專題56 已知三角函數(shù)值求函數(shù)值(解析版)

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1、 專題56 已知三角函數(shù)值求函數(shù)值 一、單選題 1．已知，且，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系得出的值，再用兩角差的余弦公式即可解題. 【詳解】 因為，所以， 又，所以， 所以 . 故選：D 【點睛】 方法點睛：該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題，解題方法如下： （1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合角的范圍，求得的值； （2）湊角，利用差角余弦公式求得結(jié)果. 2．在中，角、、的對邊分別為、、，已知，，若最長邊為，則最短邊長為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先結(jié)合角的范

2、圍利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得角的正余弦，再利用三角形內(nèi)角和為和誘導(dǎo)公式計算角的正余弦，判斷c為最大邊，為最短邊，利用正弦定理求出即可. 【詳解】 由知，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可求得，，由知，得，， ∴，， 即為鈍角，為最大角，故c為最大邊，有， 由知，最短邊為， 于是由正弦定理，即求得， 故選：A. 【點睛】 本題解題關(guān)鍵在于通過計算內(nèi)角的正余弦值判斷c為最大邊，為最短邊，才能再利用已知條件和正弦定理計算突破答案. 3．若，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根據(jù)題中條件，由誘導(dǎo)公式，以及二倍角的余弦公式，即可求出結(jié)果. 【詳解

3、】 因為， 所以. 故選：D. 4．若，，則（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用，結(jié)合輔助角公式、基本不等式，得出，即可得出結(jié)果 【詳解】 ，，則， ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由， ， ，，，， 故選：D 【點睛】 關(guān)鍵點點睛：本題考查了三角函數(shù)值的計算，考查了輔助角公式、基本不等式，解題的關(guān)是得出，屬于中檔題. 5．《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計算問題，術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面積計算公式為：弧田面積（弦矢+矢矢）.弧田是由圓弧（弧田?。┖鸵詧A弧的端點為端點的線段（弧田弦）圍成的平面圖形，公式

4、中的“弦”指的是弧田弦的長，“矢”指的是弧田所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差，現(xiàn)有一弧田，其弧田弦等于6米，其弧田弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計算公式算得該弧田的面積為平方米，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由弧田面積求出矢，設(shè)半徑為，圓心到弧田弦的距離為，列出方程組求出，，從而得到，再由，能求出結(jié)果． 【詳解】 如圖，由題意可得：， 弧田面積（弦矢矢矢矢平方米． 解得矢，或矢（舍， 設(shè)半徑為，圓心到弧田弦的距離為， 則，解得，， ， ，可得． 故選：D 【點睛】 關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于求出，其中涉及直角三角

5、函數(shù)，這個問題解決了，后面的問題就迎刃而解了. 6．若，且，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，最后結(jié)合誘導(dǎo)公式以及正弦倍角公式求得求即可. 【詳解】 因為，，所以， 則， 故選：D. 7．若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用，結(jié)合二倍角公式可求得結(jié)果. 【詳解】 由得：. 故選：A. 8．已知角的終邊經(jīng)過點，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根據(jù)角的終邊經(jīng)過點，利用三角函數(shù)的定義可求出的正弦和余弦，進而利用二倍角公

6、式，兩角和的余弦公式即可求解. 【詳解】 解：角的終邊經(jīng)過點， ， 由三角函數(shù)的定義知：，， ， ， . 故選：A. 9．已知是第二象限的角，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由題可得，再由二倍角的正切公式即可求出. 【詳解】 因為是第二象限的角，，則，， . 故選：B. 10．若，，則（ ） A． B．0 C． D．或0 【答案】B 【分析】 根據(jù)題意，化簡得到，所以，取得，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角和的正弦函數(shù)公式，即可求解. 【詳解】 由，可得， 即， 因為，所以，所以， 解得，所以，所以，所

7、以， 又，所以， 所以. 【點睛】 三角函數(shù)的化簡求值的規(guī)律總結(jié)： 1、給角求值：一般給出的角是非特殊角，要觀察所給角與特殊角的關(guān)系，利用三角變換轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題； 2、給值求值：即給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使相關(guān)角相同或具有某種關(guān)系； 3、給值求角：實質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為“給值求值”即通過求角的某個三角函數(shù)值來求角（注意角的范圍）. 11．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根據(jù)題意并結(jié)合誘導(dǎo)公式可得出，再由二倍角的余弦公式，即可得出求出結(jié)果. 【詳解】 解：由題意可知，， 根據(jù)

