《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和突破熱點(diǎn)題型》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和突破熱點(diǎn)題型（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
[來(lái)源:]
考點(diǎn)一
等比數(shù)列的判定與證明
[例1] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．
[自主解答] an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.
＝＝＝＝2，
∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5.
∴b1＝a2－2a1＝3.
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．
【互動(dòng)探究】
保持本例條件不變，若cn＝，證明：{cn}是等比數(shù)列
2、．
證明：由例題知，bn＝32n－1＝an＋1－2an，
∴－＝3.
∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列．
∴＝2＋(n－1)3＝3n－1，
∴an＝(3n－1)2n－2，∴cn＝2n－2.
∴＝＝2.
∴數(shù)列{cn}為等比數(shù)列．
【方法規(guī)律】
等比數(shù)列的判定方法
證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．
已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1am(n－1)＋
3、2…am(n－1)＋m(m，n∈N*)，則以下結(jié)論一定正確的是( )
A．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qm
B．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2m
C．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2
D．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qmm
解析：選C bn＝am(n－1)＋1(1＋q＋q2＋…＋qm－1)，＝＝qm，故數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為qm，選項(xiàng)A、B均錯(cuò)誤；cn＝aq1＋2＋…＋(m－1)，＝＝m＝(qm)m＝qm2，故數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2，D錯(cuò)誤，故選C.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)二 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 [來(lái)源:]
1．等比數(shù)列的基本運(yùn)
4、算是高考的?？純?nèi)容，題型既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中低檔題．
2．高考對(duì)等比數(shù)列的基本運(yùn)算的考查常有以下幾個(gè)命題角度：
(1)化基本量求通項(xiàng)；
(2)化基本量求特定項(xiàng)；
(3)化基本量求公比；
(4)化基本量求和．
[例2] (1)(2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝( )
A. B．－ C. D．－
(2)(2012浙江高考)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝________.
(3
5、)(2013湖北高考)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18.
①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
②是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說(shuō)明理由．
[自主解答] (1)由已知條件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝9.
所以a5＝9＝a1q4＝81a1，得a1＝.
(2)由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2作差，可得a3＋a4＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，所以2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍)．
(3)①設(shè)數(shù)列{an}
6、的公比為q，則a1≠0，q≠0.
由題意得
即解得
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3(－2)n－1.
②由①有Sn＝＝1－(－2)n.[來(lái)源:]
若存在n，使得Sn≥2 013，則1－(－2)n≥2 013，
即(－2)n≤－2 012.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(－2)n>0，上式不成立；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(－2)n＝－2n≤－2 012，
即2n≥2 012，則n≥11.
綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．
[答案] (1)C (2)
等比數(shù)列基本量運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略
(1)化基本量求通項(xiàng)．求等比數(shù)列的兩
7、個(gè)基本元素a1和q，通項(xiàng)便可求出，或利用知三求二，用方程求解．
(2)化基本量求特定項(xiàng)．利用通項(xiàng)公式或者等比數(shù)列的性質(zhì)求解．
(3)化基本量求公比．利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，建立方程組求解．
(4)化基本量求和．直接將基本量代入前n項(xiàng)和公式求解或利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．
1．(2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)首項(xiàng)為1，公比的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
解析：選D 因?yàn)閍1＝1，公比q＝，所以an＝n－1，
Sn＝＝3＝3
8、－2n－1＝3－2an.
2．(2014寧波模擬)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
解析：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，
∵a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，
∴
由①得a1＝q，
由②知q＝2或q＝，
又?jǐn)?shù)列{an}為遞增數(shù)列，
∴a1＝q＝2，從而an＝2n.
答案：2n
3．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解：(1)∵S1，S3，S2成等差數(shù)列，
∴
9、a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．
由于a1≠0，故2q2＋q＝0，
又q≠0，從而q＝－.
(2)由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4，
從而Sn＝＝.
考點(diǎn)三
等比數(shù)列的性質(zhì)
[例3] (1)已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項(xiàng)之和等于( )
A．50 B．70 C．80 D．90
(2)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝( )
A．7 B．5 C．－5 D．－7[來(lái)源:
10、]
[自主解答] (1)∵S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，
∴S3(S9－S6)＝(S6－S3)2，
又S3＝40，S6＝40＋20＝60，
∴40(S9－60)＝202，故S9＝70.
(2)由已知得
解得或
當(dāng)a4＝4，a7＝－2時(shí)，易得a1＝－8，a10＝1，從而a1＋a10＝－7；[來(lái)源:]
當(dāng)a4＝－2，a7＝4時(shí)，易得a10＝－8，a1＝1，從而a1＋a10＝－7.
[答案] (1)B (2)D
【方法規(guī)律】
等比數(shù)列常見(jiàn)性質(zhì)的應(yīng)用
等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類(lèi)：(1)通項(xiàng)公式的變形；(2)等比中項(xiàng)的變形；(3)前n項(xiàng)和公式的變形．根據(jù)題目條件
11、，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口．
1．記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m的值為( )
A．4 B．7 C．10 D．12
解析：選A 因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以am－1am＋1＝a，
又由am－1am＋1－2am＝0，可知am＝2.
由等比數(shù)列的性質(zhì)可知前(2m－1)項(xiàng)積T2m－1＝a，即22m－1＝128，故m＝4.
2．在等比數(shù)列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，則a41a42a43a44＝__
12、______.
解析：法一：a1a2a3a4＝a1a1qa1q2a1q3＝aq6＝1，①
a13a14a15a16＝a1q12a1q13a1q14a1q15＝aq54＝8，②
由②①，得＝q48＝8?q16＝2，
又a41a42a43a44＝a1q40a1q41a1q42a1q43＝aq166＝aq6q160＝(aq6)(q16)10＝1210＝1 024.
法二：由性質(zhì)可知，依次4項(xiàng)的積為等比數(shù)列，
設(shè)公比為q，
T1＝a1a2a3a4＝1，T4＝a13a14a16＝8，
∴T4＝T1q3＝1q3＝8，即q＝2.
∴T11＝a41a42a43a44＝T1q10＝210＝1
13、024.
答案：1 024
——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
2個(gè)注意點(diǎn)——應(yīng)用等比數(shù)列的公比應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.
(2)在應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1和q≠1分類(lèi)討論，防止因忽略q＝1這一特殊情況而導(dǎo)致錯(cuò)誤．
4種方法——等比數(shù)列的判定方法
(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù))或＝q(q為非零
常數(shù)且n≥2)，則{an}是等比數(shù)列；
(2)等比中項(xiàng)法：在數(shù)列{an}中，an≠0且a＝anan＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列；
(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝kqn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．
注意：前兩種方法也可用來(lái)證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列．
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和突破熱點(diǎn)題型
