金版教程高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)講義：第三編 考前沖刺攻略 第三步 應(yīng)試技能專訓(xùn) 二 中檔題專練 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 二、中檔題專練 (一) 1．20xx·長(zhǎng)春監(jiān)測(cè)]已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－. (1)求函數(shù)y＝f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間； (2)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中a＝7，若銳角A滿足f＝，且sinB＋sinC＝，求△ABC的面積． 解　(1)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－＝sin2x＋cos2x＝2sin， 因此f(x)的最小正周期為T＝＝π. f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ＋≤2x＋≤2

2、kπ＋(k∈Z)， 即x∈(k∈Z)． (2)由f＝2sin＝2sinA＝，又A為銳角，所以A＝. 由正弦定理可得2R＝＝＝， sinB＋sinC＝＝， 則b＋c＝×＝13，由余弦定理可知，cosA＝＝＝，可求得bc＝40， 故S△ABC＝bcsinA＝10. 2．20xx·開封一模]如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示． (1)求證：AD⊥平面BCD； (2)求三棱錐C－ABD的高． 解　(1)證明：∵平面ADC⊥

3、平面ABC，且AC⊥BC， ∴BC⊥平面ACD，即AD⊥BC，又AD⊥CD， ∴AD⊥平面BCD. (2)由(1)得AD⊥BD， ∴S△ADB＝2，∵三棱錐B－ACD的高BC＝2，S△ACD＝2，∴×2h＝×2×2， ∴可解得h＝. 3．20xx·河南質(zhì)檢]某園林基地培育了一種新觀賞植物，經(jīng)過(guò)一年的生長(zhǎng)發(fā)育，技術(shù)人員從中抽取了部分植株的高度(單位：厘米)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在50,60)，9

4、0,100]的數(shù)據(jù))． (1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值； (2)在選取的樣本中，從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機(jī)抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在90,100]內(nèi)的概率． 解　(1)由題意可知，樣本容量n＝＝50， y＝＝0.004， x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030. (2)由題意可知，高度在80,90)內(nèi)的株數(shù)為5，記這5株分別為a1，a2，a3，a4，a5，高度在90,100]內(nèi)的株數(shù)為2，記這2株分別為b1，b2. 抽取2株的所有情況有21種，分別為： (a1，a2)，(a1，a3)，

5、(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)． 其中2株的高度都不在90,100]內(nèi)的情況有10種，分別為：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)． ∴所抽取的2株中至少有一株高度在90,100]內(nèi)的概率P＝1－＝.

6、 (二) 1．20xx·云南統(tǒng)檢]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意正整數(shù)n,3an－2Sn＝2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求證：Sn＋2Sn<S. 解　(1)∵對(duì)任意正整數(shù)n,3an－2Sn＝2，∴3an＋1－2Sn＋1＝2， ∴3an＋1－3an－2Sn＋1＋2Sn＝0，即3an＋1－3an－2(Sn＋1－Sn)＝0， ∴3an＋1－3an－2an＋1＝0，解得an＋1＝3an. 當(dāng)n＝1時(shí)，3a1－2S1＝2，即a1＝2， ∴an＝2×3n－1. ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2×3n－1. (2)證明：由(1

7、)可得Sn＝＝3n－1， ∴Sn＋1＝3n＋1－1，Sn＋2＝3n＋2－1， ∴Sn＋2Sn－S＝－4×3n<0， ∴Sn＋2Sn<S. 2．20xx·山西聯(lián)考]某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長(zhǎng)，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額)，如下表1： 年份x 20xx 20xx 20xx 20xx 20xx 儲(chǔ)蓄存款y(千億元) 5 6 7 8 10 為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，t＝x－20xx，z＝y(tǒng)－5得到下表2： 時(shí)間代號(hào)t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3

8、 5 (1)求z關(guān)于t的線性回歸方程； (2)通過(guò)(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程； (3)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少？ 附：對(duì)于線性回歸方程＝x＋，其中＝，＝－ 解　(1)＝3，＝2.2，tizi＝45，t＝55， ＝＝1.2，＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4， ∴z＝1.2t－1.4. (2)將t＝x－20xx，z＝y(tǒng)－5，代入z＝1.2t－1.4， 得y－5＝1.2(x－20xx)－1.4，即y＝1.2x－2408.4. (3)∵y＝1.2×2020－2408.4＝15.6， ∴預(yù)測(cè)到年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)15.6

