高一數(shù)學(xué)人教A版必修3課時作業(yè)：10 最小二乘估計 含解析

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1、 人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 課時作業(yè)10　最小二乘估計 (限時：10分鐘) 1．變量y與x之間的線性回歸方程(　　) A．表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系 B．表示y與x之間的不確定性關(guān)系 C．反映y與x之間真實關(guān)系的形式 D．反映y與x之間的真實關(guān)系達(dá)到最大限度的吻合 解析：由回歸方程的求解過程及意義可知D正確． 答案：D 2．設(shè)有一個回歸方程y＝3－5x,變量x增加一個單位時(　　) A．y平均增加3個單位 B．y平均減少5個單位 C．y平均增加5個單位 D．y平均減少3個單位 解析：由回歸方程中x的系數(shù)－5可知．x增加一個單位時,y平均減少5個單位． 答案

2、：B 3．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下表： x 0 1 2 3 y 1 2 4 6 則y與x的線性回歸方程y＝bx＋a,必過點(　　) A．(2,3)　　　 B．(1.5,3) C．(1.5,3.25) D．(2,3.25) 解析：＝＝1.5,＝＝3.25,回歸直線必過點(,)． 答案：C 4．已知變量x,y具有線性相關(guān)關(guān)系,在某次試驗中測得(x,y)的4組值為(0,2),(3,3),(－3,0),(6,5),求y與x之間的回歸方程． 解析：＝＝1.5,＝＝2.5, x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝02＋33＋(－3)0＋65＝39, x＋x

3、＋x＋x＝02＋32＋(－3)2＋62＝54, ∴b＝＝,a＝－b＝2.5－1.5＝1.7, ∴回歸方程為y＝x＋. (限時：30分鐘) 1．利用最小二乘法估計回歸直線方程中系數(shù)a,b時,使函數(shù)Q(a,b)取最小值,其中函數(shù)Q(a,b)等于(　　) A.xiyi B. (xi－)2 C.y D. (yi－bxi－a)2 解析：根據(jù)求回歸直線方程中系數(shù)a、b的過程可知Q(a,b)＝ (yi－bxi－a)2. 答案：D 2．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i＝1,2,…,n),用最小二乘法建立的回

4、歸方程為＝0.85x－85.71,則下列結(jié)論中不正確的是(　　) A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過樣本點的中心(,) C．若該大學(xué)某女生身高增加1 cm,則其體重約增加0.85 kg D．若該大學(xué)某女生身高為170 cm,則可斷定其體重必為58.79 kg 解析：由于線性回歸方程中x的系數(shù)為0.85,因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,故A正確．又線性回歸方程必過樣本中心點(,),因此B正確．由線性回歸方程中系數(shù)的意義知,x每增加1 cm,其體重約增加0.85 kg,故C正確．當(dāng)某女生的身高為170 cm時,其體重估計值是58.79 kg,而不是具體值,因此D不正確． 答

5、案：D 3．若在一次試驗中,測得(x,y)的四組數(shù)值分別是A(1,3),B(2,3.8),C(3,5.2),D(4,6)．則y與x之間的回歸直線方程是(　　) A．y＝x＋1.9 B．y＝1.04x＋1.9 C．y＝0.95x＋1.04 D．y＝1.05x－0.9 解析：＝＝2.5,＝＝4.5,將(2.5,4.5)代入選項驗證得B正確． 答案：B 4．為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系,隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下： 父親身高x(cm) 174 176 176 176 178 兒子身高y(cm) 175 175 176 177 177 則y對

6、x的線性回歸方程為(　　) A．y＝x－1 B．y＝x＋1 C．y＝88＋x D．y＝176 解析：由題意得：＝＝176, ＝＝176, 由于(,)一定滿足線性回歸方程,經(jīng)驗證知C正確． 答案：C 5．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程y＝bx＋a中的b為9.4,據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為(　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 解析：＝＝3.5,＝＝42,又y＝bx＋a,必過(

