高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和學(xué)案 理 北師大版

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第四節(jié)　數(shù)列求和 [考綱傳真]　(教師用書(shū)獨(dú)具)1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見(jiàn)的求和方法． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第87頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．公式法 (1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： Sn＝＝na1＋d； (2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： Sn＝ 2．幾種數(shù)列求和的常用方法 (1)分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減． (2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的

2、通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．裂項(xiàng)時(shí)常用的三種變形： ①＝－； ②＝； ③＝－. (3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解． (4)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解． (5)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12

3、 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [基本能力自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn＝.(　　) (2)當(dāng)n≥2時(shí)，＝.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得．(　　) (4)如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)　(4)√ 2．(教材改編)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝，則S

4、5等于(　　) A．1　　　　　 B. C. D． B　[∵an＝＝－， ∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.] 3．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，前n項(xiàng)和為9，則n等于(　　) A．9 B．99 C．10 D．100 B　[∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1，令－1＝9，得n＝99，故選B.] 4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，則S17＝________. 9　[S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋

5、…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.] 5．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝__________. 2n＋1－2＋n2　[Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第87頁(yè)) 分組轉(zhuǎn)化求和 　(20xx北京高考)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和． [解]　(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q， 則q＝＝＝3， 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝2

6、7，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)． 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因?yàn)閍1＝b1＝1，a14＝b4＝27， 所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)． (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝＋＝n2＋. [規(guī)律方法]　分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型 (1)若an ＝bncn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和． (2)通項(xiàng)公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列

7、{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和． 易錯(cuò)警示：注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的分類討論． [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx南昌一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝(－1)n－1an，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n. [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5， ∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2. ∴an＝1＋(n－1)2＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝(－1)n－1(2n－1)． ∴T2n＝1－

8、3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1) ＝(－2)n＝－2n. 裂項(xiàng)相消法求和 　(20xx全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． [解]　(1)因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當(dāng)n≥2時(shí)， a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 兩式相減得(2n－1)an＝2， 所以an＝(n≥2)． 又由題設(shè)可得a1＝2，滿足上式， 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)記的前n項(xiàng)和為Sn. 由(1)知＝＝－， 則Sn＝－＋－＋…＋－＝.

9、 [規(guī)律方法]　利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng),(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).,(2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).,(3)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.如：若{an}是等差數(shù)列，則＝，＝. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx石家莊一模)已知等差數(shù)列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10項(xiàng)和S10＝100. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140181】 [解]　(1)由已知得 解

10、得 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)bn＝＝， 所以Tn＝ ＝＝. 錯(cuò)位相減法求和 　(20xx山東高考)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)設(shè){an}的公比為q， 由題意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2， 又an>0，由以上兩式聯(lián)立方程組解得a1＝2，q＝2， 所以an＝2n. (2)由題意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn

11、＋1， 又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2n＋1. 令cn＝，則cn＝. 因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝＋＋＋…＋＋， 又Tn＝＋＋＋…＋＋， 兩式相減得 Tn＝＋－， 所以Tn＝5－. [規(guī)律方法]　(1)錯(cuò)位相減法求和的適用范圍 如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和. (2)錯(cuò)位相減法求和的注意事項(xiàng) ①在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式. ②在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于

12、1和不等于1兩種情況求解. [跟蹤訓(xùn)練]　(20xx石家莊質(zhì)檢(二))已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N＋). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140182】 (1)求m的值； (2)若數(shù)列{bn}滿足＝log2bn(n∈N＋)，求數(shù)列{(an＋6)bn}的前n項(xiàng)和． [解]　(1)由已知得am＝Sm－Sm－1＝4， 且am＋1＋am＋2＝Sm＋2－Sm＝14， 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則2am＋3d＝14， ∴d＝2. 由Sm＝0，得ma1＋2＝0，即a1＝1－m， ∴am＝a1＋(m－1)2＝m－1＝4， ∴m＝5. (2)由(1)知a1＝－4，d＝2，∴an＝2n－6， ∴n－3＝log2bn，得bn＝2n－3. ∴(an＋6)bn＝2n2n－3＝n2n－2. 設(shè)數(shù)列{(an＋6)bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n， ∴Tn＝12－1＋220＋…＋(n－1)2n－3＋n2n－2，　① 2Tn＝120＋221＋…＋(n－1)2n－2＋n2n－1，?、? ①－②，得－Tn＝2－1＋20＋…＋2n－2－n2n－1 ＝－n2n－1 ＝2n－1－－n2n－1， ∴Tn＝(n－1)2n－1＋(n∈N＋)．