2015屆高考數學總復習 基礎知識名師講義 第九章 第五節(jié)變量間的相關關系、統計案例 文

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1、 第五節(jié)　變量間的相關關系、統計案例 1．會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系． 2．了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程． 3．了解下列兩種常用的統計方法，并能應用這些方法解決一些實際問題． (1)獨立檢驗：了解獨立性檢驗(只要求22列聯表)的基本思想、方法及其簡單應用． (2)回歸分析：了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用． 知識梳理 1．散點圖． (1)將變量所對應的點描出來，就組成了變量之間的一個圖， 這種圖為變量之間的________． (2)從散點圖上可以看出，如果變量之間存在著

2、某種關系，這些點會有一個集中的大致趨勢，這種趨勢可用一條光滑的曲線來近似，這種近似的過程稱為曲線擬合． 2．相關關系． (1)從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為________；點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內，兩個變量的這種相關關系稱為________． (2)線性相關：從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做________． (3)若兩個變量x和y的散點圖中，所有點看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動，則稱此相關是__________的．如果所有的點在

3、散點圖中沒有顯示任何關系，則稱變量間是不相關的． 3．回歸直線． (1)最小二乘法：如果有n個點：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表達式來刻畫這些點與回歸直線的接近程度： [y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2，使得上式達到最小值的＝x＋就是我們要求的直線，這種方法稱為最小二乘法． (2)在回歸直線方程＝x＋中，＝＝，＝________，其中＝，＝.叫做回歸直線方程的斜率，是直線在y軸上的截距． 2 / 7 4．相關系數． ，用它來衡量兩個變量間的線性相關關系． (1)當r＞0時，表明兩個變量_

4、_______； (2)當r＜0時，表明兩個變量________； (3)r的絕對值越接近1，表明兩個變量的線性相關性________；r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．通常當|r|＞0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關關系． 當|r|∈[0.3,0.75)時，相關性一般．當|r|∈[0,0.25]時，相關性較弱． 5．殘差分析． (1)線性回歸模型：y＝bx＋a＋e中，a，b稱為模型的未知參數；e稱為隨機誤差． (2)殘差平方和：對于樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，Q＝(yi－)稱為殘差平方和，Q值越小，說明線性回歸模型的擬合效果越

5、好． (3)相關指數：用相關指數R2來刻畫回歸的效果，公式是R2＝1－.R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果________． 6．獨立性檢驗． (1)若變量的不同“值”表示個體所屬的不同類型，則這類變量稱為分類變量． (2)列出兩個分類變量的頻數表，稱為列聯表． (3)利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為兩個分類變量的________． 22列聯表 y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 獨立性檢驗公式K2＝___________

6、_______. 1.散點圖　2.(1)正相關　負相關　(2)回歸直線　(3)非線性相關　3.(2)\o(y,\s\up6(－))－b\o(x,\s\up6(－)),4.(1)正相關　(2)負相關　(3)越強　5.(3)越好　6.(3)獨立性檢驗　\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)) ,基礎自測 1．下列命題： ①任何兩個變量都具有相關關系； ②圓的周長與該圓的半徑具有相關關系； ③某商品的需求與該商品的價格是一種非確定性關系； ④根據散點圖求得的回歸直線方程可能是沒有意義的； ⑤兩個變量間的相關關系可以通過回歸直線，把非確定

7、性問題轉化為確定性問題進行研究． 其中正確的命題為(　　) A．①③④　　　　 B．②④⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 答案：C 2．(2013武昌調研)通過隨機詢問110名性別不同的行人，對過馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進行抽樣調查，得到如下的列表： 男 女 總計 走天橋 40 20 60 走斑馬線 20 30 50 總計 60 50 110 由 算得K2＝≈7.8. 附表： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 對照附表，得到的

8、正確結論是(　　) A．有99%以上的把握認為“選擇過馬路的方式與性別有關” B．有99%以上的把握認為“選擇過馬路的方式與性別無關” C．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“選擇過馬路的方式與性別有關” D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“選擇過馬路的方式與性別無關” 解析：因為K2＝≈7.8>6.635，所以有99%以上的把握認為“選擇過馬路的方式與性別有關”． 答案：A 3．(2012新課標全國卷)在一組樣本數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2

9、，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數據的樣本相關系數為________． 解析：所有點均在直線上，則樣本相關系數最大即為1. 答案：1 4．調查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關關系，并由調查數據得到y對x的回歸直線方程：＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． 解析： 由題意得2－1＝[0.254(x＋1)＋0.321]－[0.254x＋0.321]＝0.254，即家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.254萬元．

10、 答案：0.254　 1．(2013湖北卷)四名同學根據各自的樣本數據研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論： ①y與x負相關且＝2 347x－6 423； ②y與x負相關且＝－3 476x＋5 648； ③y與x正相關且＝5.437x＋8.493； ④y與x正相關且＝－4.326x－4.578. 其中一定不正確的結論的序號是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：①回歸方程中x的系數為正，不是負相關；④方程中的x的系數為負，不是正相關，所以①④一定不正確． 答案：D 2．某電視臺在一

11、次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調查中，隨機抽取了100名電視觀眾，相關的數據如下表所示： 文藝節(jié)目 新聞節(jié)目 總計 20至40歲 40 18 58 大于40歲 15 27 42 總計 55 45 100 (1)由表中數據直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關？ (2)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取5名大于40歲的觀眾應該抽取幾名？ (3)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾年齡為20至40歲的概率． 解析：(1)有關．收看新聞節(jié)目多為年齡大的． (2)應抽取的人數為：5＝3(人)． (3)由(2)知，抽取的5名觀眾

12、中，有2名觀眾年齡處于20至40歲，3名觀眾的年齡大于40歲． 記大于40歲的人為a1，a2，a3,20至40歲的人為b1，b2，則從5人中抽取2人的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共10個，其中恰有1人為20至40歲的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6個，因此所求的概率P＝＝. 1．(2013梅州一模)在2014年1月15日當天，某物價部門對本市的5家商場的某商品的一天

13、銷售量價格進行調查，5家商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數據如下表所示： 價格x 9 9.5 m 10.5 11 銷售量y 11 n 8 6 5 由散點圖可知，銷售量y與價格x之間有較強的線性相關關系，其線性回歸直線方程是：＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，則其中的n＝____________. 解析：＝(9＋9.5＋m＋10.5＋11)＝(40＋m)， ＝(11＋n＋8＋6＋5)＝(30＋n) 因為其線性回歸直線方程是：＝－3.2x＋40， 所以(30＋n)＝－3.2(40＋m)＋40， 即30＋n＝－3.2(40＋m)＋200，又m＋n＝2

14、0， 解得m＝n＝10. 答案：10 2．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后在生產A產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸)的幾組對應數據： x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 根據上表提供的數據，求出y關于x的線性回歸方程為＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為(　　) A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5 解析：由＝0.7x＋0.35得＝0.7＋0.35?＝3.5?t＝3，故選A. 答案：A 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！