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第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示
[全盤鞏固]
1．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為( )
A．15 B．16 C．49 D．64
解析：選A a8＝S8－S7＝82－72＝64－49＝15.
2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足5<ak<8，則k＝( )
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：選B 由an＝
＝得an＝2n－10.
由5<2k－10<8，得7.5<k<9，由于k∈N*，
2、所以k＝8.
3．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，則此數(shù)列是( )
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列 D．?dāng)[動數(shù)列
解析：選C ∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＋Sn＝an.
兩式相減，得an＋an＋1＝an＋1－an，
∴an＝0(n≥2)．
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，
∴an＝0(n∈N*)．
4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5＝( )
A．－16 B．16 C．31
3、 D．32[來源:]
解析：選B 當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，
又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．
∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.
5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，則a20＝( )
A．0 B．－ C. D.
解析：選B 利用a1＝0和遞推公式可求得a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－，以此類推，數(shù)列{an}的項(xiàng)周期性出現(xiàn)，其周期為3.所以a20＝a2＝－.
6．在數(shù)列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝－1，
4、則x2 013＝( )
A．－1 B．－ C. D．1
解析：選D 將x1＝1代入xn＋1＝－1，得x2＝－，再將x2代入xn＋1＝－1，得x3＝1，所以數(shù)列{xn}的周期為2，故x2 013＝x1＝1.
7．根據(jù)下圖5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜測第n個(gè)圖中有________個(gè)點(diǎn)．
(1) (2) (3) (4) (5) …
解析：觀察圖中5個(gè)圖形點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(
5、n－1)×n＋1＝n2－n＋1.
答案：n2－n＋1
8．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝－n2＋10n＋11，則該數(shù)列前________項(xiàng)的和最大．
解析：易知a1＝20>0，顯然要想使和最大，則應(yīng)把所有的非負(fù)項(xiàng)求和即可，這樣只需求數(shù)列{an}的最后一個(gè)非負(fù)項(xiàng)．令an≥0，則－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可見，當(dāng)n＝11時(shí)，a11＝0，故a10是最后一個(gè)正項(xiàng)，a11＝0，故前10或11項(xiàng)和最大．
答案：10或11
9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則a2＝________，an＝________.
解析：由an＝
6、n(an＋1－an)，可得＝，
則an＝···…··a1＝×××…××1＝n，故a2＝2，an＝n.
答案：2 n
10．已知數(shù)列{an}．[來源:]
(1)若an＝n2－5n＋4，
①數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？
②n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值．
(2)若an＝n2＋kn＋4，且對于n∈N*，都有an＋1>an成立．求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解：(1)①由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.[來源:]
∵n∈N*，∴n＝2,3.
∴數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)
7、，即為a2，a3.
②∵an＝n2－5n＋4＝2－的對稱軸方程為n＝.
又n∈N*，∴n＝2或n＝3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an，知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看成是關(guān)于n的二次函數(shù)，又考慮到n∈N*，當(dāng)－＝時(shí)a1＝a2，所以－<，即得k>－3.
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－3，＋∞)．
11．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝a＋an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得
a1
8、＝a＋a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；
同理，a3＝3，a4＝4.[來源:]
(2)Sn＝a＋an，①
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝a＋an－1，②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于an＋an－1≠0，
所以an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n.
12．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)記bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．
解：(1)依題
9、意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1＝a－3，公比為2的等比數(shù)列．
因此，所求通項(xiàng)公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)×2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知，Sn＝3n＋(a－3)×2n－1，n∈N*，
于是，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)×2n－1－3n－1－(a－3)×2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)×2n－2
10、＝2n－2×12×n－2＋a－3，
∵an＋1≥an，∴12×n－2＋a－3≥0，∴a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1，
綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)．
[沖擊名校]
1．(2014·衢州模擬)將石子擺成如圖的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，…為梯形數(shù)，根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2 014項(xiàng)與5的差即a2 014－5＝( )
A．2 020×2 012 B．2 020×2 013
C．1 010×2 012 D．1 010×2 013
解析：選
11、D 結(jié)合圖形可知，該數(shù)列的第n項(xiàng)an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)．所以a2 014－5＝4＋5＋…＋2 016＝2 013×1 010.
2．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝若a1＝，則a2 013＝________.
解析：因?yàn)閍1＝∈，
所以a2＝2a1－1＝2×－1＝.
因?yàn)閍2＝∈，
所以a3＝2a2－1＝2×－1＝.[來源:]
因?yàn)閍3＝∈，所以a4＝2a3＝2×＝.
顯然a4＝a1，根據(jù)遞推關(guān)系，逐步代入，得a5＝a2，a6＝a3，…故該數(shù)列的項(xiàng)呈周期性出現(xiàn)，其周期為3，根據(jù)上述求解結(jié)果，可得a3k＋1＝，a3k＋2＝，a3k＋3＝(k∈N)．
所以a2 013＝a3＝.
答案：
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第五章 ：第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示演練知能檢測
