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1、
備戰(zhàn)2012數(shù)學(xué)應(yīng)考能力大提升
典型例題
例1 如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖．
(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；
(2)畫(huà)出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積；
(3)求出該幾何體的體積．
解：(1)正六棱錐
(2)其側(cè)視圖如圖：
其中AB＝AC，AD⊥BC，
且BC的長(zhǎng)是俯視圖中正六邊形對(duì)邊的距離，即BC＝a，
AD的長(zhǎng)是正六棱錐的高，即AD＝a，
∴該平面圖形的面積
S＝a·a＝a2.
(3)V＝·6·a2·a＝a3.
例2 有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體的各條
2、棱相切，第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)．求這三個(gè)球的半徑之比．
解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑分別為R1，R2，R3.球內(nèi)切于正方體時(shí)，球的直徑和正方體的棱長(zhǎng)相等，如圖1所示，AB＝2R1＝a，所以R1＝；
球與這個(gè)正方體的各條棱相切時(shí)，球的直徑與正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)相等，如圖2所示，CD＝2R2＝a，所以R2＝；
當(dāng)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，也即正方體內(nèi)接于球，此時(shí)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)均在球面上，則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑，如圖3所示，EF＝2R3＝a，
所以R3＝.
故三個(gè)球的半徑之比為1::.
創(chuàng)新題型
1．一個(gè)正方體內(nèi)接于高為40 cm，
3、底面半徑為30 cm的圓錐中，求正方體的棱長(zhǎng)．
2．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面半徑的比是1∶4，截去的小圓錐的母線長(zhǎng)是3 cm，求圓臺(tái)的母線長(zhǎng)．
3.已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形， AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝4.
(1)根據(jù)已經(jīng)給出的此四棱錐的正視圖，畫(huà)出其俯視圖和側(cè)視圖；
(2)證明：平面PAD⊥平面PCD.
參考答案
1.【解析】 如圖，過(guò)正方體的體對(duì)角線作圓錐的軸截面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，
則OC＝x，∴＝，
解得x＝120(3－2)，
∴正方體的棱長(zhǎng)為120(3－2)cm.
所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9 cm.
3.【解析】 (1)三視圖如圖所示
(2)證明：∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD.
又平面PAD∩平面ABCD＝AD，
CD?平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.
又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
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