高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第1章 集合與常用邏輯用語 第2節(jié) 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件學案 文 北師大版

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 第二節(jié)　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 [考綱傳真]　1.理解命題的概念；了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.2.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義． (對應學生用書第3頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．命題 可以判斷真假，用文字或符號表述的語句叫做命題，其中判斷為真的叫做真命題，判斷為假的叫做假命題． 2．四種命題及其相互關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 圖1­2­1 (2)四種命題的

2、真假關(guān)系 ①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； ②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 3．充分條件與必要條件 (1)如果p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件． (2)如果p?q，那么p與q互為充要條件． (3)如果pD q，且qD p，則p是q的既不充分也不必要條件． [知識拓展] 1．充分條件、必要條件的兩個結(jié)論 (1)若p是q的充分不必要條件，q是r的充分不必要條件，則p是r的充分不必要條件； (2)若p是q的充分不必要條件，則綈q是綈p的充分不必要條件． 2．充分條件、必要條件與集合的關(guān)系 p成立的對象構(gòu)成的集合

3、為A，q成立的對象構(gòu)成的集合為B p是q的充分條件 A?B p是q的必要條件 B?A p是q的充分不必要條件 AB p是q的必要不充分條件 BA p是q的充要條件 A＝B [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命題．(　　) (2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”．(　　) (3)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(　　) (4)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”．(　　) [解析]　(1)錯誤．該語句不能判斷真

4、假，故該說法是錯誤的． (2)錯誤．否命題既否定條件，又否定結(jié)論． (3)正確．q是p的必要條件說明p?q，所以p是q的充分條件． (4)正確．原命題與逆否命題是等價命題． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則tan α≠1 B．若α＝，則tan α≠1 C．若tan α≠1，則α≠ D．若tan α≠1，則α＝ C　[“若p，則q”的逆否命題是“若綈q，則 綈p”，顯然綈q：tan α≠1，綈p：α≠，所以該命題的逆否命題是“若tan α

5、≠1，則α≠”．] 3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[a＝3時，A＝{1,3}，顯然A?B． 但A?B時，a＝2或3. ∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要條件．] 4．命題“若a＞－3，則a＞－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個數(shù)為(　　) 【導學號：00090004】 A．1　　　　 B．2 C．3　　　　 D．4 B　[原命題正確，從而其逆否命題也正確；其逆命題為“若a＞－6，則a＞－3”是假

6、命題，從而其否命題也是假命題． 因此4個命題中有2個假命題．] 5．(20xx·天津高考)設x∈R，則“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 B　[∵2－x≥0，∴x≤2. ∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2. ∵當x≤2時不一定有x≥0，當0≤x≤2時一定有x≤2， ∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分條件． 故選B．] (對應學生用書第3頁) 四種命題的關(guān)系及其真假判斷 　(1)命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題

7、及其真假性為(　　) A．“若x＝4，則x2－3x－4＝0”為真命題 B．“若x≠4，則x2－3x－4≠0”為真命題 C．“若x≠4，則x2－3x－4≠0”為假命題 D．“若x＝4，則x2－3x－4＝0”為假命題 (2)原命題為“若z1，z2互為共軛復數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關(guān)于逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(　　) A．真，假，真　 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 (1)C　(2)B　[(1)根據(jù)逆否命題的定義可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命題為假命題，所以其逆否命題也是假命題． (

8、2)由共軛復數(shù)的性質(zhì)，原命題為真命題，因此其逆否命題也為真命題． 當z1＝1＋2i，z2＝2＋i時，顯然|z1|＝|z2|，但z1與z2不共軛，所以逆命題為假命題，從而它的否命題亦為假命題．] [規(guī)律方法]　1.已知原命題寫出該命題的其他命題時，先要分清命題的條件與結(jié)論．特別注意的是，如果命題不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫為“若p，則q”的形式． 2．給出一個命題，要判斷它是真命題，需經(jīng)過嚴格的推理證明；而要說明它是假命題，只需舉一反例即可． 3．由于原命題與其逆否命題的真假性相同，所以有時可以利用這種等價性間接地證明命題的真假． [變式訓練1]　(1)某食品的廣告詞