9、千億元． 3. 20xx·貴州七校聯(lián)考]如圖，幾何體EF－ABCD中，CDEF為邊長(zhǎng)為2的正方形，ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，∠ADF＝90°. (1)求證：AC⊥FB； (2)求幾何體EF－ABCD的體積． 解　(1)證明：由題意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF＝D， ∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC. ∵四邊形CDEF為正方形，∴DC⊥FC， ∵DC∩AD＝D，∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC. 又∵四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4， ∴AC＝2，BC＝2，則有AC

10、2＋BC2＝AB2， ∴AC⊥BC， 又BC∩FC＝C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB. (2)連接EC，過(guò)B作CD的垂線，垂足為N， 易知BN⊥平面CDEF，且BN＝2. ∵VEF－ABCD＝VE－ABCD＋VB－ECF＝S梯形ABCD·DE＋S△EFC·BN＝， ∴幾何體EF－ABCD的體積為. (三) 1．20xx·重慶測(cè)試]設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1,22，a2,24，…，an,22n，…成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sk≥30(2k＋1)，求正整數(shù)k的最小值．

11、 解　(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q2＝＝22，又由題意q>0，故q＝2，從而an＝＝22n－1，即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝22n－1. (2)由(1)知a1＝2，數(shù)列{an}是以22為公比的等比數(shù)列， 故Sn＝＝(22n－1)． 因此不等式Sk≥30(2k＋1)可化為(22k－1)≥30(2k＋1)， 即(2k－1)(2k＋1)≥30(2k＋1)， 因?yàn)?k＋1>0，所以2k≥46，即k≥log246. 又5<log246<6，所以正整數(shù)k的最小值為6. 2．某青年教師專項(xiàng)課題進(jìn)行“學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的關(guān)系”的課題研究，對(duì)于高二年級(jí)800名學(xué)

12、生上學(xué)期期末數(shù)學(xué)和物理成績(jī)，按優(yōu)秀和不優(yōu)秀分類得結(jié)果：數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有60人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的有140人，物理優(yōu)秀但數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的有100人． (1)能否在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)系？ (2)4名成員隨機(jī)分兩組，每組2人，一組負(fù)責(zé)收集成績(jī)，另一組負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理，求學(xué)生甲分到負(fù)責(zé)收集成績(jī)組且學(xué)生乙分到負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理組的概率． 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d P(K2≥k0) 0.010 0.005 0.001 k0 6.635 7.879 10.828 解　(1)由題意可得列聯(lián)表： 物理優(yōu)秀 物理不優(yōu)秀 總計(jì)

13、數(shù)學(xué)優(yōu)秀 60 140 200 數(shù)學(xué)不優(yōu)秀 100 500 600 總計(jì) 160 640 800 因?yàn)镵2＝≈16.667>10.828， 所以能在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)． (2)設(shè)其他學(xué)生為丙和丁，4人分組的情況如下表： 小組 1 2 3 4 5 6 收集成績(jī) 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 數(shù)據(jù)處理 丙丁 乙丁 乙丙 甲丁 甲丙 甲乙 分組的情況總共有6種，學(xué)生甲負(fù)責(zé)收集成績(jī)且學(xué)生乙負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理占2種， 所以學(xué)生甲負(fù)責(zé)收集成績(jī)且學(xué)生乙負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理的概率P＝＝.

