《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第二章 ：第八節(jié) 函數(shù)與方程突破熱點(diǎn)題型》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第二章 ：第八節(jié) 函數(shù)與方程突破熱點(diǎn)題型（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△
考點(diǎn)一[來源:]
確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間
[例1] (1)(2014·西安模擬)函數(shù)f(x)＝＋ln的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(1,2)與(2,3)
(2)(2013·重慶高考)若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間( )
A．(a，b)和(b，c)內(nèi) B．(－∞，a)和(a，b
2、)內(nèi)
C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)
[自主解答] (1)f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)．
當(dāng)1<x<2時，ln(x－1)<0，>0，所以f(x)>0，故函數(shù)f(x)在(1,2)上沒有零點(diǎn)．
f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝－ln 2＝＝，
∵＝2≈2.828>e，∴8>e2，即ln 8>2，即f(3)<0，
又f(4)＝－ln 3<0，
∴f(x)在(2,3)內(nèi)存在一個零點(diǎn)．
(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c
3、－a)(c－b)．又a<b<c，則f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又該函數(shù)是二次函數(shù)，且開口向上，可知兩根分別在(a，b)和(b，c)內(nèi)．
[答案] (1)B (2)A
【方法規(guī)律】
判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法
判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，要根據(jù)具體題目靈活處理，當(dāng)能直接求出零點(diǎn)時，就直接求出進(jìn)行判斷；當(dāng)不能直接求出時，可根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷；當(dāng)用零點(diǎn)存在性定理也無法判斷時可畫出圖象判斷．
1．(2014·嘉興模擬)方程log3x＋x＝3的根所在的區(qū)間為( )
A．(0,1) B．(1,2)
4、 C．(2,3) D．(3,4)
解析：選C 法一：方程log3x＋x＝3的根即是函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3的零點(diǎn)，由于f(2)＝log32＋2－3＝log32－1<0，[來源:]
f(3)＝log33＋3－3＝1>0且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)．
∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)即方程log3x＋x＝3的根所在區(qū)間為(2,3)．
法二：方程log3x＋x＝3的根所在區(qū)間即是函數(shù)y1＝log3x與y2＝3－x交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間，兩函數(shù)圖象如圖所示．
由圖知方程log3x＋x＝3的根所在區(qū)間為(2,3)．[來源:]
2．在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝e
5、－x－4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )
A. B. C. D.
解析：選B 易知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)．對于A，注意到f＝e－4×－3＝e>0，f＝e－4×－3＝e－1>0，因此函數(shù)f(x)＝e－x－4x－3的零點(diǎn)不在區(qū)間上；對于B，注意到f>0，f＝e－4×－3＝e－2<4－2<0，因此在區(qū)間上函數(shù)f(x)＝e－x－4x－3一定存在零點(diǎn)；對于C，注意到f<0，f(0)＝－2<0，因此函數(shù)f(x)＝e－x－4x－3的零點(diǎn)不在區(qū)間上；對于D，注意到f(0)＝－2<0，f＝e－
6、－4×－3＝e－－4<0，因此函數(shù)f(x)＝e－x－4x－3的零點(diǎn)不在區(qū)間上．
考點(diǎn)二
判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)
[例2] (1)(2014·鄭州模擬)函數(shù)f(x)＝x2－2x在x∈R上的零點(diǎn)的個數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f(f(x))＋1的零點(diǎn)個數(shù)是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
[自主解答] (1)注意到f(－1)×f(0)＝×(－1)<0，因此函數(shù)f(x)在(－1,0)上必有零點(diǎn)．又f(2)＝f
7、(4)＝0，因此函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)是3.
(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1.
又由f(－2)＝f＝－1，
可得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，則x＝－3或x＝；
若f(x)＝，則x＝－或x＝，
綜上可得函數(shù)y＝f(f(x))＋1有4個零點(diǎn)．
[答案] (1)D (2)A
【互動探究】
若將本例(1)中的函數(shù)改為“f(x)＝x－x”，該如何選擇？[來源:]
解析：選B 因?yàn)閥＝x在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝x在x∈R上單調(diào)遞減，所以f(x)＝x－x在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增．又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所
8、以f(x)＝x－x在定義域內(nèi)有唯一零點(diǎn)，故應(yīng)選B.
