高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第二章 第十一節(jié)

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)提升作業(yè)(十四) 一、選擇題 1.設(shè)a∈R,若函數(shù)y=ex+ax,x∈R有大于零的極值點(diǎn),則(　　) (A)a<-1 (B)a>-1 (C)a>-1e (D)a<-1e 2.(20xx·榆林模擬)函數(shù)y=(3-x2)ex的遞增區(qū)間是(　　) (A)(-∞,0) (B)(0,+∞) (C)(-∞,-3)和(1,+∞) (D)(-3,1) 3.(20xx

2、3;銅川模擬)對(duì)任意的x∈R,函數(shù)f(x)=x3+ax2+7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是(　　) (A)0≤a≤21 (B)a=0或a=7 (C)a<0或a>21 (D)a=0或a=21 4.(20xx·九江模擬)已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù),且滿足以下條件: ①f(x)=ax·g(x)(a>0,a≠1); ②g(x)≠0; ③f(x)·g′(x)>f′(x)·g(x). 若f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=52,則

3、a等于(　　) (A)12 (B)2 (C)54 (D)2或12 5.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),將y=f(x)和y=f′(x)的圖像畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,不可能正確的是(　　) 6.(20xx·撫州模擬)函數(shù)y=f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),且函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線為l:y=g(x)=f′(x0)·(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像如圖所示,且a<x0<b,那么(　　) (A)F′(x0)=0,x=x0是

4、F(x)的極大值點(diǎn) (B)F′(x0)=0,x=x0是F(x)的極小值點(diǎn) (C)F′(x0)≠0,x=x0不是F(x)的極值點(diǎn) (D)F′(x0)≠0,x=x0是F(x)的極值點(diǎn) 二、填空題 7.函數(shù)f(x)=sinx2+cosx的遞增區(qū)間是　　　　　. 8.若函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則常數(shù)c的值為　　　　. 9.對(duì)于函數(shù)f(x)=-2cosx(x∈[0,π])與函數(shù)g(x)=12x2+lnx有下列命題: ①函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x=π2對(duì)稱; ②函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn); ③函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)圖像上存在平行的切線;　 ④若函數(shù)f(x)

5、在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g(x)在點(diǎn)Q處的切線,則直線PQ的斜率為12-π. 其中正確的命題是　　　　.(將所有正確命題的序號(hào)都填上) 三、解答題 10.(20xx·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)=a3x3-a+12x2+x+b,其中a,b∈R. (1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為y=5x-4,求函數(shù)f(x)的解析式. (2)當(dāng)a>0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. 11.(20xx·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2-3x+lnx(a>0). (1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線平行于x軸,求函數(shù)f(x)在區(qū)

6、間[12,2]上的最值. (2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍. 12.(能力挑戰(zhàn)題)已知函數(shù)f(x)=xlnx. (1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn). (2)若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程. (3)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函數(shù)g(x)在[1,e]上的最小值(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). 答案解析　 1.【解析】選A.由y′=(ex+ax)′=ex+a=0,得ex=-a, 即x=ln(-a)>0?-a>1?a<-1. 2.【解析】選D.y′=-2xex+(

7、3-x2)ex=ex(-x2-2x+3)>0?x2+2x-3<0?-3<x<1,∴函數(shù)y=(3-x2)ex的遞增區(qū)間是(-3,1). 3.【解析】選A.f′(x)=3x2+2ax+7a,令f′(x)=0,當(dāng)Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21時(shí),f′(x)≥0恒成立,函數(shù)不存在極值點(diǎn). 4.【解析】選A.由①②得f(x)g(x)=ax,又[f(x)g(x)]′=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2, 由③知[f(x)g(x)]′<0,故y=ax是減函數(shù),因此0<a<1.由f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=5

