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第四節(jié) 數(shù) 列 求 和
考點一
公式法求和
[例1] (2013·浙江高考)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
[自主解答] (1)由題意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，
即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
(2)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
因為d<0，由(1)得
2、d＝－1，an＝－n＋11.則
當n≤11時，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.
當n≥12時，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝
【方法規(guī)律】
三類可以使用公式求和的數(shù)列
(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減構成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解．
(2)奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的，可以分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式求解．
(3)等差數(shù)列各項加上絕對值，等差
3、數(shù)列的通項公式乘以(－1)n.
已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前n項和Sn.
解：Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3，
所以當n為偶數(shù)時，
Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；
當n為奇數(shù)時，
Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3
＝3n－ln 3－ln 2－1.[來源:]
綜上所述，Sn＝
考點二
錯位相減法求和
[例2] 已知{
4、an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)記Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，證明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)．
[自主解答] (1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.
由條件，得方程組解得
所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.
(2)證明：由(1)，得
Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)
5、×2n，①
2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1.②
由①－②，得
－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝－(3n－1)×2n＋1－2＝－(3n－4)×2n＋1－8，
即Tn－8＝(3n－4)×2n＋1.
而當n≥2時，an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1，
所以Tn－8＝an－1bn＋1，n∈N*，n≥2.
【互動探究】
在本例(2)中，若Tn＝anb1＋an－
6、1b2＋…＋a1bn，n∈N*，求證：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．
證明：由(1)，得
Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，①
2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1.②
②－①，得
Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2
＝＋2n＋2－6n＋2
＝10×2n－6n－10.
而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*.
【方法規(guī)律】
7、
用錯位相減法求和應注意的問題
(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式；
(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
[來源:]
已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1－3an＝3n(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝.
(1)證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列并求數(shù)列{bn}的通項公式；[來源:]
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
解：(1)由bn＝，得bn＋1＝，
又∵an＋1－3an＝3n
8、，
∴bn＋1－bn＝－＝＝＝.[來源:]
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，其首項b1＝1，公差為.
∴bn＝1＋(n－1)＝.
(2)an＝3nbn＝(n＋2)×3n－1.
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝3×1＋4×3＋…＋(n＋2)×3n－1，①
∴3Sn＝3×3＋4×32＋…＋(n＋2)×3n.②
①－②，得
－2Sn＝3×1＋3＋32＋…＋3n－1－(n＋2)×3n
＝2＋1＋3＋32＋…＋3n－1－(n＋2)×3n
＝－(n＋2)×3n，
∴Sn＝－＋.
9、
高頻考點
考點三 裂項相消法求和
1．裂項相消法求和是每年高考的熱點，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題．
2．高考對裂項相消法的考查常有以下兩個命題角度：
(1)直接考查裂項相消法求和；
(2)與不等式相結合考查裂項相消法求和．
[例3] (2013·廣東高考)設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14構成等比數(shù)列．
(1)證明：a2＝；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<.
[自主解答] (1)證明：∵an>0，令n＝1，有4
10、S1＝a－4－1，即4a1＝a－5，∴a2＝.
(2)當n≥2時，4Sn＝a－4n－1,4Sn－1＝a－4(n－1)－1，兩式相減得4an＝a－a－4，有a＝(an＋2)2，即an＋1＝an＋2，∴{an}從第2項起，是公差為2的等差數(shù)列，
∴a5＝a2＋3×2＝a2＋6，a14＝a2＋12×2＝a2＋24，
又a2，a5，a14構成等比數(shù)列，有a＝a2·a14，
則(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3，
由(1)得a1＝1，又an＋1＝an＋2(n≥2)．
∴{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
即an＝1＋(n－1)×2
11、＝2n－1.
(3)證明：由(2)得＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝
＝<.
裂項相消法求和問題的常見類型及解題策略
(1)直接考查裂項相消法求和．解決此類問題常用的裂項有：＝－；＝；＝－.
(2)與不等式相結合考查裂項相消法求和．解決此類問題應分兩步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放縮法、單調(diào)性等證明不等式．
1．正項數(shù)列{an}滿足：a－(2n－1)an－2n＝0.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；
(2)令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解：(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，
得(an－2n)(an＋1)＝0.
由于{an}是正項數(shù)列
12、，所以an＝2n.[來源:]
(2)已知an＝2n，bn＝，
則bn＝＝.
Tn＝
＝＝.
2．設數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝，cn＝，記Sn＝c1＋c2＋…＋cn，證明：Sn<1.
解：(1)由題意a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＋2n－1an＝，n∈N*，當n≥2時，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝.
兩式相減，得2n－1an＝－＝.
所以，當n≥2時，an＝.
當n＝1時，a1＝也滿足上式，
所求通項公式an＝(n∈N*)．
(2)證明：b
13、n＝＝＝，
cn＝＝－，
Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＝1－<1.
—————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
2種思路——解決非等差、等比數(shù)列求和問題的兩種思路
(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成．
(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的，往往通過裂項相消法、倒序相加法等來求和．
3個注意點——應用“裂項相消法”和“錯位相減法”應注 意的問題
(1)裂項相消法，分裂通項是否恰好等于相應的兩項之差．
(2)在正負項抵消后，是否只剩下第一項和最后一項，或有時前面剩下兩項，后面也剩下兩項，未消去的項有前后對稱的特點．
(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比含有參數(shù)，應分q＝1和q≠1兩種情況求解．
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高考數(shù)學復習：第五章 ：第四節(jié) 數(shù)列求和突破熱點題型
