高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 課時(shí)分層訓(xùn)練56 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理 北師大版

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)分層訓(xùn)練(五十六)　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．若直線y＝kx與雙曲線－＝1相交，則k的取值范圍是(　　) A.　　 B. C. D.∪ C　[雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x，若直線與雙曲線相交，數(shù)形結(jié)合，得k∈.] 2．已知直線y＝2(x－1)與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(－1，m)，若＝0，則m＝(　　) A. B. C. D．0 B　[由得A(2,2)，B. 又∵M(jìn)(－1，m)且＝0， ∴2m2－2m＋

2、1＝0，解得m＝.] 3．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140306】 A．1 B．1或3 C．0 D．1或0 D　[由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，則y＝2，符合題意． 若k≠0，則Δ＝0， 即64－64k＝0，解得k＝1， 所以直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個(gè)共公點(diǎn)時(shí)，k＝0或1.] 4．(20xx河南重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知直線l：y＝2x＋3被橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)截得的弦長(zhǎng)為7，則下列直線中被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7的有(　　) ①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－

3、3；④y＝－2x＋3. A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 C　[直線y＝2x－3與直線l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線y＝－2x－3與直線l關(guān)于x軸對(duì)稱，直線y＝－2x＋3與直線l關(guān)于y軸對(duì)稱，故有3條直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7.] 5．已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 A　[因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1，－1)，所以直線AB的方程為y＝(x－3)，代入橢圓方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，

4、所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為＝1，即a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3， 所以E的方程為＋＝1.] 二、填空題 6．已知傾斜角為60的直線l通過拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為__________． 16　[直線l的方程為y＝x＋1， 由得y2－14y＋1＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝14， 所以|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝14＋2＝16.] 7．已知(4,2)是直線l被橢圓＋＝1所截得的線段的中點(diǎn)，則l的方程是__________． x＋2y－8＝0　[設(shè)直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(

5、x2，y2)． 則＋＝1，且＋＝1， 兩式相減得＝－. 又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 所以＝－，故直線l的方程為y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.] 8．已知橢圓＋＝1(0

6、的離心率為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過點(diǎn)P(0,1)的直線與該橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝2，求△AOB的面積． [解]　(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1，a＞b＞0， 由題意可得c＝，又橢圓的離心率為，得a＝2. ∴b2＝a2－c2＝2， ∴所求方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由＝2得 設(shè)直線方程為y＝kx＋1，代入橢圓方程整理， 得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. 由x1＝－2x2代入上式可得2＝. ∴k2＝. ∴△AOB的面積S＝|OP||x1－x2|＝＝. 10. (20xx江蘇高

7、考改編)如圖892，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p>0)． 圖892 (1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程； (2)當(dāng)p＝1時(shí)，若拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.求線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)． [解]　(1)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為. 由點(diǎn)在直線l：x－y－2＝0上， 得－0－2＝0，即p＝4. 所以拋物線C的方程為y2＝8x. (2)當(dāng)p＝1時(shí)，曲線C：y2＝2x. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)M(x0，y0)． 因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l垂直平

8、分線段PQ， 于是直線PQ的斜率為－1，則可設(shè)其方程為y＝－x＋b. 由消去x，得y2＋2y－2b＝0. 因?yàn)镻和Q是拋物線C的兩相異點(diǎn)，則y1≠y2. 從而Δ＝4－41(－2b)＝8b＋4>0.(*) 因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－1. 又M(x0，y0)在直線l上，所以x0＝1. 所以點(diǎn)M(1，－1)，此時(shí)b＝0滿足(*)式． 故線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，－1)． B組　能力提升 11．(20xx全國卷Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上，且MN⊥l，則M到直線NF的距離為(　　) A. B．

9、2 C．2 D．3 C　[拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線MF的方程為y＝(x－1)． 聯(lián)立得方程組 解得或 ∵點(diǎn)M在x軸的上方， ∴M(3,2)． ∵M(jìn)N⊥l， ∴N(－1,2)． ∴|NF|＝＝4， |MF|＝|MN| ＝＝4. ∴△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形． ∴點(diǎn)M到直線NF的距離為2. 故選C.] 12．(20xx青島質(zhì)檢)過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為__________． 2＋　[如圖所示，不妨設(shè)與