8、2,得a+1a=52,解得a=12或a=2(舍). 5.【解析】選D.對(duì)于A來(lái)說,拋物線為函數(shù)f(x),直線為f′(x);對(duì)于B來(lái)說,從左到右上升的曲線為函數(shù)f(x),從左到右下降的曲線為f′(x);對(duì)于C來(lái)說,下面的曲線為函數(shù)f(x),上面的曲線為f′(x).只有D不符合題設(shè)條件. 【方法技巧】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與增減速度及圖像的關(guān)系 (1)導(dǎo)數(shù)與增長(zhǎng)速度 ①一個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度快,就是說,在自變量的變化相同時(shí),函數(shù)值的增長(zhǎng)大,即平均變化率大,導(dǎo)數(shù)也就大;②一個(gè)函數(shù)減小的速度快,那么在自變量的變化相同時(shí),函數(shù)值的減小大,即平均變化率大,導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值也就大. (2)導(dǎo)數(shù)與圖像 一般地,如果一

9、個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大,說明函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快,這時(shí),函數(shù)的圖像就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數(shù)的圖像就較“平緩”. 6.【思路點(diǎn)撥】y=g(x)是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線,故g′(x)= f′(x0),據(jù)此判斷F′(x0)是否為0,再進(jìn)一步判斷在x=x0兩側(cè)F′(x)的符號(hào). 【解析】選B.F′(x)=f′(x)-g′(x)=f′(x)-f′(x0), ∴F′(x0)=f′(x0)-f′(x0)=0,又當(dāng)x<x0時(shí),從圖像上看,f′(x)<f′(x0),即 F′(x)<0,此時(shí)函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)

10、是減少的,同理,當(dāng)x>x0時(shí),函數(shù)F(x)是增加的. 7.【解析】f′(x)=(2+cosx)cosx-sinx (-sinx)(2+cosx)2=2cosx+1(2+cosx)2>0,即cosx>-12,結(jié)合三角函數(shù)圖像知,2kπ-2π3<x<2kπ+2π3(k∈Z),即函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(2kπ-2π3,2kπ+2π3)(k∈Z). 答案:(2kπ-2π3,2kπ+2π3)(k∈Z) 8.【解析】∵x=2是f(x)的極大值點(diǎn), f(x)=x(x2-2cx+c2)=x3-2cx2+c2x,　 ∴f′(x)=3x2-4cx+c2, ∴f′(2)=

11、3×4-8c+c2=0, 解得c=2或c=6,當(dāng)c=2時(shí),在x=2處不能取極大值,∴c=6. 答案:6 【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)由f′(2)=0求出c后,不驗(yàn)證是否能夠取到極大值這一條件,導(dǎo)致產(chǎn)生增根. 9.【解析】畫出函數(shù)f(x)=-2cosx,x∈[0,π]的圖像可知①錯(cuò);函數(shù)g(x)=12x2+lnx的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=x+1x≥2,所以函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù),畫圖知②正確;因?yàn)閒′(x)=2sinx≤2,又因?yàn)間′(x)=x+1x≥2,所以函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)圖像上存在平行的切線,③正確;同時(shí)要使函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g(x)在點(diǎn)Q處的切線只

12、有f′(x)=g′(x)=2,這時(shí)P(π2,0),Q(1,12),所以kPQ=12-π,④也正確. 答案:②③④ 10.【解析】(1)f′(x)=ax2-(a+1)x+1. 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′(2)=5,于是a=3. 由切點(diǎn)P(2,f(2))在直線y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4. 所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x3-2x2+x+4. (2)f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-1a)(x-1). 當(dāng)0<a<1時(shí),1a>1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)及(1a,+∞)上是增加的,在區(qū)間(1,1a)上是減少的; 當(dāng)a=1時(shí),1a=1,

13、函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上是增加的; 當(dāng)a>1時(shí),1a<1,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1a)及(1,+∞)上是增加的,在區(qū)間(1a,1)上是減少的. 11.【解析】(1)∵f(x)=ax2-3x+lnx, ∴f′(x)=2ax-3+1x, 又f′(1)=0,∴2a-2=0,∴a=1, ∴f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+1x. 令f′(x)=0,即2x-3+1x=0, 解得x=12或x=1. 列表如下: x 12 (12,1) 1 (1,2) 2 f′(x) - 0 + f(x) -54-ln2 減 -2

