【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二篇 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性 理 湘教版

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1、 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性 A級(jí)　基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x)，又當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(log6)等于 (　　)． A．－5 B．－6 C．－ D．－ 解析　f(log6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)． ∵log26－2＝log2∈(0,1)，∴f＝， ∴f(log6)＝－. 答案　D 2．(2011安徽)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝2x2－x，

2、則f(1)等于 (　　)． A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析　∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≤0時(shí)，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2(－1)2＋(－1)＝－3. 答案　A 3．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(x＋2)，當(dāng)x∈[3,5]時(shí)，f(x)＝2－|x－4|，則下列不等式一定成立的是 (　　)． A．f>f B．f(sin 1)f(sin 2) 解析　當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，x＋4∈[3,5]，

3、由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|， 顯然當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)為減函數(shù)，cos＝－，sin ＝>，又f＝f>f，所以f>f. 答案　A 4．(2013秀山一模)已知函數(shù)f(x)＝則該函數(shù)是 (　　)． A．偶函數(shù)，且單調(diào)遞增 B．偶函數(shù)，且單調(diào)遞減 C．奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 D．奇函數(shù)，且單調(diào)遞減 解析　當(dāng)x>0時(shí)，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝0，故f(x)為奇函數(shù)，且f(x)＝1－2－x在

4、[0，＋∞)上為增函數(shù)，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上為增函數(shù)，又x≥0時(shí)1－2－x≥0，x<0時(shí)2x－1<0，故f(x)為R上的增函數(shù)． 答案　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2011浙江)若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析　由題意知，函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0. 答案　0 6．(2012上海)已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________. 解析　因?yàn)閥＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，

5、且x＝1時(shí)，y＝2，所以當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 答案?。? 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意x，y，f(x)都滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)． (1)求f(1)，f(－1)的值； (2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性． 解　(1)因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)任意x，y，f(x)滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)，所以令x＝y(tǒng)＝1，得f(1)＝0，令x＝y(tǒng)＝－1，得f(－1)＝0. (2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入

6、f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)． 8．(13分)設(shè)定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,0]上單調(diào)遞減，若f(1－m)

7、f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù) C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函數(shù) 解析　由已知條件，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)．由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(－x＋2)＝－f(x)；由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－x－2)＝－f(x)．則f(－x＋2)＝f(－x－2)，即f(x＋2)＝f(x－2)，由此可得f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即函數(shù)f(x＋3)也是奇函數(shù)． 答案　D 2．(2012福建)設(shè)函數(shù)D(x)＝則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 (　

8、　)． A．D(x)的值域?yàn)閧0,1} B．D(x)是偶函數(shù) C．D(x)不是周期函數(shù) D．D(x)不是單調(diào)函數(shù) 解析　顯然D(x)不單調(diào)，且D(x)的值域?yàn)閧0,1}，因此選項(xiàng)A、D正確．若x是無理數(shù)，－x，x＋1是無理數(shù)；若x是有理數(shù)，－x，x＋1也是有理數(shù)．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．則D(x)是偶函數(shù)，D(x)為周期函數(shù)，B正確，C錯(cuò)誤． 答案　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．f(x)＝2x＋sin x為定義在(－1,1)上的函數(shù)，則不等式f(1－a)＋f(1－2a)<0的解集是 ________. 解析　f(x)在(－1,1)

9、上是增函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)．于是原不等式為f(1－a)

10、)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由； (2)若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上為增函數(shù)．求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}， 當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2，(x≠0) 顯然為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a， 因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)， 所以函數(shù)f(x)＝x2＋既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． (2)f′(x)＝2x－＝， 當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)， 當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝>0， 解得x> ，由f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)， 可知 ≤2.解得0<

11、a≤16. 綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，16]． 6．(13分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x＋2)＝－f(x)． (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 014]上的所有x的個(gè)數(shù)． (1)證明　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． (2)解　當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x， 設(shè)－1≤x≤0，則0≤－x≤1， ∴f(－x)＝(－x)＝－x. ∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x. 故f(x)＝x(－1≤x≤1)． 又設(shè)1