9、為“幸福的人們都擁有”，這句話的等價命題是(　　) A．不擁有的人們會幸福 B．幸福的人們不都擁有 C．擁有的人們不幸福 D．不擁有的人們不幸福 (2)原命題為“若＜an，n∈N*，則{an}為遞減數(shù)列”，關(guān)于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(　　) A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 (1)D　(2)A　[(1)等價命題即為逆否命題，故選D． (2)由＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an. 所以當＜an時，必有an＋1＜an， 則{an}是遞減數(shù)列． 反之，若{an}是遞減數(shù)列，

10、必有an＋1＜an， 從而有＜an. 所以原命題及其逆命題均為真命題，從而其否命題及其逆否命題也均是真命題．] 充分條件與必要條件的判斷 　(1)(20xx·北京高考)設m，n為非零向量，則“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)設x∈R，則“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (1)A　(2)A　[(1)法一：由題意

11、知|m|≠0，|n|≠0. 設m與n的夾角為θ. 若存在負數(shù)λ，使得m＝λn， 則m與n反向共線，θ＝180°， ∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0. 當90°<θ<180°時，m·n<0，此時不存在負數(shù)λ，使得m＝λn. 故“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件． 故選A． 法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2. ∴當λ<0，n≠0時，m·n<0. 反之，由m·

12、;n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈， 當〈m，n〉∈時，m，n不共線． 故“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件． 故選A． (2)|x－2|＜1?1＜x＜3. 由于{x|1＜x＜2}是{x|1＜x＜3}的真子集， 所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分不必要條件．] [規(guī)律方法]　充分條件、必要條件的三種判斷方法 (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題． (2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于命題

13、中涉及字母的范圍的推斷問題． (3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題． [變式訓練2]　(1)(20xx·九江十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝則“x＝0”是“f(x)＝1”的(　　) 【導學號：00090005】 A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(20xx·東北三省四市聯(lián)考)設a，b均為實數(shù)，則“a＞|b|”是“a3＞b3”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件

14、D．既不充分也不必要條件 (1)B　(2)A　[(1)若x＝0，則f(x)＝1， 若f(x)＝1，則ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e. 故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要條件，故選B． (2)a＞|b|能推出a＞b，進而得a3＞b3；當a3＞b3時，有a＞b，但若b＜a＜0，則a＞|b|不成立，所以“a＞|b|”是“a3＞b3”的充分不必要條件，故選A．] 充分條件、必要條件的應用 　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍． [解]　由x2－8x－20≤0得－2

15、≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}． ∵x∈P是x∈S的必要條件，則S?P， ∴∴0≤m≤3. 綜上，可知0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件． [母題探究1]　本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件． [解]　由例題知P＝{x|－2≤x≤10}． 若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S， ∴ ∴ 這樣的m不存在． [母題探究2]　本例條件不變，若綈P是綈S的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍． [解]　由例題知P＝{x|－2≤x≤10}． ∵綈P是綈S的必要不充分條件， ∴P是S的充分不必要條件， ∴P?S且

16、SDP， ∴[－2,10][1－m,1＋m]， ∴或 ∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)． [規(guī)律方法]　充分條件、必要條件的應用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時需注意： (1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解． (2)要注意區(qū)間端點值的檢驗． [變式訓練3]　(1)(20xx·長沙模擬)已知命題p：a≤x≤a＋1，命題q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________． (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R，a為常數(shù))的解集只有一個負實

17、根的充要條件是________． (1)(0,3)　(2)a≤0或a＝1　[(1)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}． ∵p是q的充分不必要條件，∴MN， ∴解得0<a<3. (2)當a＝0時，原方程為2x＋1＝0， ∴原方程有一個負實根x＝－. 當a≠0時，ax2＋2x＋1＝0只有一個負實根． ∴方程有一個正根和一個負根或方程有兩個相等的負根．當方程有一正一負根時，則x1x2＜0， ∴＜0，且Δ＝4－4a＞0，解得a＜0； 當方程有兩個相等的負根時，Δ＝4－4a＝0，a＝1，此時方程的根為－1，符合題意． 綜上，方程的解集只有一個負實根的充要條件是a≤0或a＝1.]