高考數學一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線學案 理 北師大版

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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 第七節(jié)　雙曲線 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.理解數形結合思想.4.了解雙曲線的簡單應用． (對應學生用書第144頁) [基礎知識填充] 1．雙曲線的定義 (1)平面內到兩定點F1，F2的距離之差的絕對值等于常數(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫作雙曲線．這兩個定點F1，F2叫作雙曲線的焦點，

2、兩焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c為常數且a>0，c>0. ①當2a<|F1F2|時，M點的軌跡是雙曲線； ②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡是兩條射線； ③當2a>|F1F2|時，M點不存在． 2．雙曲線的標準方程和幾何性質 標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 圖形 性 質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對稱性 對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點 頂點 A1(

3、－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) 實虛軸 線段A1A2叫作雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫作雙曲線的實半軸長，b叫作雙曲線的虛半軸長 a、b、c 的關系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) [知識拓展] 1．三種常見雙曲線方程的設法 (1)若已知雙曲線過兩點，焦點位置不能確定，可設方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)． (2)當已知雙曲線的漸近線方程bx

4、±ay＝0，求雙曲線方程時，可設雙曲線方程為b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)． (3)與雙曲線－＝1有相同的漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0)． 2．等軸雙曲線 實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內到點F1(0,4)，F2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．(　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(　　) (3)雙曲線－＝λ(m>0，n>0，

5、λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.(　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝(　　) A．2　　　　　B．　　　 　　C．　　　　　D．1 D　[依題意，e＝＝＝2，所以＝2a，則a2＝1，a＝1.] 3．若雙曲線E：－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 B　[由題意知a＝3，b＝4，∴c＝5.

6、由雙曲線的定義||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.] 4．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為(　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 A　[由題意可得解得a＝2，則b＝1，所以雙曲線的方程為－y2＝1，故選A．] 5．(20xx·全國卷Ⅲ)雙曲線－＝1(a＞0)的一條漸近線方程為y＝x，則a＝________. 5　[∵雙曲線的標準方程為－＝1(a>0)， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 又雙曲線的一條漸近線方程

7、為y＝x，∴a＝5.] (對應學生用書第145頁) 雙曲線的定義及應用 　(1)已知雙曲線x2－＝1的兩個焦點為F1，F2，P為雙曲線右支上一點．若|PF1|＝|PF2|，則△F1PF2的面積為(　　) A．48　　　　　　 B．24 C．12 D．6 (2)(20xx·湖北武漢調研)若雙曲線－＝1的左焦點為F，點P是雙曲線右支上的動點，A(1,4)，則|PF|＋|PA|的最小值是(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 (1)B　(2)B　[(1)由雙曲線的定義可得 |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， 解得|PF2|＝6，故|P

8、F1|＝8，又|F1F2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形， 因此S＝|PF1|·|PF2|＝24. (2)由題意知，雙曲線－＝1的左焦點F的坐標為(－4,0)，設雙曲線的右焦點為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，當且僅當A，P，B三點共線且P在A，B之間時取等號． 所以|PF|＋|PA|的最小值為9.] [規(guī)律方法]　1.應用雙曲線的定義需注意的問題 在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數，且該常數必須小于

9、兩定點間的距離”.若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支.同時需注意定義的轉化應用. 2.在焦點三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立與|PF1|·|PF2|間的聯系. [跟蹤訓練]　已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F2，點A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝(　　) 【導學號：79140294】 A． B． C． D． A　[由e＝＝2得c＝2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|－|F2A|＝2a. 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a， |F2A|＝2a，∴

10、cos∠AF2F1＝＝.] 雙曲線的標準方程 　(1)(20xx·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為(　　) A．－＝1　　 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (2)(20xx·湖北調考)已知點A(－1,0)，B(1,0)為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右頂點，點M在雙曲線上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則該雙曲線的標準方程為(　　) A．x2－＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D．x2－y2＝1 (1)B　(2)D　[(1)由

11、y＝x可得＝. ① 由橢圓＋＝1的焦點為(3,0)，(－3,0)， 可得a2＋b2＝9. ② 由①②可得a2＝4，b2＝5. 所以C的方程為－＝1. 故選B． (2)由題意知a＝1.不妨設點M在第一象限，則由題意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.過點M作MN⊥x軸于點N，則|BN|＝1，|MN|＝，所以M(2，)，代入雙曲線方程得4－＝1，解得b＝1，所以雙曲線的方程為x2－y2＝1，故選D．] [規(guī)律方法]　求雙曲線標準方程的主要方法 (1)定義法：由條件判定動點的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程. (2)待定系數法：即“先定位，后定量”，如

12、果不能確定焦點的位置，應注意分類討論或恰當設置簡化討論. [跟蹤訓練]　(1)已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (2)設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為__________． (1)C　(2)－＝1　[由焦點F2(5,0)知c＝5. 又e＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝9. 所以雙曲線C的標準方程為－＝1. (2)由題意知橢圓C1的焦點坐標為F1(－5,0)，F2(5

13、,0)，設曲線C2上的一點P，則||PF1|－|PF2||＝8. 由雙曲線的定義知：a＝4，b＝3. 故曲線C2的標準方程為－＝1，即－＝1.] 雙曲線的幾何性質 ◎角度1　雙曲線的離心率問題 　(20xx·長沙模擬(二))已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝相切，則該雙曲線的離心率為(　　) A． B． C． D．3 A　[由雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線y＝x，即bx－ay＝0與圓相切得＝＝，即c＝b，則c2＝3b2＝3(c2－a2)，化簡得c＝a，則該雙曲線的離心率為e＝＝＝，故選A．] ◎角度2　雙曲線的

14、漸近線問題 　(20xx·合肥二檢)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為________． y＝±x　[因為e＝＝，所以c2＝a2＋b2＝3a2，故b＝a，則此雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.] ◎角度3　雙曲線性質的綜合應用 　(20xx·全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1,3)，則△APF的面積為(　　) A． B． C． D． D　[因為F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，所以F(2,0)． 因為PF⊥x軸，所以可設P

15、的坐標為(2，yP)． 因為P是C上一點，所以4－＝1，解得yP＝±3， 所以P(2，±3)，|PF|＝3. 又因為A(1,3)，所以點A到直線PF的距離為1， 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝. 故選D．] [規(guī)律方法]　與雙曲線幾何性質有關問題的解題策略 (1)求雙曲線的離心率(或范圍).依據題設條件，將問題轉化為關于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得. (2)求雙曲線的漸近線方程.依據題設條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程. [跟蹤訓練]　(1)(2

16、0xx·全國卷Ⅱ)若a>1，則雙曲線－y2＝1的離心率的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2) (2)(20xx·全國卷Ⅰ)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) (3)(20xx·武漢調研)雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，焦點到漸近線的距離為3，則C的實軸長等于________. 【導學號：79140295】 (1)C　(2)A　(3)8　[(1)由題意得雙曲線的離心率e＝. ∴e2＝＝1＋. ∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2， ∴1＜e＜. 故選C． (2)若雙曲線的焦點在x軸上，則 又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴ ∴－1<n<3. 若雙曲線的焦點在y軸上，則雙曲線的標準方程為 －＝1，即 即n>3m2且n<－m2，此時n不存在．故選A． (3)因為e＝＝，所以c＝a，設雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，即ax－by＝0，焦點為(0，c)，所以＝b＝3，所以a＝＝，所以a2＝16，即a＝4，故2a＝8.]