一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習(xí)：第三章 第八節(jié)　解三角形的應(yīng)用舉例 Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 課時(shí)規(guī)范練 A組　基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 1．已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120，則A，C兩地間的距離為(　　) A．10 km　　　　　　　 B．10 km C．10 km D．10 km 解析：如圖所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－21020cos 120＝700， ∴AC＝10(km)． 答案：D 2．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂

2、端的仰角為45，沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析：設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，∠BAC＝60，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據(jù)余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2h100cos 60，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m. 答案：A 3．如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的(　

3、　) A．北偏東10 B．北偏西10 C．南偏東80 D．南偏西80 解析：由條件及圖可知，∠A＝∠CBA＝40，又∠BCD＝60，所以∠CBD＝30，所以∠DBA＝10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80. 答案：D 4.(20xx銀川一中月考)如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 解析：由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝50，故A，B兩點(diǎn)的距離為50 m. 答案：A 5．某位

4、居民站在離地20 m高的陽臺(tái)上觀測(cè)到對(duì)面小高層房頂?shù)难鼋菫?0，小高層底部的俯角為45，那么這棟小高層的高度為(　　) A．20(1＋)m B．20(1＋)m C．10(＋)m D．20(＋)m 解析：如圖， 設(shè)AB為陽臺(tái)的高度，CD為小高層的高度，AE為水平線．由題意知AB＝20 m，∠DAE＝45，∠CAE＝60，故DE＝20 m，CE＝20 m．所以CD＝20(1＋)m.故選B. 答案：B 6.(20xx西安模擬)游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處至景點(diǎn)C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點(diǎn)B處，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從

5、A處同時(shí)出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時(shí)到達(dá)C處．經(jīng)測(cè)量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，則sin∠BAC等于__________． 解析：依題意，設(shè)乙的速度為x m/s， 則甲的速度為x m/s， 因?yàn)锳B＝1 040，BC＝500， 所以＝，解得：AC＝1 260， 在△ABC中由余弦定理可知cos∠BAC＝ ＝＝＝， 所以sin∠BAC＝＝＝. 答案： 7．(20xx德州檢測(cè))某貨輪在A處看燈塔S在北偏東30方向，它向正北方向航行24海里到達(dá)B處，看燈塔S在北偏東75方向．則此時(shí)貨輪到燈塔S的距離為________海里．

6、 解析：根據(jù)題意知，在△ABS中，AB＝24，∠BAS＝30，∠ASB＝45，由正弦定理，得＝， ∴BS＝＝12，故貨輪到燈塔S的距離為12海里． 答案：12 8.如圖，已知在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在海島北偏東30，俯角為30的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在海島北偏西60，俯角為60的C處．輪船沿BC行駛一段時(shí)間后，到達(dá)海島的正西方向的D處，此時(shí)輪船距海島A有__________千米． 解析：由已知可求得AB＝，AC＝，BC＝，所以sin∠ACB＝，cos∠ACB＝.在△ACD中，∠DAC＝90－60＝30，∠ACD＝180－∠A

7、CB，sin∠ADC＝sin(∠ACD＋∠DAC)＝sin∠ACDcos∠DAC＋sin∠DAC cos∠ACD＝，由正弦定理可求得AD＝＝. 答案： 9.已知在島A南偏西38方向，距島A 3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島北偏西22方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？ 解析：如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)x海里，則BC＝0.5x，AC＝5海里，依題意，∠BAC＝180－38－22＝120，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120， 所以BC

8、2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14. 又由正弦定理得sin∠ABC＝ ＝＝， 所以∠ABC＝38，又∠BAD＝38，所以BC∥AD， 故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走私船． 10.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝90. (1)若PB＝，求PA； (2)若∠APB＝150，求tan∠PBA. 解析：(1)由已知得∠PBC＝60，所以∠PBA＝30. 在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2cos 30＝.故PA＝. (2)設(shè)∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α. 在△PBA

9、中，由正弦定理得，＝， 化簡(jiǎn)得cos α＝4sin α. 所以tan α＝，即tan∠PBA＝. B組　能力提升練 1．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(　　) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析：如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30，∠ACB＝45，根據(jù)正弦定理得＝， 解得BC＝10(海里)． 答案：A 2．如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為α＝3

