°，故所求角為40°－30°＝10°，
即燈塔A在燈塔B的方向?yàn)楸逼?0°.
4．一船自西向東航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75°，距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為________海里/小時(shí)．
解析：由題意知，
5、在△PMN中，PM＝68海里，∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.由正弦定理，得＝，解得MN＝34海里，故這只船航行的速度為海里＝ 海里/小時(shí)．[來源:]
答案：
5．某運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為15°的看臺(tái)上，同一列上的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10 米(如圖所示)，則旗桿的高度為________米．
解析：如圖，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.
由正弦定理得＝，[來源:]
所以B
6、C＝20×＝20 m，
在Rt△CBD中，CD＝BCsin 60°＝20×＝30 m.
答案：30
數(shù)學(xué)思想(六)
數(shù)形結(jié)合思想在解三角形中的應(yīng)用
三角函數(shù)在實(shí)際生活中有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用題是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函數(shù)等知識(shí)為核心，以測(cè)量、航海、筑路、天文等為代表的實(shí)際應(yīng)用題是高考應(yīng)用題的熱點(diǎn)題型．求解此類問題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)審題，提煉題目信息，畫出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)求解．[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
[典例] (2014·廣州模擬)在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以
7、點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)的海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A的北偏東45°且與點(diǎn)A相距40 海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A的北偏東(45°＋θ)其中sin θ＝，0°＜θ＜90°且與點(diǎn)A相距10 海里的位置C.
(1)求該船的行駛速度(單位：海里/小時(shí))；
(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由．
[解題指導(dǎo)] 根據(jù)題意畫出示意圖，然后利用正、余弦定理求解．[來源:]
[解]
(1)如圖所示，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝
8、θ，sin θ＝.因?yàn)?＜θ＜90°，所以cos θ＝＝，
BC＝
＝
10.
所以該船的行駛速度為＝15 海里/小時(shí)．
(2)
法一：如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC與x軸的交點(diǎn)為D.
由題設(shè)，得x1＝y(tǒng)1＝AB＝40，
x2＝ACcos∠CAD＝10·cos(45°－θ)＝30，
y2＝ACsin∠CAD＝10·sin(45°－θ)＝20.
所以過點(diǎn)B，C的直線l的斜率k＝＝2，
直線l的方程為y＝2x－40.
又點(diǎn)E(0，－55)到直線l的距
9、離d＝＝3＜7，
所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域．
法二：如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC＝＝＝.
所以sin∠ABC＝＝ ＝.
在△ABQ中，由正弦定理，得AQ＝＝＝40.
由于AE＝55＞40＝AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE＝AE－AQ＝15.
過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離．
在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×＝3＜7.
所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域．
[題后悟道] 1.對(duì)
10、于問題(1)，知道兩邊夾一角，由余弦定理求得BC的長(zhǎng)，除以行駛時(shí)間即可求得速度；對(duì)于問題(2)，延長(zhǎng)BC交直線AE于點(diǎn)Q，然后在△ABQ中，由正弦定理求得AQ的長(zhǎng)、判斷點(diǎn)Q的位置，最后在△QPE中結(jié)合已知條件即可作出判斷．
2．解此類問題，根據(jù)題意合理畫出示意圖是解題關(guān)鍵；將條件歸納到某一三角形中是基本的策略；合理運(yùn)用正、余弦定理并注意與平面幾何相關(guān)知識(shí)結(jié)合有助于問題的解決．
[來源:]
某海域內(nèi)一觀測(cè)站A，
某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東50°且與A相距80海里的位置B，經(jīng)過1小時(shí)又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東50°＋θ其中sin θ＝，0
11、76;＜θ＜90°且與A相距60海里的位置C.
(1)求該船的行駛速度；
(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)向前行駛，求船在行駛過程中離觀測(cè)站A的最近距離．
解：(1)如圖，AB＝80，AC＝60，∠BAC＝θ，sin θ＝.
由于0°＜θ＜90°，
所以cos θ＝ ＝.
由余弦定理得
BC＝＝40海里/小時(shí)，
所以該船的行駛速度為40海里/小時(shí)．
(2)在△ABC中，由正弦定理得＝，
則sin B＝＝60×＝，
過A作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于D，則AD的長(zhǎng)是船離觀測(cè)站的最近距離．
在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B＝80×＝15 海里，
故船在行駛過程中離觀測(cè)站A的最近距離為15 海里.
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