7、,)． ∴回歸方程為y＝9.4x＋9.1, ∴當(dāng)x＝6時,y＝9.46＋9.1＝65.5(萬元)． 答案：B 6．期中考試后,某班對50名學(xué)生的成績進行分析,得到數(shù)學(xué)成績y對總成績x的回歸直線方程為y＝6＋0.4x,由此可以估計：若兩個同學(xué)的總成績相差50分,則他們的數(shù)學(xué)成績相差__________分． 解析：y1－y2＝0.4(x2－x1),故x2－x1＝50時,y1－y2＝20. 答案：20 7．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)系,下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系： 時間x 1 2 3 4

8、5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李這5天的平均投籃命中率為__________；用線性回歸分析的方法,預(yù)測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為__________． 解析：設(shè)這5天的平均投籃命中率為P, 則P＝(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5, 由題可求得：b＝0.01,a＝0.47, ∴線性回歸方程為y＝0.01x＋0.47, 當(dāng)x＝6時,y＝0.016＋0.47＝0.53. 答案：0.5　0.53 8．某單位為了解用電量y千瓦時與汽溫x ℃之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫,并制作了對照表： 氣溫(℃)

9、 18 13 10 －1 用電量(千瓦時) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程y＝bx＋a中b＝－2,預(yù)測當(dāng)氣溫為－4 ℃時,用電量約為__________千瓦時． 解析：＝＝10,＝＝40, 則a＝－b＝40＋210＝60,則y＝－2x＋60, 則當(dāng)x＝－4時,y＝－2(－4)＋60＝68. 答案：68 9．假若某公司的廣告費支出x(百萬元)與銷售額y(百萬元)之間有如下數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)如果已知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求回歸方程． (2)若實際銷售額不少于60百萬

10、元,則廣告費支出應(yīng)不少于多少？ 解析：(1)＝5,＝50,x＝145,xiyi＝1 380, 故b＝＝＝6.5,a＝－b＝50－6.55＝17.5. 故所求的回歸方程為y＝6.5x＋17.5. (2)令y≥60,即6.5x＋17.5≥60,x≥6.54,故廣告費支出不應(yīng)少于6.54百萬元． 10．在某種產(chǎn)品表面進行腐蝕深度實驗,得到腐蝕深度y與腐蝕時間x之間相應(yīng)的一組觀察值如下表： x(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (

11、1)畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖,由散點圖判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？ (2)若y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求回歸直線方程． 解析：(1)散點圖如圖所示： 由圖知,y與x具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)先把數(shù)據(jù)列成表. i xi yi x xiyi 1 5 6 25 30 2 10 10 100 100 3 15 10 225 150 4 20 13 400 260 5 30 16 900 480 6 40 17 1 600 680 7 50 19 1 500 950 8 60 23 3 600 1 380

12、 9 70 25 4 900 1 750 10 90 29 8 100 2 610 11 120 46 14 400 5 520 合計 510 214 36 750 13 190 由上表可得＝,＝代入公式得 b＝≈0.304,a＝－0.304＝5.36. 即所求的回歸直線方程為y＝0.304x＋5.36. 11．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖,判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系；若線性相關(guān),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程． (2)試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測使用年限為10年時,維修費用是多少？ 解析：(1)散點圖如圖所示： 由散點圖可知,兩變量之間具有相關(guān)關(guān)系,且為線性相關(guān)關(guān)系． 下面用最小二乘法求線性回歸方程： 設(shè)所求回歸方程為：y＝bx＋a,則由題中數(shù)據(jù)可得 b＝＝＝＝1.23, a＝－b＝5－1.234＝0.08. 所以線性回歸方程為y＝1.23x＋0.08. (2)把x＝10代入(1)中所求得的線性回歸方程為： y＝1.2310＋0.08＝12.38, 即使用年限為10年時,維修費用約是12.38萬元．