10、0，沿傾斜角β＝15的斜坡向上走a米到B，在B處測(cè)得山頂P的仰角γ＝60，則山高h(yuǎn)＝(　　) A. a米 B.米 C.a米 D．a(chǎn)米 解析：在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15，∠BPA＝(90－α)－(90－γ)＝γ－α＝30， 所以＝，所以PB＝a， 所以PQ＝PC＋CQ＝PBsin γ＋asin β ＝asin 60＋asin 15＝a(米)． 答案：A 3．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0，經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1 km，

11、參考數(shù)據(jù)：≈1.732)(　　) A．8.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km 解析：因?yàn)锳B＝1 000＝ km， 所以BC＝sin 30＝(km)． 所以航線離山頂?shù)母叨萮＝sin 75＝sin(45＋30)≈11.4 km.所以山高為18－11.4＝6.6(km)． 答案：B 4．如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C，然后給出了三種測(cè)量方案：(△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c) ①測(cè)量A，C，b ②測(cè)量a，b，C ③測(cè)量A，B，a 則一定能確定A，B間距離的所有方案

12、的個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：對(duì)于①，利用內(nèi)角和定理先求出B＝π－A－C， 再利用正弦定理＝解出c， 對(duì)于②，直接利用余弦定理cos C＝即可解出c， 對(duì)于③，先利用內(nèi)角和定理求出C＝π－A－B， 再利用正弦定理＝解出c. 答案：A 5.(20xx衡水模擬)如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸電視塔CD的高度，小王在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂D的仰角為30，塔底C與A的連線同河岸成15角，小王向前走了1 200 m到達(dá)M處，測(cè)得塔底C與M的連線同河岸成60角，則電視塔CD的高度為__________． 解析：在△ACM中， ∠MCA＝60－15＝45，∠AMC＝180－

13、60＝120， 由正弦定理得＝， 即＝，解得AC＝600. 在Rt△ACD中，因?yàn)閠an∠DAC＝＝， 所以DC＝ACtan∠DAC＝600＝600(m)． 答案：600m 6．(20xx遂寧模擬)海輪“和諧號(hào)”從A處以每小時(shí)21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號(hào)”在A處北偏東45的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105的方向以每小時(shí)9海里的速度行駛，則海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為__________小時(shí)． 解析：設(shè)海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為x小時(shí)，如圖，則由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120，

14、 由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2109xcos 120， 整理，得36x2－9x－10＝0， 解得x＝或x＝－(舍)． 所以海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的最短時(shí)間為小時(shí)． 答案： 7．如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為1 m，圓心角為的扇形白鐵片AOB上剪出一個(gè)平行四邊形MNPQ，使點(diǎn)P在弧AB上，點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，設(shè)∠BOP＝θ，平行四邊形MNPQ的面積為S. (1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式． (2)求S的最大值及相應(yīng)的θ角．解析：(1)分別過P，Q作PD⊥OB于點(diǎn)D，QE⊥OB于點(diǎn)E，則四邊形QEDP為矩形． 由扇形半徑為1 m，

15、得PD＝sin θ，OD＝cos θ. 在Rt△OEQ中， OE＝QE＝PD， MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin θ， S＝MNPD＝sin θ ＝sin θcos θ－sin2θ，θ∈. (2)S＝sin 2θ－(1－cos 2θ) ＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－， 因?yàn)棣取剩? 所以2θ＋∈，sin∈. 當(dāng)θ＝時(shí)，Smax＝(m2)． 8．(20xx宜賓模擬)一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行(2－2)n mile到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15的方向航行4 n mile到達(dá)海島C. (1)求AC的長(zhǎng)； (2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，求∠CAB的大?。? 解析：(1)由題意，在△ABC中， ∠ABC＝180－75＋15＝120， AB＝2－2，BC＝4， 根據(jù)余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos∠ABC ＝(2－2)2＋42＋(2－2)4＝24， 所以AC＝2. (2)根據(jù)正弦定理得， sin∠BAC＝＝， 所以∠CAB＝45.