8、誘導(dǎo)公式可得：， 則． 故選：A. 12．若，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 化簡，再利用二倍角公式化簡求值. 【詳解】 =. 故選：B 【點睛】 方法點睛：三角恒等變換常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三變（變角變名變式），要根據(jù)已知條件靈活選擇方法化簡求值. 13．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 化簡已知得，再化簡代入求值即得解. 【詳解】 由題得， . 故選：C 二、解答題 14．已知角的終邊經(jīng)過． （1）求及m的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），，；

9、（2）. 【分析】 （1）根據(jù)任意角的正切函數(shù)的定義結(jié)合點的坐標(biāo)求解出的值；再根據(jù)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義求解出的值； （2）先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡原式，再結(jié)合兩角和的正弦、余弦、正切公式計算出原式的值. 【詳解】 （1）因為，所以，所以 （2）原式， 因為，，所以， 所以原式的值為. 【點睛】 關(guān)鍵點點睛：解答本題的第二問的關(guān)鍵是熟悉誘導(dǎo)公式的運用，利用誘導(dǎo)公式對原式進行化簡，同時對于兩角和的正弦、余弦、正切公式要很熟練，方便對原式進行計算求值. 15．已知點是角的終邊上一點． （1）求； （2）求的值． 【答案】（1），（2） 【分析】 （1）先求出

10、，由三角函數(shù)的定義可得答案. （2）,將（1）中的結(jié)果代入可得答案. 【詳解】 （1）點在角的終邊上一點，則 由三角函數(shù)的定義可得： （2） 16．已知． （Ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）若，且，求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）化簡函數(shù)得，令可得增區(qū)間； （Ⅱ）由，則，結(jié)合，可得，再由展開求解即可. 【詳解】 （Ⅰ） . 令，解得， 則的單調(diào)遞增區(qū)間為 （Ⅱ）若，則， ，則， 因為，所以， 所以， 所以 . 【點睛】 關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點有兩個，一是利用，結(jié)合，得，二是利用展開求值. 17．已知． （1）

11、求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）根據(jù)化簡原式的分子分母，然后分式上下同除，將原式變形為的表示形式，由此計算出原式的值； （2）先根據(jù)正切的二倍角公式計算出的值，然后根據(jù)角的關(guān)系：，結(jié)合兩角和的正切公式求解出的值. 【詳解】 （1）因為，所以且， 所以； （2）因為，所以， . 【點睛】 關(guān)鍵點點睛：解答本題的第二問的關(guān)鍵是找到與的之間的關(guān)系，從而借助正切的兩角和公式、二倍角公式完成求解. 18．已知，且為第二象限角． （I）求：的值； （II）求：的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）根據(jù)題意以及同角基本關(guān)

12、系可知，再利用二倍角公式即可求出結(jié)果； （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果利用兩角差余弦公式，即可求出結(jié)果. 【詳解】 （Ⅰ），， 又為第二象限角，得， ； （Ⅱ） ． 19．已知，． （1）求證：． （2）若為第一象限角，為第四象限角，求的值． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 【分析】 （1）分別將已知條件展開，兩式相減、相加可得，的值，兩式相除即可求證； （2）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合角所在的象限求出、的值，利用即可求解. 【詳解】 （1）由題意可得： 得 得． 得：，即 （2）若為第一象限角， 因為為第四象限角， ， . 【點

13、睛】 關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是靈活運用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，要證，化切為弦即證，所以想到將已知條件展開，給值求值型的關(guān)鍵是用已知角表示所要求的角，即. 20．已知． （1）求值：； （2）求值：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用齊次式即可求解. （2）利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正切公式即可求解. 【詳解】 （1）， ， 原式=. （2） . 21．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足 （1）求角B的大??； （2）若，求的值； （3）若，，求邊a的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分

14、析】 （1）由正弦定理的邊角轉(zhuǎn)化得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)即可求角B. （2）由兩角差、倍角公式展開，根據(jù)已知條件及（1）的結(jié)論即可求值. （3）根據(jù)余弦定理列方程即可求a的值. 【詳解】 （1）由正弦定理有：，而為的內(nèi)角， ∴，即，由，可得， （2）， ∵，，可得，而， ∴， （3）由余弦定理知：，又，，， ∴，可得. 22．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點． （1）求與的值； （2）若角滿足，且角為第三象限角，求的值． 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）利用三角函數(shù)的定義求出、的值，再利用誘導(dǎo)公式可求得與的值； （2）利用同

