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1、
第2章 2.2.1
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．若方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是( )
A．－9＜m＜25 B．8＜m＜25
C．16＜m＜25 D．m＞8
解析： 依題意有，解得8＜m＜25，
即實數(shù)m的取值范圍是8＜m＜25，故選B.
答案： B
2．已知橢圓的焦點為(－1,0)和(1,0)，點P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋x2＝1
解析： c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
∴橢圓的方程為＋＝1.
答案： A
3．
2、已知(0，－4)是橢圓3kx2＋ky2＝1的一個焦點，則實數(shù)k的值是( )
A．6 B.
C．24 D.
解析： ∵3kx2＋ky2＝1，
∴＋＝1.
又∵(0，－4)是橢圓的一個焦點，
∴a2＝，b2＝，c2＝a2－b2＝－＝＝16，∴k＝.
答案： D
4．橢圓＋＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點，已知＝0，則△F1PF2的面積為( )
A．12 B．10
- 1 - / 6
C．9 D．8
解析： ∵＝0，∴PF1⊥PF2.
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a.
又a＝5，b＝3，∴c＝4，
3、
∴
②2－①，得2|PF1||PF2|＝102－64，
∴|PF1||PF2|＝18，
∴△F1PF2的面積為9.
答案： C
二、填空題(每小題5分，共10分)
5．橢圓＋＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|＝4，則|PF2|＝________；∠F1PF2的大小為________．
解析： 由橢圓標準方程得a＝3，b＝，
則c＝＝，|F1F2|＝2c＝2.
由橢圓的定義得|PF2|＝2a－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝－，
所以∠F1PF2＝120.
答案： 2 120
6．若點O和點F分別為橢圓＋
4、＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為________．
解析： 橢圓的左焦點F為(－1,0)，設P(x，y)，
則＋＝1，
＝(x，y)(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2
＝x2＋x＋3
＝(x＋2)2＋2
∵－2≤x≤2，∴當x＝2時，有最大值6.
答案： 6
三、解答題(每小題10分，共20分)
7．求適合下列條件的橢圓的標準方程：
(1)焦點在x軸上，且經過點(2,0)和點(0,1)；
(2)焦點在y軸上，與y軸的一個交點為P(0，－10)，P到它較近的一個焦點的距離等于2.
解析： (1)因為橢圓的焦點在x軸上，
所以可設它的標準方
5、程為＋＝1(a>b>0)，
∵橢圓經過點(2,0)和(0,1)
∴，∴，
故所求橢圓的標準方程為＋y2＝1.
(2)∵橢圓的焦點在y軸上，所以可設它的標準方程為
＋＝1(a>b>0)，
∵P(0，－10)在橢圓上，∴a＝10.
又∵P到它較近的一個焦點的距離等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.
∴所求橢圓的標準方程是＋＝1.
8．已知圓x2＋y2＝9，從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段PP′，點M在PP′上，并且＝2，求點M的軌跡．
解析： 設點M的坐標為(x，y)，點P的坐標為(x0，y0)，則x0＝x，y0＝3y.
因為P(x0，y
6、0)在圓x2＋y2＝9上，
所以x＋y＝9.
將x0＝x，y0＝3y代入，得x2＋9y2＝9，
即＋y2＝1.
所以點M的軌跡是一個橢圓．
尖子生題庫☆☆☆
9．(10分)已知橢圓的中心在原點，兩焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，且過點A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求橢圓的標準方程．
解析： 設所求橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)．
設焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．
∵F1A⊥F2A，∴＝0，
而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，
∴(－4＋c)(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求橢圓的標準方程為＋＝1.
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