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第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
[全盤鞏固]
1．給定性質(zhì)：①最小正周期為π；②圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則下列四個(gè)函數(shù)中，同時(shí)具有性質(zhì)①②的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin|x|
解析：選B 注意到函數(shù)y＝sin的最小正周期T＝＝π，當(dāng)x＝時(shí)，y＝sin＝1，因此該函數(shù)同時(shí)具有性質(zhì)①②.
2．函數(shù)y＝2sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為( )
A．2－ B．0
C．－1
2、 D．－1－
解析：選A ∵0≤x≤9，∴0≤x≤，
∴－≤x－≤，
∴－≤sin≤1，
即－≤2sin≤2.
所以其最大值為2，最小值為－，故最大值與最小值之和為2－.
3．已知函數(shù)y＝sin x的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)椋瑒tb－a的值不可能是( )[來(lái)源:]
A. B. C．π D.
解析：選A 畫出函數(shù)y＝sin x的草圖分析知b－a的取值范圍為.
4．(2014·麗水模擬)函數(shù)y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在區(qū)間內(nèi)的圖象是( )
A B
C
3、 D
解析：選D y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|
＝故選D.
5．(2014·溫州模擬)若函數(shù)y＝2cos ωx在區(qū)間上遞減，且有最小值1，則ω的值可以是( )
A．2 B. C．3 D.
解析：選B 由y＝2cos ωx在上是遞減的，且有最小值為1，則有f＝1，即2×cos＝1，
即cos ω＝.
經(jīng)驗(yàn)證，得出選項(xiàng)B符合．
6．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期為6π，且當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最大值，則( )
A．f(x)
4、在區(qū)間[－2π，0]上是增函數(shù)
B．f(x)在區(qū)間[－3π，－π]上是增函數(shù)
C．f(x)在區(qū)間[3π，5π]上是減函數(shù)
D．f(x)在區(qū)間[4π，6π]上是減函數(shù)[來(lái)源:]
解析：選A ∵f(x)的最小正周期為6π，∴ω＝.
∵當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有最大值，
∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∵－π＜φ≤π，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin，由函數(shù)f(x)的圖象(圖略)易得，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2π，0]上是增函數(shù)，而在區(qū)間[－3π，－π]或[3π，5π]上均沒單調(diào)性，在區(qū)間[4π，6π]上是增函數(shù)．
7．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)
5、，對(duì)于任意x都有f＝f，則f等于________．
解析：∵f＝f，
∴x＝是函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一條對(duì)稱軸．
∴f＝±2.
答案：2或－2
8．已知函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，則f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|＝
畫出函數(shù)f(x)的圖象(實(shí)線)，如圖，可得函數(shù)的最小值為－1，最大值為，故值域?yàn)?
答案：
9．已知函數(shù)f(x)＝cos xsin x(x∈R)，給出下列四個(gè)命題：
①若f(x1)＝－f(x2)，則x1＝－x2；
②
6、f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)；
④f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱．
其中真命題的是________．
解析：f(x)＝sin 2x，當(dāng)x1＝0，x2＝時(shí)，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命題；f(x)的最小正周期為π，故②是假命題；當(dāng)x∈時(shí)，2x∈，故③是真命題；因?yàn)閒＝sin ＝－，故f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，故④是真命題．
答案：③④
10．函數(shù)f(x)＝Asin＋1(A＞0，ω＞0)的最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)設(shè)α∈，f＝2，求α的值．
解：(1)∵函數(shù)f(x
7、)的最大值為3，∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
∴函數(shù)f(x)的解析式為y＝2sin＋1.
(2)∵f＝2sin＋1＝2，
∴sin＝.
∵0<α<，∴－<α－<，
∴α－＝，∴α＝.
11．(2013·湖南高考)已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
解：f(x)＝sin＋cos
＝sin x－cos x＋cos x＋sin x
＝sin x，
8、
g(x)＝2sin2＝1－cos x.
(1)由f(α)＝，得sin α＝.又α是第一象限角，所以cos α>0.
從而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.
(2)f(x)≥g(x)等價(jià)于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1.
于是sin≥.
從而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合為.
12．已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx，2cos ωx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝π對(duì)稱，
9、其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍．
解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ.
由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，可得
sin＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
故f(x)＝
10、2sin－，
由0≤x≤，有－≤x－≤，
所以－≤sin≤1，
得－1－≤2sin－≤2－，
故函數(shù)f(x)在上的取值范圍為[－1－，2－ ]．[來(lái)源:]
[沖擊名校]
1．已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，則ω的取值范圍是( )[來(lái)源:]
A.∪[6，＋∞)
B.∪
C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)
D．(－∞，－2]∪
解析：選D 當(dāng)ω＞0時(shí)，由－≤x≤，得－ω≤ωx≤ω，由題意知，－ω≤－，∴ω≥；
當(dāng)ω＜0時(shí)，由－≤x≤，得ω≤ωx≤－ω，
由題意知，ω≤－，∴ω≤－2，
綜上可知，ω∈(－∞，－2]∪.
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin
11、(ωx＋φ)，給出以下四個(gè)論斷：
①它的最小正周期為π；
②它的圖象關(guān)于直線x＝成軸對(duì)稱圖形；
③它的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形；
④在區(qū)間上是增函數(shù)．
以其中兩個(gè)論斷作為條件，另兩個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________(用序號(hào)表示即可)．
解析：若①②成立，則ω＝＝2；令2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，且|φ|＜，故k＝0，則φ＝.此時(shí)f(x)＝sin，當(dāng)x＝時(shí)，sin＝sin π＝0，所以f(x)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱；又f(x)在上是增函數(shù)，則f(x)在上也是增函數(shù)，因此①②?③④.用類似的分析可求得①③?②④.
答案：①②?③④或①③?②④
[高頻滾動(dòng)
12、]
1．已知sin θ＝，sin θ－cos θ＞1，則cos θ＝( )
A．－ B．－ C．－ D.
解析：選A 由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＞1，可得sin θcos θ＜0，又因?yàn)閟in θ＞0，所以cos θ＜0，即cos θ＝－.
2．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角．[來(lái)源:]
解：由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1，
即cos A＝或cos A＝－.
(1)∵當(dāng)cos A＝時(shí)，cos B＝，
又A，B是△ABC的內(nèi)角，∴A＝，B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝.
(2)∵當(dāng)cos A＝－時(shí)，cos B＝－.
又A，B是△ABC的內(nèi)角，
∴A＝，B＝，不合題意．
綜上可知，A＝，B＝，C＝.
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