15、角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，然后利用兩角和的余弦公式可求得的值． 【詳解】 （1）由任意角的三角函數(shù)定義可得，. 由誘導(dǎo)公式可得，； （2）由于角滿足，且角為第三象限角，所以，， 因此，. 23．已知函數(shù)的最小正周期為. （1）求與的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）在中，若，求的取值范圍. 【答案】（1），；（2） 【分析】 （1）根據(jù)函數(shù)的最小正周期為，可求，并寫出函數(shù)式進而求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）由（1）結(jié)論，求角，根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可知角B、C的關(guān)系，進而求B的范圍，即可求的取值范圍. 【詳解】 （1）因為的最小正周期為，即 ∴，令 解得 ∴的單調(diào)遞

16、增區(qū)間是 （2）在中，若， 由（1）得，，所以 因為 所以，即 因為，所以； 所以 所以的取值范圍 【點睛】 關(guān)鍵點點睛： （1）由最小正周期求參數(shù)，利用整體代入法求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）應(yīng)用三角形內(nèi)角和性質(zhì)可得內(nèi)角B、C的關(guān)系，進而用其中一角表示另一角并確定角的范圍，進而求函數(shù)值的范圍. 24．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象． （1）求的值； （2）求函數(shù)的解析式； （3）若，求． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)得解析式，再代入即可求解； （2）利用圖像平移變換“左加右減”

17、即可得到的解析式； （3）由，可求出或，再分類討論求出． 【詳解】 （1） （2）根據(jù)圖像平移變換可知： （3），，即， 解得：或 所以：或 當(dāng)時， 當(dāng)時， 綜上可知， 【點睛】 方法點睛：本題主要考查函數(shù)的圖像變換規(guī)律，做題時要注意三點： （1）弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖像，得到哪個函數(shù)的圖像； （2）注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)； （3）由的圖像得到的圖像時，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是． 25．已知為銳角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由為銳角，可求

18、出，利用同角之間的關(guān)系可求出. （2）根據(jù)結(jié)合余弦的差角公式可得出答案. 【詳解】 （1），， （2）由為銳角，， . 【點睛】 方法點睛：本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，余弦函數(shù)的差角公式以及角的變換關(guān)系，在利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求值或化簡時，常根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互余、互補的關(guān)系，運用角的變換，溝通條件與結(jié)論的差異，使問題獲解，常見角的變換方式有：，，等等，屬于一般題. 26．已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根據(jù)利用兩角差的正切公式計算可得； （2）利用弦化切代入計算可得； 【詳解】 （1），

19、又，． （2） 【點睛】 方法點睛：三角函數(shù)化簡求值，常用拼湊角： （1）再利用誘導(dǎo)公式求值或化簡時，巧用相關(guān)角的關(guān)系會簡化解題過程，常見的互余關(guān)系有：與，與，與等；常見的互補關(guān)系有： 與，與等； （2）在利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求值或化簡時，常根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互余、互補的關(guān)系，運用角的變換，溝通條件與結(jié)論的差異，使問題獲解，常見角的變換方式有：，，等等. 27．設(shè)是鈍角，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)及題干條件，可求得的值，根據(jù)即可得答案； （2）根據(jù)（1）可得的值，利用兩角和的余弦公式，即可求得答案

20、. 【詳解】 （1）是鈍角，，根據(jù)， 解得，所以. （2）， . 28．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且圖象相鄰兩個最高點的距離為. （1）求和的值； （2）若，求的值. 【答案】（1），；（2）． 【分析】 （1）根據(jù)對稱軸和周期可求和的值． （2）由題設(shè)可得，利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦可求的值． 【詳解】 （1）因為圖象相鄰兩個最高點的距離為，故周期為， 所以，故． 又圖象關(guān)于直線，故， 所以，因為，故． （2）由（1）得， 因為，故， 因為，故，故． 又 ． 【點睛】 方法點睛：三角函數(shù)的中的化簡求值問題，

