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第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式
【考綱下載】
1．理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
2．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出α，πα的正弦、余弦、正切的誘導公式．
1．同角三角函數(shù)的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商數(shù)關系：tan α＝.
2．三角函數(shù)的誘導公式
公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋
2、α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α.
公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan α.
公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan α.
公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α.
公式六：sin＝cos_α，cos＝－sin_α.
1．有人說sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sin α(k∈Z)，你認為正確嗎？
提示：不正確．當k＝2n(n∈Z)時，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sin α；當k＝2n＋1(n∈Z)時，si
3、n(kπ－α)＝sin[(2n＋1)π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.
2．誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”中的“符號”是否與α的大小有關？
提示：無關，只是把α從形式上看作銳角，從而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，－α，＋α分別是第一，三，四，二，一，二象限角．
1．tan 330等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：選D tan 330＝tan(360－30)＝tan(－30)＝
－tan 30＝－.
2．若cos
4、 α＝，α∈，則tan α等于( )
A．－ B. C．－2 D．2
解析：選C 由已知得sin α＝－＝－ ＝－，所以tan α＝＝－2.[來源:]
3．(教材習題改編)若tan α＝2，則的值為( )
A．－ B．－ C. D.
解析：選C?。剑剑?
4．cos－sin＝________.
解析：cos－sin＝cos＋sin
＝cos＋sin
＝cos＋sin＝＋＝.
答案：
5．已知tan α＝，π＜α＜，則cos α－sin α＝________.
解析：∵tan α＝，π＜
5、α＜，∴α＝，[來源:]
∴cos α－sin α＝cos －sin ＝
－cos ＋sin ＝－＋＝.
答案：
數(shù)學思想(五)
sin αcos α及sin αcos α間的方程思想
對于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α這三個式子，已知其中的一個式子的值，可利用公式(sin αcos α)2＝12sin αcos α求其余兩式的值，體現(xiàn)了方程思想的應用．[來源:]
[典例] (1)(2014揭陽模擬)已知sin αcos α＝，且＜α＜，則cos α－sin α的值為( )
[來源:]
6、
A．－ B. C．－ D.
(2)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，則sin α－cos α＝________.
[解題指導] (1)可先考慮cos α－sin α的符號，然后平方解決；
(2)將條件化簡可得sin α＋cos α＝，然后兩邊平方可求sin αcos α的值，然后同問題(1)解決．
[解析] (1)∵＜α＜，[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，
∴cos α－sin α＞0，
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2＝，
∴c
7、os α－sin α＝.
(2)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝，①
將①兩邊平方得1＋2sin αcos α＝，
故2sin αcos α＝－.
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝.
又∵＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0.
∴sin α－cos α＝.
[答案] (1)B (2)
[題后悟道] 解決此類問題的關鍵是等式(sin αcos α)2＝12sin αcos α.但要特別注意對sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α符號的關注．
已知－＜x＜0，sin x＋cos x＝，則sin x－cos x＝________.
解析：將等式sin x＋cos x＝兩邊平方，得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，即2sin xcos x＝－，
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.又－＜x＜0，
∴sin x＜0，cos x＞0，sin x－cos x＜0，故sin x－cos x＝－.
答案：－
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高考數(shù)學復習：第三章 ：第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
