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1、
第七節(jié) 正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.
知識梳理
一、三角形中的各種關(guān)系
設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，對應(yīng)的三個角為A，B，C.
1．三內(nèi)角的關(guān)系：____________.
2．邊與邊關(guān)系：___________________________________.
3．邊與角關(guān)系：
(1)正弦定理：______________＝2R.(R為△ABC外接圓半徑)
(2)余弦定理：__________________________________.
它們的變式有：cos A＝____________，c
2、os B＝____________，cos C＝____________，a∶b∶c＝________，＝________.
(3)常用三角形面積公式：S△＝_____________________.
二、關(guān)于三角形內(nèi)角的常用三角恒等式
由A＋B＋C＝π知，A＝π－(B＋C)可得出
sin A＝________，cos A＝________.
而＝－，有sin＝________，cos＝________.
三、三角形度量問題
求邊、角、面積、周長及有關(guān)圓半徑等.
條件
角角邊
邊邊角
邊邊邊
邊角邊
適用定理
正弦
定理
正弦定理或
余弦定理
余弦
定理
3、
余弦
定理
其中“邊邊角”(abA)類型利用正弦定理求角時應(yīng)判定三角形的個數(shù)：
A<90
A≥90
1 / 6
a≥b
absin A
a＝bsin A
ab
a≤b
一解
兩解
一解
無解
一解
無解
四、判斷三角形的形狀特征，必須深入地研究邊、角間的關(guān)系
1．幾個常用基本結(jié)論：①a＝b或A＝B?等腰三角形；②a2＋b2＝c2或A＝90?直角三角形；③a2＞b2＋c2或A＞90?鈍角三角形；④若a為最大邊且a2＜b2＋c2或A為最大角且A＜90?銳角三
4、角形；⑤若sin A＝sin B?等腰三角形；⑥若sin 2A＝sin 2B?等腰三角形或直角三角形．
2.基本思想方法：從條件出發(fā)，利用正弦定理(或余弦定理)進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化．逐步化為純粹的邊與邊或角與角的關(guān)系，即通過考慮如下兩條途徑：①統(tǒng)一成角進(jìn)行判斷，常用正弦定理及三角恒等變換；②統(tǒng)一成邊進(jìn)行判斷，常用余弦定理、面積公式等．
基礎(chǔ)自測
1．(2013湖南卷)在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b. 若2asin B＝b，則角A等于( )
A. B. C. D.
解析：由2asin B＝b得2sin Asin B＝sin B ，
所以si
5、n A＝，因為△ABC是銳角三角形，所以A＝，故選A.
答案：A
2．(2013汕頭二模)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知c＝2，C＝，△ABC的面積S△ABC＝，則△ABC的周長為( )
A．6 B．5 C．4 D．4＋2
解析：在△ABC中，∵△ABC的面積S△ABC＝＝absin C＝ab，∴ab＝4.
再由余弦定理 c2＝4＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－4，
∴a2＋b2＝8，
∴a＋b＝＝＝4，
故△ABC的周長為 a＋b＋c＝4＋2＝6，故選A.
答案：A
3．(2012廣東六校
6、聯(lián)考)已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝，且B是 A與C的等差中項，則sin A＝__________.
解析：依題意B＝180－(A＋C)＝180－2B，得B＝60，由正弦定理得＝，得sin A＝＝.
答案：
4．(2012衡陽模擬)在銳角三角形ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，則等于______，AC的取值范圍為______________．
解析：設(shè)∠A＝θ?∠B＝2θ.由正弦定理得
＝，∴＝1?＝2.
由銳角三角形ABC得0＜2θ＜90?0＜θ＜45.
又0＜180－3θ＜90?30＜θ＜60，
故30＜θ＜45?＜co
7、s θ＜.
∴AC＝2cos θ∈(，)．
答案：2 (，)
一、1.A＋B＋C ＝ π 2.a ＋ b > c，b ＋ c > a，c ＋ a > b，a－b < c，b－c < a，c－a < b
3．(1)＝＝ (2)c2 ＝ a2＋b2－2abcos C，
b2 ＝ a2＋c2－2accos B，a2 ＝ b2＋c2－2bccos A sin A∶sin B∶sin C (3)aha＝absin C＝acsin B＝bcsin A
二、sin(B＋C)?。璫os(B＋C) cos sin
1. (2013天津卷)在△ABC中，∠
8、ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin∠BAC＝( )
A. B. C. D.
解析：在△ABC中，由余弦定理
AC2＝BA2＋BC2－2BABCcos∠ABC＝()2＋32－23 cos ＝5.
∴AC＝，由正弦定理＝得
sin∠BAC＝＝＝＝，故選C.
答案：C
2．(2012福建卷)在△ABC中，已知∠BAC＝60，∠ABC45，BC＝，則AC＝________.
解析：在△ABC中，利用正弦定理得
＝?＝?AC＝＝.
答案：
1．(2012浙江名校新高考聯(lián)盟二聯(lián)) 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a2
9、＋c2－b2)tan B＝ac，則角B的值為( )
A. B. C.或 D.或
解析：∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac，∴cos B＝＝＝.整理得：sin B＝，即B＝或.故選C.
答案：C
2．(2013韶關(guān)二模)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的三條邊長分別是a，b，c，且滿足csin A＋acos C＝0.
(1)求C的值；
(2)若cos A＝，c＝5，求sin B和b的值．
解析：(1)將csin A＋acos C＝0利用正弦定理化簡得：2Rsin Csin A＋2Rsin Acos C＝0，
即2sin Csin A＋2sin Acos C＝0，
∵sin A≠0，∴sin C＋cos C＝0，即tan C＝－，
∵C∈(0，π)，∴C＝；
(2)∵cos A＝，A∈，∴sin A＝＝，則sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝，
∵sin B＝，c＝5，sin C＝sin ＝，
則由正弦定理＝，得：
b＝＝＝3－4.
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