高考數學一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第10章 計數原理、概率、隨機變量及其分布 第1節(jié) 分類加法計數原理與分步乘法計數原理學案 理 北師大版

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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 第一節(jié)　分類加法計數原理與分步乘法計數原理 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理.2.能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題． (對應學生用書第169頁) [基礎知識填充] 1．分類加法計數原理 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，…，在第n類辦法中有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法．(也稱加法原理) 2．分步乘法計數原理 完成一件事

2、需要經過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝m1m2…mn種方法． 3．分類加法計數原理與分步乘法計數原理，都涉及完成一件事的不同方法的種類．它們的區(qū)別在于：分類加法計數原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分類加法計數原理中，

3、每類方案中的方法都能直接完成這件事．(　　) (3)在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(　　) (4)在分步乘法計數原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．(　　) [答案]　(1)　(2)√　(3)√　(4) 2．(教材改編)從0,1,2,3,4,5這六個數字中，任取兩個不同數字相加，其和為偶數的不同取法的種數有(　　) A．30　 B．20　　　C．10　　　D．6 D　[從0,1,2,3,4,5六個數字中，任取兩數和為偶數可分為兩類：①取出的兩數都是偶數，共有3種方法；②取出的兩數都是奇數，共有3種方法，故由分類加

4、法計數原理得共有N＝3＋3＝6種．] 3．書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數學書，第3層放有6本不同的體育書．從第1,2,3層分別各取1本書，則不同的取法種數為(　　) A．3 B．15 C．21 D．120 D　[由分步乘法計數原理知，從第1,2,3層各取1本書，不同的取法種數為456＝120.故選D．] 4．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個互不相等的數a，b組成復數a＋bi，其中虛數有(　　) A．30個 B．42個 C．36個 D．35個 C　[∵a＋bi為虛數，∴b≠0，即b有6種取法，a有6種取法， 由分步乘法計數原理知可以組

5、成66＝36個虛數．] 5．如圖1011，從A城到B城有3條路；從B城到D城有4條路；從A城到C城有4條路；從C城到D城有5條路，則某旅客從A城到D城共有________條不同的路線． 圖1011 32　[不同路線共有34＋45＝32(條)．] (對應學生用書第169頁) 分類加法計數原理 　(1)某位同學逛書店，發(fā)現有三本喜歡的書，決定至少買其中一本，則購買的方案有________種． (2)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序數對(a，b)的個數為________． (1)7　(2)13　[(1)至少買其中一

6、本的實質是買一本或買兩本或買三本，故分三類完成．第一類：買一本有3種；第二類：買兩本有3種；第三類：買三本有1種．共有3＋3＋1＝7(種)買法． (2)①當a＝0時，有x＝－，b＝－1,0,1,2，有4種可能； ②當a≠0時，則Δ＝4－4ab≥0，ab≤1， (ⅰ)當a＝－1時，b＝－1,0,1,2，有4種可能； (ⅱ)當a＝1時，b＝－1,0,1，有3種可能； (ⅲ)當a＝2時，b＝－1,0，有2種可能． 所以有序數對(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13個．] [規(guī)律方法]　應用分類加法計數原理應遵循的兩原則 (1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準. (2)分類時應注意完成這

7、件事情的任何一種方法必須屬于某一類，且只能屬于某一類(即標準明確，不重不漏). [跟蹤訓練]　橢圓＋＝1的焦點在x軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個數為________. 【導學號：79140337】 10　[因為焦點在x軸上，所以m>n.以m的值為標準分類，可分為四類： 第一類，m＝5時，使m>n，n有4種選擇； 第二類，m＝4時，使m>n，n有3種選擇； 第三類，m＝3時，使m>n，n有2種選擇； 第四類，m＝2時，使m>n，n有1種選擇． 由分類加法原理知，符合條件的橢圓共有4＋3＋2＋1＝10個．] 分步乘法

8、計數原理 　(1)(20xx全國卷Ⅱ)如圖1012，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為(　　) 圖1012 A．24　　　　　　 B．18 C．12 D．9 (2)從－1,0,1,2這四個數中選三個不同的數作為函數f(x)＝ax2＋bx＋c的系數，則可組成________個不同的二次函數，其中偶函數有________個(用數字作答)． (1)B　(2)18　6　[(1)分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計數原理可知

9、有63＝18條可以選擇的最短路程． (2)一個二次函數對應著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數原理知共有332＝18(個)二次函數．若二次函數為偶函數，則b＝0，同上可知共有32＝6(個)偶函數．] [規(guī)律方法]　利用分步乘法計數原理應注意以下三點 (1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的. (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事. (3)對完成每一步的不同方法數要根據條件準確確定. [跟蹤訓練]　(1) (20xx北京西城區(qū)二模)大廈一層有A，B，C，D四部電梯，3人在一層乘坐

10、電梯上樓，其中2人恰好乘坐同一部電梯，則不同的乘坐方式有________種(用數字作答)． (2)設集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個數為________． (1)36　(2)10　[(1)從3人中選擇兩人同乘一部電梯有C＝3種選擇，這兩人乘坐的電梯有4種選擇，最后1個乘坐的電梯有3種選擇，所以不同的乘坐方式有343＝36種． (2)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}， 所以x有2種取法，y有5種取法， 由分步乘法計數原理，A*B的元素有25＝10個．] 兩個計數原理

11、的綜合應用 　(1)(20xx鄭州第二次質量預測)將數字“124467”重新排列后得到不同的偶數個數為(　　) A．72 B．120 C．192 D．240 (2)如圖1013所示的五個區(qū)域中，現有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數為(　　) 圖1013 A．24 B．48 C．72 D．96 (1)D　(2)C　[(1)個位數字是2或6時，不同的偶數個數為C＝120；個位數字是4，不同的偶數個數為A＝120，則不同的偶數共有120＋120＝240個，故選D． (2)分兩種情況：①A，C不同色，先涂A有4種，C有3

12、種，E有2種，B，D有1種，有432＝24(種)涂法． ②A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4322＝48(種)涂法． 故共有24＋48＝72種涂色方法．] [規(guī)律方法]　與兩個計數原理有關問題的解題策略 (1)在綜合應用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步，但在分步時可能又會用到分類加法計數原理. (2)對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當地畫出示意圖或列出表格，化抽象為直觀. [跟蹤訓練]　(1)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”

13、的個數是(　　) A．48 B．18 C．24 D．36 (2)(20xx杭州調研)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B為集合M的非空子集，若對任意x∈A，y∈B，x