14、 3．20xx·廣州模擬]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是C1C上一點(diǎn)． (1)當(dāng)CF＝2時(shí)，證明：B1F⊥平面ADF； (2)若FD⊥B1D，求三棱錐B1－ADF的體積． 解　(1)證明：因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)， 所以AD⊥BC. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中， 因?yàn)锽1B⊥底面ABC，AD?底面ABC， 所以AD⊥B1B. 因?yàn)锽C∩B1B＝B， 所以AD⊥平面B1BCC1. 因?yàn)锽1F?平面B1BCC1， 所以AD⊥B1F. 在矩形B1BCC1中，因?yàn)镃1F＝CD＝1，B1C1＝CF

15、＝2， 所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1， 所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°. (或通過(guò)計(jì)算FD＝B1F＝，B1D＝，得到△B1FD為直角三角形) 所以B1F⊥FD. 因?yàn)锳D∩FD＝D， 所以B1F⊥平面ADF. (2)由(1)可得AD⊥平面B1DF，AD＝2， 因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以CD＝1. 在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3， 所以B1D＝＝. 因?yàn)镕D⊥B1D，所以Rt△CDF∽R(shí)t△BB1D， 所以＝，所以DF＝×＝， 所以VB1－ADF＝S△B1DF·AD＝×××

16、;×2＝. (四) 1．20xx·貴州八校聯(lián)考]在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n. (1)求角B的大小； (2)設(shè)BC中點(diǎn)為D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此時(shí)△ABC的面積． 解　(1)因?yàn)閙∥n，故有(a＋b)(sinA－sinB)－c(sinA－sinC)＝0 由正弦定理可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理可知cosB＝＝＝，因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝. (2)設(shè)∠BAD＝θ，則在△BAD中， 由B＝

17、可知θ∈， 由正弦定理及AD＝有＝＝＝2； 所以BD＝2sinθ，AB＝2sin＝cosθ＋sinθ， 所以a＝2BD＝4sinθ，c＝AB＝cosθ＋sinθ， 從而a＋2c＝2cosθ＋6sinθ＝4sin， 由θ∈可知θ＋∈，所以當(dāng)θ＋＝， 即θ＝時(shí)，a＋2c的最大值為4； 此時(shí)a＝2，c＝，所以S＝acsinB＝. 2．如圖，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4. (1)求證：AC⊥平面BCE； (2)求三棱錐E－BCF的體積． 解　(1)證明：過(guò)點(diǎn)C作C

18、M⊥AB，垂足為M，因?yàn)锳D⊥DC，所以四邊形ADCM為矩形，所以AM＝MB＝2， 又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2，CM＝2，BC＝2， 所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因?yàn)锳F⊥平面ABCD，AF∥BE， 所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC. 又BE?平面BCE，BC?平面BCE，且BE∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. (2)因?yàn)锳F⊥平面ABCD，所以AF⊥CM， 又CM⊥AB，AF?平面ABEF， AB?平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF. VE－BCF＝VC－BEF＝××BE×EF×CM

19、＝×2×4×2＝. 3．電影《功夫熊貓3》預(yù)計(jì)在1月29日上映．某地電影院為了了解當(dāng)?shù)赜懊詫?duì)票價(jià)的看法，進(jìn)行了一次調(diào)研，得到了票價(jià)x(單位：元)與渴望觀影人數(shù)y(單位：萬(wàn)人)的結(jié)果如下表： x(單位：元) 30 40 50 60 y(單位：萬(wàn)人) 4.5 4 3 2.5 (1)若y與x具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，試分析y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程； (3)根據(jù)(2)中求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)票價(jià)定為多少元時(shí)，能獲得最大票房收入． 參考公式：＝，＝－. 解　(1)由表中數(shù)據(jù)易知，y隨x的增大而減小，故y與x之間是負(fù)相關(guān)． (2)由表中數(shù)據(jù)可得＝45，＝3.5， xiyi－4 ＝－35，x－42＝500， 則＝＝－0.07，＝3.5＋0.07×45＝6.65， 所以，所求線性回歸方程為＝－0.07x＋6.65. (3)根據(jù)(2)中的線性回歸方程，若票價(jià)為x元，則渴望觀影人數(shù)為(－0.07x＋6.65)萬(wàn)人， 可預(yù)測(cè)票房收入為z＝x(－0.07x＋6.65)＝－0.07x2＋6.65x， 易得，當(dāng)x＝47.5時(shí)，z取得最大值，即票價(jià)定為47.5元時(shí)，能獲得最大票房收入．