21、我們往往從次數(shù)的差異、函數(shù)名的差異、結(jié)構(gòu)的差異和角的差異去分析，處理次數(shù)差異的方法是升冪降冪法，解決函數(shù)名差異的方法是弦切互化，而結(jié)構(gòu)上差異的處理則是已知公式的逆用等，最后角的差異的處理則往往是用已知的角去表示未知的角. 29．已知，為銳角，，. （1）求的值. （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系以及二倍角公式即可求值； （2）先求出，再利用即可求解. 【詳解】 解：（1）由題意知：為銳角，且， 解得：， ； （2）由（1）知，， 則， ， ， 故. 30．已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（

22、1）；（2）. 【分析】 （1）由求出，利用兩角和與差的正弦公式求解即可； （2）利用二倍角公式和兩角和與差公式計算出結(jié)果． 【詳解】 （1），， ， . （2）由（1）可得： ， . 31．如圖，在中，于，且. （1）若，求角的大??； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）設(shè)，則，從而可得，利用二倍角公式正切公式即可求解. （2）根據(jù)題意可得，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，即，再由，利用兩角和的正切公式即可求解. 【詳解】 （1）設(shè)，則，， 因為，， 又因為，所以， 即，所以， 因為，所以，

23、所以. （2）因為，，， 所以， 又因為，， 所以， 所以，， 又因為， 所以． 32．設(shè)函數(shù)． （1）若，求． （2）在銳角中，為銳角，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，，．求b． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 利用二倍角公式及降冪公式進行化簡，（1），求得與，再運用和差公式以及二倍角公式求值；（2）由，求得，再運用余弦定理求值. 【詳解】 （1）, 由，得，， 故，， ； （2）由（1）得，且， 得，， 又為銳角三角形， ， 在由余弦定理可知， 故. 【點睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定

24、理實現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值. 33．已知 ，，， 求，，的值. 【答案】；； 【分析】 由已知條件，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系結(jié)合角所在的象限求出，，以及的值，再利用兩角和的正弦公式，兩角差的余弦公式，正切的二倍角公式即可求解. 【詳解】 因為，， 所以， 因為，， 所以， 所以， 因為，所以， 綜上所述：，，. 34．已知向量，，且函數(shù)的圖象經(jīng)過點. （1）求的解析式及最小正周期； （2）若，，求的值. 【答

25、案】（1），最小正周期為；（2）. 【分析】 （1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、二倍角公式以及兩角和的正弦公式化簡可得，由結(jié)合的取值范圍可求得的值，進而可得出函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期； （2）由已知條件得出，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求得，再利用兩角差的正弦公式可求得的值. 【詳解】 （1），， ， 由已知可得，可得， 又，，則，該函數(shù)的最小正周期為； （2）， ，則，， 所以， . 【點睛】 方法點睛：給值求值問題一般是正用公式將所求“復(fù)角”展開，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入展

26、開式即可． 35．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由題意結(jié)合正弦定理可得的值 （2）利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值. 【詳解】 （1） 在中，由正弦定理得， ，即，. （2）由（1）可得， 從而，， 故. 【點睛】 方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用： （1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”； （2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正

27、弦定理，“邊化角”； （3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”； （4）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用； 三、填空題 36．若，則____________ 【答案】 【分析】 由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式直接運算即可得解. 【詳解】 若，則， . 故答案為：. 37．已知，則______． 【答案】或 【分析】 利用兩角和的正切公式，展開即可求解. 【詳解】 即，解得或. 故答案為：或 38．若，是第三象限角，則___________. 【答案】 【分析】 先化簡，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可得答案. 【詳

28、解】 解：， ， ， 為第三象限角， ， 故答案為： 【點睛】 本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合半角公式化簡，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題. 39．已知，則________. 【答案】 【分析】 將未知角化為已知角，結(jié)合三角恒等變換公式化簡即可. 【詳解】 解：因為， 所以. 故答案為：. 【點睛】 三角公式求值中變角的解題思路 （1）當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式； （2）當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”. 四、雙空題 40．已知，且，則______，______. 【答案】 【分析】 ①根據(jù)x的范圍利用平方關(guān)系求出余弦，即可求得正切， ②利用二倍角公式化簡，利用商數(shù)關(guān)系求解 . 【詳解】 ①由題：，且，所以， 所以 ② = 故答案為：；