【方法規(guī)律】
判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法[來源:]
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(diǎn)；
(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì)；
(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題．先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)．
1．(2013·天
9、津高考)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選B 易知函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個數(shù)?方程|log0.5x|＝＝x的根的個數(shù)?函數(shù)y1＝|log0.5x|與y2＝x的圖象的交點(diǎn)個數(shù)．作出兩個函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知兩個函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)．
2．已知符號函數(shù)sgn(x)＝則函數(shù)f(x)＝sgn(x－1)－ln x的零點(diǎn)個數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選C 依題意得，當(dāng)x－1>0，即x>1時，f(x)＝1－ln x，令f(x)＝
10、0得x＝e>1；當(dāng)x－1＝0，即x＝1時，f(x)＝0－ln 1＝0；當(dāng)x－1<0，即x<1時，f(x)＝－1－ln x，令f(x)＝0得x＝<1.因此，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為3.
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用
1．高考對函數(shù)零點(diǎn)的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，求函數(shù)零點(diǎn)問題，難度較易；利用零點(diǎn)的存在性求相關(guān)參數(shù)的值，難度較大．
2．高考對函數(shù)零點(diǎn)的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根所在的區(qū)間，求參數(shù)；
(2)已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的個數(shù)，求參數(shù)；
(3)利用函數(shù)的零點(diǎn)比較大?。?
[例3] (1)(201
11、3·天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實(shí)數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則 ( )
A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)
C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0
(2)(2011·山東高考)已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．當(dāng)2<a<3<b<4時，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝________.
(3)(2011·北京高考)已知函
12、數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
[自主解答] (1)∵f(x)在R上為增函數(shù)，
且f(0)＝e0－2<0，f(1)＝e－1>0，
又f(a)＝0，∴0<a<1.
∵g(x)＝ln x＋x2－3，
∴g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
又g(1)＝ln 1－2＝－2<0，
g(2)＝ln 2＋1>0，且g(b)＝0，
∴1<b<2，即a<b，
∴
(2)∵2<a<3<b<4，∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上為增函數(shù)．
當(dāng)
13、x＝2時，f(2)＝loga2＋2－b<0；
當(dāng)x＝3時，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴f(x)的零點(diǎn)x0在區(qū)間(2,3)內(nèi)，∴n＝2.
(3)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)＝及y＝k的圖象，如圖．
可知，當(dāng)0<k<1時，y＝k與y＝f(x)的圖象有兩個交點(diǎn)，即方程f(x)＝k有兩個不同的實(shí)根．
[答案] (1)A (2)2 (3)(0,1)
函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略
(1)已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根求解參數(shù)應(yīng)分三步：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍．
(
14、2)已知函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)．常利用數(shù)形結(jié)合法．
(3)借助函數(shù)零點(diǎn)比較大?。容^f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)、f(b)與0的大?。?
1．函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
解析：選C 由條件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.
2．若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(
15、1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)
解析：選A 令g(x)＝ax(a>0，且a≠1)，h(x)＝x＋a，分0<a<1，a>1兩種情況，在同一坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖，若函數(shù)f(x)＝ax－x－a有兩個不同的零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)，h(x)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，根據(jù)畫出的圖象只有當(dāng)a>1時符合題目要求．
——————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個口訣——用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的方法
用二分法求零點(diǎn)近似值的口訣為：定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值
16、計算兩邊看；同號去，異號算，零點(diǎn)落在異號間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷．
2個防范——函數(shù)零點(diǎn)的兩個易錯點(diǎn)
(1)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是方程f(x)＝0的實(shí)根．
(2)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號零點(diǎn)，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件．
3種方法——判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法
(1)直接求零點(diǎn)；
(2)零點(diǎn)的存在性定理；
(3)利用圖象交點(diǎn)的個數(shù)(內(nèi)容見例2的[方法規(guī)律])．
3個結(jié)論——有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論
(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點(diǎn)．
(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號．
(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．
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