10、漸近線平行的直線l的斜率為，又直線l過右焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為y＝(x－c)． 因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，代入雙曲線方程得－＝1， 化簡(jiǎn)得y＝－b或y＝b(點(diǎn)P在x軸下方，故舍去)． 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a，－b)， 代入直線方程得－b＝(2a－c)， 化簡(jiǎn)可得離心率e＝＝2＋.] 13．(20xx廣州綜合測(cè)試(二))已知定點(diǎn)F(0,1)，定直線l：y＝－1，動(dòng)圓M過點(diǎn)F，且與直線l相切． (1)求動(dòng)圓M的圓心軌跡C的方程； (2)過點(diǎn)F的直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作曲線C的切線l1，l2兩條切線相交于點(diǎn)P，求△PAB外接圓面積的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)

11、：79140308】 [解]　(1)法一：設(shè)圓心M到直線l的距離為d， 由題意|MF|＝d. 設(shè)圓心M(x，y)，則有＝|y＋1|. 化簡(jiǎn)得x2＝4y. 所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2＝4y. 法二：設(shè)圓心M到直線l的距離為d， 由題意|MF|＝d. 根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線， 焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線為y＝－1. 所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2＝4y. (2)法一：設(shè)lAB：y＝kx＋1， 代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 所以|AB|＝|x1－x2|＝4(k2＋

12、1)． 因?yàn)榍€C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝. 所以直線l1的斜率為k1＝， 直線l2的斜率為k2＝. 因?yàn)閗1k2＝＝－1， 所以PA⊥PB，即△PAB為直角三角形． 所以△PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點(diǎn)，線段AB是外接圓的直徑． 因?yàn)閨AB|＝4(k2＋1)，所以當(dāng)k＝0時(shí)，線段AB最短，最短長(zhǎng)度為4，此時(shí)圓的面積最小，最小面積為4π. 法二：設(shè)lAB：y＝kx＋1， 代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 所以|AB|＝|x1－x2|＝4(k2＋1)． 因?yàn)榍€C：x2

13、＝4y，即y＝，所以y′＝. 所以直線l1的方程為y－y1＝(x－x1)， 即y＝x－.① 同理可得直線l2的方程為y＝x－.② 聯(lián)立①②，解得即P(2k，－1)． 因?yàn)椋?x1－2k，y1＋1)(x2－2k，y2＋1) ＝x1x2－2k(x1＋x2)＋4k2＋y1y2＋(y1＋y2)＋1＝0， 所以PA⊥PB，即△PAB為直角三角形． 所以△PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點(diǎn)，線段AB是外接圓的直徑． 因?yàn)閨AB|＝4(k2＋1)，所以當(dāng)k＝0時(shí)，線段AB最短，最短長(zhǎng)度為4，此時(shí)圓的面積最小，最小面積為4π. 法三：設(shè)lAB：y＝kx＋1，由對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)A在y軸的左

14、側(cè)， 代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0. 解得A(2k－2，2k2－2k＋1)， B(2k＋2，2k2＋2k＋1)． 所以|AB|＝4(k2＋1)． 因?yàn)榍€C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2) 所以直線l1的方程為y－y1＝(x－x1)， 即y＝x－. ① 同理可得直線l2的方程為y＝x－. ② 聯(lián)立①②，解得即P(2k，－1)． 因?yàn)锳B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2k,2k2＋1)， 所以AB的中垂線方程為y－(2k2＋1)＝－(x－2k)， 因?yàn)镻A的中垂線方程為y－(k2－k)＝(k＋)[x－(2k－)]， 聯(lián)立上述兩個(gè)方程，解得其交點(diǎn)坐標(biāo)為N(2k,2k2＋1)． 因?yàn)辄c(diǎn)M，N的坐標(biāo)相同， 所以AB的中點(diǎn)M為△PAB的外接圓的圓心． 所以△PAB是直角三角形，且PA⊥PB， 所以線段AB是△PAB外接圓的直徑． 因?yàn)閨AB|＝4(k2＋1)， 所以當(dāng)k＝0時(shí)，線段AB最短，最短長(zhǎng)度為4，此時(shí)圓的面積最小，最小面積為4π.