14、 增 -2+ln2　 ∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)min=-2; ∵f(2)-f(12)=-2+ln2+54+ln2=ln4-34>1-34>0, ∴當(dāng)x=2時(shí),f(x)max=-2+ln2. (2)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f′(x)=2ax-3+1x=2ax2-3x+1x,令Δ=9-8a. 當(dāng)a≥98時(shí),Δ≤0,f′(x)≥0, 函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增加的, 當(dāng)0<a<98時(shí),Δ>0,方程2ax2-3x+1=0有兩個(gè)不相等的正根x1,x2,不妨設(shè)x1<x2,則當(dāng)x∈(0,x1)∪(x2,+∞)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x

15、∈(x1,x2)時(shí),f′(x)<0,這時(shí),函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù). 綜上,a的取值范圍是[98,+∞). 12.【思路點(diǎn)撥】(1)先判斷f(x)的增減性,再求極值點(diǎn). (2)設(shè)出切點(diǎn),表示出切線方程,利用直線過點(diǎn)(0,-1),求出切點(diǎn)即可得出切線方程.(3)先求出極值點(diǎn),再根據(jù)該點(diǎn)是否在[1,e]上分類討論. 【解析】(1)f′(x)=lnx+1,x>0.而f′(x)>0,即lnx+1>0,得x>1e.f′(x)<0,即lnx+1<0,得0<x<1e, 所以f(x)在(0,1e)上是減少的,在(1e,+∞)上是增加的.

16、 所以x=1e是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),極大值點(diǎn)不存在. (2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則y0=x0lnx0,切線的斜率為lnx0+1, 所以切線l的方程為y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0). 又切線l過點(diǎn)(0,-1), 所以有-1-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0). 解得x0=1,y0=0. 所以直線l的方程為y=x-1. (3)g(x)=xlnx-a(x-1),則g′(x)=lnx+1-a. g′(x)<0,即lnx+1-a<0,得0<x<ea-1,g′(x)>0,得x>ea-1,所以g(x)在(0,ea-1)

17、上是減少的,在(ea-1,+∞)上是增加的. ①當(dāng)ea-1≤1即a≤1時(shí),g(x)在[1,e]上是增加的, 所以g(x)在[1,e]上的最小值為g(1)=0. ②當(dāng)1<ea-1<e,即1<a<2時(shí),g(x)在[1,ea-1)上是減少的,在(ea-1,e]上是增加的.g(x)在[1,e]上的最小值為g(ea-1)=a-ea-1. ③當(dāng)e≤ea-1,即a≥2時(shí),g(x)在[1,e]上是減少的,所以g(x)在[1,e]上的最小值為g(e)=e+a-ae. 綜上,x∈[1,e]時(shí),當(dāng)a≤1時(shí),g(x)的最小值為0; 當(dāng)1<a<2時(shí),g(x)的最小值為a-

18、ea-1; 當(dāng)a≥2時(shí),g(x)的最小值為a+e-ae. 【變式備選】設(shè)f(x)=-13x3+12x2+2ax. (1)若f(x)在(23,+∞)上存在遞增區(qū)間,求a的取值范圍.　 (2)當(dāng)0<a<2時(shí),f(x)在[1,4]上的最小值為-163,求f(x)在該區(qū)間上的最大值. 【解析】(1)f(x)=-13x3+12x2+2ax, ∴f′(x)=-x2+x+2a,當(dāng)x∈[23,+∞)時(shí),f′(x)的最大值為f′(23)=29+2a.函數(shù)f(x)在(23,+∞)上存在遞增區(qū)間,即導(dǎo)函數(shù)在(23,+∞)上存在函數(shù)值大于零成立, ∴29+2a>0?a>-19.

19、 (2)已知0<a<2,f(x)在[1,4]上取到最小值-163,而f′(x)=-x2+x+2a的圖像開口向下,且對(duì)稱軸為x=12,∴f′(1)=-1+1+2a=2a>0, f′(4)=-16+4+2a=2a-12<0, 則必有一點(diǎn)x0∈[1,4]使得f′(x0)=0,此時(shí)函數(shù)f(x)在[1,x0]上是增加的,在[x0,4]上是減少的, f(1)=-13+12+2a=16+2a>0, ∴f(4)=-13×64+12×16+8a=-403+8a, ∴-403+8a=-163,得a=1, 此時(shí),由f′(x0)=-x02+x0+2=0得x0=2或-1(舍去), 所以函數(shù)f(x)max=f(2)=103.